例說解排列\\組合應用題的基本思考方法

在教學中，排列組合部分是學生感到困難的內容，尤其是應用題，更是感到難于下手，有時不是計算重復就是有遺漏，或者重復、遺漏兼而有之。由于排列組合的答案數字一般偏大，它又不同于解方程，可以進行檢驗，因此，更給解排列、組合應用題帶來困難。而排列、組合應用題的解法是該單元的重點，其中有條件限制的排列、組合例題教材中只各安排了三道，學生是難于掌握的，因此須補充一定適量而且具有一定難度(不超過教材中的習題難度)的例題。無條件限制的排列、組合問題是基礎，也不容忽視。有條件限制的排列、組合問題，當條件限制較繁雜時學生難于掌握，教師在講課時應著重講解例題的分析，著重講思路，并盡量把學生在解題過程中可能出現的錯誤指出來并將其錯誤原因給學生分析透徹。

這里舉例、淺談解排列、組合應用題的一些基本思考方法:

一、占位法。對于此解法，對于有條件限制的特殊位置或有位置限制的特殊元素可按條件入“座”，稱為占位法。

例1.用0到9這十個數字可組成多少個無重復數字的四位?

分析:做圖示:

條件限制:千位上不能排0，或說千位上只能排1到9這九個數字中的一個。

解法一:分步完成:第一步選元素占據特殊位置，第二步選元素占據其余位置。此解法著眼于有條件限制的特殊位置。

解:分兩步完成。

第一步從1到9這九個數中任選一個占據千位。有P19種方法。

第二步從余下的九個數(包括數字0)中任選3個占據百、十、個位，有P39種方法。

由乘法原理:P19P39=4536

答:可組成4536個無重數字的四位數。

解法二:對于某元素只能占據某位置的排列可分步完成:第一步讓特殊元素先占位，第二步讓其余元素占位。此解法著眼于有條件限制的特殊元素。

分析:在所給元素中0是有位置限制的特殊元素，在組成的四位數中，有一類根本無0元素，另一類含有0元素，而此時0元素只能占據百、十、個三個位置之一。

解:組成的四位數分為兩類:

第一類不含0的四位數有P49個。

第二類含0的四位數的組成分為兩步。

第一步讓0占位有P13種占法。

第二步讓其余9個數占位有P39種占法。

含0的四位數有P13P39個。

由加法原理:P49+P13P39=4536答:(略)

二、排除法

從無條件限制的排列總數中減去不合要求的排列數(稱為排除法)。

例1 中不合要求的排列即為0占據千位的排列。

解法三:從0至9十個數中任取4個數的排列總數為P410，其中0在千位的有P39個。

P410-P39=4536。答:(略)

用解法三時要特別注意不合要求的排列有哪幾種?要做到不重不漏。

例2 以長方體的頂點為四面體的四個頂點，可有組成多少個四面體?

解長方體的8個頂點任取4個的組合數是C48，其間有四點共面的特殊情況12種，所以可組成C48-12個四面體。

三、“捆”在一起

例3 有m個男運動員和n個女運動員站成一排，其中男運動員必須排在一起的排法有多少種?

分析:m個男運動員“捆”在一起，看成“一個”，則“一個男”和n個女共有Pn+1n+1種排法，而“一個男”中的m個男有Pmm種排法，故共有Pn+1n+1·Pmm種不同排法。

四、逆向思考

將例3改為m個男運動員不全排在一起的排法有多少種，用逆向思考法，因為不全部在一起的反面是都排在一起，故可得:

Pm+n-Pn+1·Pm

五、插空檔

例4 8人并排照相，其中某3人都不相鄰站著，有多少種排法?

分析:“都不相鄰”的反面不能理解為“都相鄰”，正確的理解是，“都不相鄰”的反面是“不都相鄰”，即下面兩種情況:

1、三人都相鄰:

2、兩人相鄰，而另一人與他們不相鄰。

因此，要從全部排列P88中去掉這兩種情況的排列數。這樣解顯得較繁，下面我們用一種比較簡便的方法來解，

即先將沒有特殊要求的5人排好，有P55種排法

↑○↑○↑○↑○↑○↑

××××× ×

這5人中有6個空位“×”，可選3個空位將某3人插入，這時有P36種排法，由乘法原理，P55·P36=14400(種)

六、分類討論

例5 由0、1、2、3、4、5、可以組成多少個沒有重復數字、且能被6整除的六位數?

