基于最大熵的房地產投資組合模型

[摘要] 房地產投資組合模型多以方差或標準差作為風險度量指標。本文從分散風險的角度運用熵的概念，建立了房地產投資組合的熵優化模型，并給出通解，使對房地產投資組合模型的應用更加合理、客觀。

[關鍵詞] 投資組合方差熵風險度量

我國房地產投資始于上世紀90年代，并且成為固定資產投資的主要方向，也是資本流向的主要領域。房地產投資組合模型多以方差或標準差作為風險度量指標，均需計算協方差、相關系數等，在實際應用中存在一定的缺陷。規避風險的另一種方法是分散化。本文提出熵的概念作為房地產投資組合分散化的度量，熵越大意味著分散風險的能力越強;反之，分散風險的能力越弱。

一、房地產投資組合的Markowitz模型

美國經濟學家、金融學家Markowitz.Harry在《資產組合選擇》（Portfolio selection ，Journal of finance 1952 Vo1.7）一文中，第一次從風險資產的收益率與風險之間的關系出發，討論了不確定經濟系統中最優資產組合的選擇問題，用數學中的均值度量投資者的預期收益，用方差度量資產的風險，用相關系數度量各項資產間的關系，建立資產組合的數學模型。根據Markowitz投資組合模型的假設和思路，經過適當變化可得到房地產投資組合的基本模型。

模型（以風險最小化為目標）

假設有n個房地產投資分項，可以建立以下模型:

Rp-K≥0且ωi≥0(i=1，2，……，n)。

其中，Ri表示第i項房地產投資的收益率;Rp表示此投資組合總收益率;ωi第i項投資的權重;σi表示第i項投資的標準差，即房地產投資各分項的風險;σp表示此房地產投資組合的標準差，即房地產投資組合的總風險;ρij表示第i項和第j項房地產投資收益間的相關系數;K表示房地產投資商可以接受的最小收益率，其值可由歷史數據來確定。對此模型我們應用拉格朗日(Lagrange)乘數法求解。令則此模型的解析解:（1）其中

二、熵的定義和性質

1.熵的基本定義

熵的概念最初來源于熱力學，后來發展到統計學和信息論等學科。熵是一種不確定性的定量化度量，考慮具體有n個結果的概率試驗，并設這些結果各自具有離散概率Pi(i=1，2，…，n)，則熵為

式中:Pi≥0(i=1，2，…，n)且

2.熵的基本性質

(1)非負性:Sn(P1，P2，…，Pn)≥0;

(2)可加性:對于相互獨立的狀態，其熵的和就等于和的熵;

(3)極值性:當狀態為等概率時，其熵值最大，即時，;

(4)凹凸性:Sn(P1，P2，…，Pn)是一個關于所有變量的對稱凹函數。

現在，我們根據上面的介紹，引入最大熵優化模型。房地產投資商選擇n個房地產分項進行投資，每個分項的投資比例為xi(i=1，2，…，n)，由于各種原因，經過一個階段最后得到的收益是不確定的。假設投資收益共有m種結果，πj為第j(j=1，2，…，m)種收益結果的概率，當第j(j=1，2，…，m)種收益結果出現時，第i(i=1，2，…，n)個投資分項的收益率為rij，其期望收益率，Rj為投資組合的收益率且，則期望收益率。從最大熵的意義來考慮，可以最大化如下的目標函數:約束條件為:xi≥0(i=1，2，…，n)。其中 故上述目標函數就等價于MaxS*，其中從而可建立均值-熵模型:

MaxS*s.t.xi≥0(i=1，2，…，n)

此模型的金融意義為:在固定收益率K的前提下，選擇使風險最分散的房地產投資組合。我們利用熵的性質對模型求解，則有:AX=B，IX=I‘其中從而得到此模型的解:X=(A-I)-1(B-I’)（2）

三、小結

本文不同于Markowitz模型的均值方差模型，從分散風險的角度將熵用于房地產投資組合的分析中，建立了新的房地產投資組合模型，使對房地產投資組合模型的應用更加合理、客觀。