例說解排列\(zhòng)\組合應(yīng)用題的基本思考方法

在教學(xué)中，排列組合部分是學(xué)生感到困難的內(nèi)容，尤其是應(yīng)用題，更是感到難于下手，有時不是計算重復(fù)就是有遺漏，或者重復(fù)、遺漏兼而有之。由于排列組合的答案數(shù)字一般偏大，它又不同于解方程，可以進行檢驗，因此，更給解排列、組合應(yīng)用題帶來困難。而排列、組合應(yīng)用題的解法是該單元的重點，其中有條件限制的排列、組合例題教材中只各安排了三道，學(xué)生是難于掌握的，因此須補充一定適量而且具有一定難度(不超過教材中的習(xí)題難度)的例題。無條件限制的排列、組合問題是基礎(chǔ)，也不容忽視。有條件限制的排列、組合問題，當(dāng)條件限制較繁雜時學(xué)生難于掌握，教師在講課時應(yīng)著重講解例題的分析，著重講思路，并盡量把學(xué)生在解題過程中可能出現(xiàn)的錯誤指出來并將其錯誤原因給學(xué)生分析透徹。

這里舉例、淺談解排列、組合應(yīng)用題的一些基本思考方法:

一、占位法。對于此解法，對于有條件限制的特殊位置或有位置限制的特殊元素可按條件入“座”，稱為占位法。

例1.用0到9這十個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位?

分析:做圖示:

條件限制:千位上不能排0，或說千位上只能排1到9這九個數(shù)字中的一個。

解法一:分步完成:第一步選元素占據(jù)特殊位置，第二步選元素占據(jù)其余位置。此解法著眼于有條件限制的特殊位置。

解:分兩步完成。

第一步從1到9這九個數(shù)中任選一個占據(jù)千位。有P19種方法。

第二步從余下的九個數(shù)(包括數(shù)字0)中任選3個占據(jù)百、十、個位，有P39種方法。

由乘法原理:P19P39=4536

答:可組成4536個無重數(shù)字的四位數(shù)。

解法二:對于某元素只能占據(jù)某位置的排列可分步完成:第一步讓特殊元素先占位，第二步讓其余元素占位。此解法著眼于有條件限制的特殊元素。

分析:在所給元素中0是有位置限制的特殊元素，在組成的四位數(shù)中，有一類根本無0元素，另一類含有0元素，而此時0元素只能占據(jù)百、十、個三個位置之一。

解:組成的四位數(shù)分為兩類:

第一類不含0的四位數(shù)有P49個。

第二類含0的四位數(shù)的組成分為兩步。

第一步讓0占位有P13種占法。

第二步讓其余9個數(shù)占位有P39種占法。

含0的四位數(shù)有P13P39個。

由加法原理:P49+P13P39=4536答:(略)

二、排除法

從無條件限制的排列總數(shù)中減去不合要求的排列數(shù)(稱為排除法)。

例1 中不合要求的排列即為0占據(jù)千位的排列。

解法三:從0至9十個數(shù)中任取4個數(shù)的排列總數(shù)為P410，其中0在千位的有P39個。

P410-P39=4536。答:(略)

用解法三時要特別注意不合要求的排列有哪幾種?要做到不重不漏。

例2 以長方體的頂點為四面體的四個頂點，可有組成多少個四面體?

解長方體的8個頂點任取4個的組合數(shù)是C48，其間有四點共面的特殊情況12種，所以可組成C48-12個四面體。

三、“捆”在一起

例3 有m個男運動員和n個女運動員站成一排，其中男運動員必須排在一起的排法有多少種?

分析:m個男運動員“捆”在一起，看成“一個”，則“一個男”和n個女共有Pn+1n+1種排法，而“一個男”中的m個男有Pmm種排法，故共有Pn+1n+1·Pmm種不同排法。

四、逆向思考

將例3改為m個男運動員不全排在一起的排法有多少種，用逆向思考法，因為不全部在一起的反面是都排在一起，故可得:

Pm+n-Pn+1·Pm

五、插空檔

例4 8人并排照相，其中某3人都不相鄰站著，有多少種排法?

分析:“都不相鄰”的反面不能理解為“都相鄰”，正確的理解是，“都不相鄰”的反面是“不都相鄰”，即下面兩種情況:

1、三人都相鄰:

2、兩人相鄰，而另一人與他們不相鄰。

因此，要從全部排列P88中去掉這兩種情況的排列數(shù)。這樣解顯得較繁，下面我們用一種比較簡便的方法來解，

即先將沒有特殊要求的5人排好，有P55種排法

↑○↑○↑○↑○↑○↑

××××× ×

這5人中有6個空位“×”，可選3個空位將某3人插入，這時有P36種排法，由乘法原理，P55·P36=14400(種)

六、分類討論

例5 由0、1、2、3、4、5、可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字、且能被6整除的六位數(shù)?