分析本題有兩個限制條件，一個是明顯的條件:能被6整除;另一個是隱含的條件:首位不能排0。由于六個數字之和0+1+2+3+4+5=15，所以這六個數字排出來的六位數一定能被3整除。題目要求能被6整除，因而當且僅當這六位數還能被2整除(即個位數字是0、2、4)就能滿足條件。

解:①末位排0:這時前面五個數字作全排列，共有P55種方法。

②末位排2:首位排1、3、4、5之一，余下的四個數字在中間四個位置上作全排列，共有C14·P44種方法。

③末位排4:首位排1、2、3、5之一，余下的四個數字在中間四個位置上作全排列，共有C14·P44種

因此，符合題目要求的六位數共有P55+2C14·P44=312(個)

七、先組后排

對同一對象，既有排列問題又有組合問題時，一般先組后排。

例6 某班有男生25人，女生21人，要選男生3人，女生2人，分雖擔任正、副班長、學委、體委、宣委，問有多少種不同的選舉方案?

分析1)此題要求選出的5個人分別擔任5種工作有位置問題，從整體看是排列問題。

2)因為選出的5個人中必須有3個男生，2個女生，所以顯然答案不是P465 。

3)3名男生要從25名男生中選，2名女生要從21名女生中選。

問:列式P325·P221對嗎?錯誤。因為題中對3名男生在5種工作中可以擔任哪3種工作并無限制，對2名女生亦如此，因此，這個題目只對選出什么元素有限制，而對元素所占據的位置無限制，即選出的5個元素一起排隊，而不是各自排隊。

解:分兩步完成:

第一步選人而不分工，有C325C221種選法

第二步選出的5人分工，有P55種分工方法。

由乘法原則:C325C221P55答:(略)

八、分配問題

例7 將12本不同的書按下列條件分配，各有多少種分法:

(1)分給甲、乙、丙三人，每人各得4本。

解釋這時有組合問題又有排列問題:甲得C124，乙得C48，丙得C44，共有分法C124C84C44種。這里“任取4個”是不計順序的，而三個組合數相乘的過程中，又含有排列的關系。

解釋:這里都是不分次序的，故而從(1)題的結果中除以P33，所以共有C512C48C44/P33種

例8 用1、2、3、4、5五個數字可以組成多少個沒有重復數字的四位數，其中有多少個偶數?

解:(1)可組成P45=120個沒有重復數字的四位數。

(2)因為奇偶數相間，它們各占這120個數的一半

共120/2=60個偶數。

剖析:(2)中有錯誤，因為這120個數中，奇、偶數并不是各占一半，比如，從這5個數字中組成P45=20個兩位數。

12、13、14、15、21、23、24、25、31、32、34、35、41、42、43、45、51、52、53、54其中偶數只有8個并不占一半。

偶數不占一半的原因是:只有末位數是2、4時，才可組成4位偶數，是1、3、5時就可得到4位奇數，因此奇數、偶數之比為3:2。

正確解法:用1、2、3、4、5可組成的偶數個數計算如下:

先排在末位，可從2、4中任選一個有Cl2種，再排前3位P43種。

共C21·P43=48個4位偶數。

在排列、組合的教學過程中，教師應始終強調不重不漏的原則，加強對學生進行思維條理性和全面性的訓練，培養學生分析、概括、歸納的能力。

教師在講解例題時要注意提高學生的審題能力，教會他們要“吃透條件”和抓住“題架子”(如:任何一個無條件限制的排列問題若將其具體含義抽去必然剩下“從n個不同元素中任取m個元素占據m個不同的位置”這一個題架子)。并有意識地在講課中保留某個典型例題的題架子改變例題的具體內容編出新的題目，讓學生看到不十分復雜的排列、組合的應用題“萬變不離其宗”。也可以讓學生自己去編題……，通過這樣的訓練，學生的審題能力是會提高的。