分析本題有兩個限制條件，一個是明顯的條件:能被6整除;另一個是隱含的條件:首位不能排0。由于六個數(shù)字之和0+1+2+3+4+5=15，所以這六個數(shù)字排出來的六位數(shù)一定能被3整除。題目要求能被6整除，因而當(dāng)且僅當(dāng)這六位數(shù)還能被2整除(即個位數(shù)字是0、2、4)就能滿足條件。

解:①末位排0:這時前面五個數(shù)字作全排列，共有P55種方法。

②末位排2:首位排1、3、4、5之一，余下的四個數(shù)字在中間四個位置上作全排列，共有C14·P44種方法。

③末位排4:首位排1、2、3、5之一，余下的四個數(shù)字在中間四個位置上作全排列，共有C14·P44種

因此，符合題目要求的六位數(shù)共有P55+2C14·P44=312(個)

七、先組后排

對同一對象，既有排列問題又有組合問題時，一般先組后排。

例6 某班有男生25人，女生21人，要選男生3人，女生2人，分雖擔(dān)任正、副班長、學(xué)委、體委、宣委，問有多少種不同的選舉方案?

分析1)此題要求選出的5個人分別擔(dān)任5種工作有位置問題，從整體看是排列問題。

2)因為選出的5個人中必須有3個男生，2個女生，所以顯然答案不是P465 。

3)3名男生要從25名男生中選，2名女生要從21名女生中選。

問:列式P325·P221對嗎?錯誤。因為題中對3名男生在5種工作中可以擔(dān)任哪3種工作并無限制，對2名女生亦如此，因此，這個題目只對選出什么元素有限制，而對元素所占據(jù)的位置無限制，即選出的5個元素一起排隊，而不是各自排隊。

解:分兩步完成:

第一步選人而不分工，有C325C221種選法

第二步選出的5人分工，有P55種分工方法。

由乘法原則:C325C221P55答:(略)

八、分配問題

例7 將12本不同的書按下列條件分配，各有多少種分法:

(1)分給甲、乙、丙三人，每人各得4本。

解釋這時有組合問題又有排列問題:甲得C124，乙得C48，丙得C44，共有分法C124C84C44種。這里“任取4個”是不計順序的，而三個組合數(shù)相乘的過程中，又含有排列的關(guān)系。

解釋:這里都是不分次序的，故而從(1)題的結(jié)果中除以P33，所以共有C512C48C44/P33種

例8 用1、2、3、4、5五個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中有多少個偶數(shù)?

解:(1)可組成P45=120個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。

(2)因為奇偶數(shù)相間，它們各占這120個數(shù)的一半

共120/2=60個偶數(shù)。

剖析:(2)中有錯誤，因為這120個數(shù)中，奇、偶數(shù)并不是各占一半，比如，從這5個數(shù)字中組成P45=20個兩位數(shù)。

12、13、14、15、21、23、24、25、31、32、34、35、41、42、43、45、51、52、53、54其中偶數(shù)只有8個并不占一半。

偶數(shù)不占一半的原因是:只有末位數(shù)是2、4時，才可組成4位偶數(shù)，是1、3、5時就可得到4位奇數(shù)，因此奇數(shù)、偶數(shù)之比為3:2。

正確解法:用1、2、3、4、5可組成的偶數(shù)個數(shù)計算如下:

先排在末位，可從2、4中任選一個有Cl2種，再排前3位P43種。

共C21·P43=48個4位偶數(shù)。

在排列、組合的教學(xué)過程中，教師應(yīng)始終強調(diào)不重不漏的原則，加強對學(xué)生進行思維條理性和全面性的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析、概括、歸納的能力。

教師在講解例題時要注意提高學(xué)生的審題能力，教會他們要“吃透條件”和抓住“題架子”(如:任何一個無條件限制的排列問題若將其具體含義抽去必然剩下“從n個不同元素中任取m個元素占據(jù)m個不同的位置”這一個題架子)。并有意識地在講課中保留某個典型例題的題架子改變例題的具體內(nèi)容編出新的題目，讓學(xué)生看到不十分復(fù)雜的排列、組合的應(yīng)用題“萬變不離其宗”。也可以讓學(xué)生自己去編題……，通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生的審題能力是會提高的。