巧用數學方法提高地理教學效益

摘要:近幾年地理高考著重考查學生的綜合能力，強調考查學生地理思維過程，即思維能力與思維方法。其中數學思維方法成為解題的鑰匙，把數學解題的原理、方法運用在地理解題中，具有思路清晰、化繁為簡的功效。

關鍵詞:地理教學 數學思維 數軸法 幾何法 函數法 公式法 向量法 對稱法 集合法

“地理學是僅次于哲學的第二大綜合性學科。”地理學的綜合性和區域性特點，也決定了它與其他各學科之間存在密切的聯系。因此，我們在進行地理教學時要因地制宜、因時制宜，不失時機地向其他學科滲透，以體現學習的開放性、應用性。近幾年地理高考著重考查學生的綜合能力，強調考查學生的地理思維過程，即思維能力與思維方法。其中數學思維方法成為解題的鑰匙，這是因為“數學”被稱為思維的體操，把數學解題的原理、方法運用在地理解題中，具有思路清晰、化繁為簡的功效。本文結合筆者自身的教學實踐介紹幾種具體方法。

一、數軸法的運用

講到經緯度的劃分，大多數學生都知道先找出0°經線，再作其他經線排列，學生對此容易理解和掌握。但在實際解題中，仍有很多學生茫然不知所措，常常在180°附近的經度分布上出現錯誤判斷，對此筆者認為數學中的數軸可對學生劃分經緯度起到非常好的幫助，可使復雜的空間思維簡單化。如問題:120°W向西120°為哪條經線?學生對此往往很難入手，憑空想出的答案多數錯誤，而采用數軸法可起到非常好的效果。解題過程如下:首先畫出數軸(圖1)，

標出數軸的中點0°和其余兩端180°經線;再按照題目要求向西120°，最終得到正確答案為120°E。

另外，在計算日期范圍采用數軸的方法能一目了然。如當北京時間為10點時，與北京相同日期范圍是多少?這樣的題用數軸來表示，如圖2，在數軸上先標好0°經線和180°經線，明確地球上的兩條日界線0:00和180°經線，根據北京時間10點，找到0:00經線為30°W，最終很快可得到正確答案30°W向東到180°。

二、幾何法的運用

正午太陽高度公式的求導(高中地理第一單元)中，有些問題非常抽象，只靠老師用語言描述是難以讓學生掌握的。有些問題可以借助學生所學的數學知識來完成，而幾何圖形是空間思維的重要表示方法。地理學科空間概念強，經常用平面幾何來表示空間地理事物，因此在地理教學中，應用學生已有的幾何知識求算或證明地理事物規律，既利于加深學生對知識的理解，也利于突破教學難點，起到事半功倍的作用。

如為了讓學生真正理解和掌握正午太陽高度角的變化規律，可借用幾何方法引導學生求證(證明:正午太陽高度角H= 90o-α，α表示所求點緯度與太陽直射點緯度差)。在圖3中求導北半球冬至日北回歸線上的正午太陽高度H，利用數學平面幾何的基礎知識，H與β為內錯角，所以相等，而β與α(即直射地與所求地緯度差)為互余關系，則可求導出正午太陽高度的計算公式。

為讓學生真正理解和掌握極點的太陽高度變化規律，同樣可借用幾何方法來求證(證明:太陽直射點所在緯度數值與出現極晝的極點太陽高度相等)。如圖4，直射點所在緯度為α°S，而此時出現極晝現象的南極點的太陽高度在圖中可用β表示，根據平面幾何基本知識可知α、β為同位角，故相等。

三、函數法的運用

地理作為一門綜合性學科，它要求學生具有較強的綜合運用各學科基礎知識解決地理實際問題的能力，而這種能力的形成，除需要文科知識的積累外，很多時候也需要一些輔助工具，像基本的數學方法，即運用中學數學相關的知識，按照一定的數學規則，分析解決地理學習中遇到的問題。如下題:

圖5中等值線表示等太陽高度線，問題:求C點的經度值 (大于或小于)23°26′。

很多學生剛拿到這一題時無從下手，而教師在講解這題時光運用太陽高度知識也很費力，而且講解完之后學生還是一頭霧水，這時不妨試著用數學方法來入手。解題過程如下:根據下圖可得出，某時太陽高度分布規律為太陽直射點向四周呈同心圓遞減，可得出CE=ED，可假設C點經度為X，則CE實地距離為111×cos23°26′km，而ED的實地距離為ED緯度差(即正午太陽高度差90°-66°34′)×111km。

得方程式:(90°-66°34′)×111=111Xcos23°26′

解方程式得X=23°26′/ cos23°26′(cos23°26′<1)

答案為:X大于23°26′

通過這種數學函數方程式來解答等太陽高度線問題，做到了化繁為簡，既提高了教師的教學效率，又提高了學生的學習效率。

四、公式法的運用

公式法往往在反映有關面積、距離間的分布與變化或個別與總量、部分與全體的關系的概念講解中應用。如:比例尺用數學公式可表達為:比例尺=圖上距離/實際距離。在出示公式之后應用數學知識說明:①比例尺的計算法則:計算中單位要統一，一般以厘米為單位;計算結果一般圖上距離為一厘米，實際距離保留到整數。②比例尺大小的比較:實際上就是進行分數的比較:在分子相同的情況下，分母越大分數越小，即比例尺越小。③比例尺與圖形的關系:比例尺越小，所代表的實際距離越長，圖幅所表示的面積越大，反映的地理事物越簡略;反之則相反。如:利用數學公式求導等高線地形圖中坡度的大小:

圖6中AB間的坡度在右圖中可表示為α，而利用數學公式可得到tgα=高差/水平距離=高差/(圖上距離/比例尺)=高差/圖上距離×比例尺。最終從推導公式還可得到以下結論:①在不同的等高線圖上，如果等高距的大小和等高線的疏密都一致(即高差和圖上距離都相等)，則比例尺較大的地圖上的坡度較大，比例尺較小的坡度較小。②如果比例尺的大小和等高線的稀疏都一致(即圖上距離和比例尺相等)，則等高距較大的坡度較大，等高距較小的坡度較小。這樣的表達方式不僅非常直觀簡明地說明了有關比例尺的計算與大小，還讓學生理解了比例尺的有關特征。這樣，通過數學知識的應用，在加強理解的基礎上，用靈活應用代替了死記硬背，實現了改善教學效果與減輕學習負擔的雙重目的。

五、向量法的運用

高中地理除了第一章地球運動最為復雜之外，很多學生對于第二章大氣運動也存在不少疑問。如在講述近地面與高空風向時，學生很難理解為什么近地面的風與等壓線存在夾角、高空風卻與等壓線平行?這時教師可充分利用數學基礎知識向量的合成來解釋這一現象。

如:圖7北半球近地面風的形成過程:

首先明確近地面的風受力情況:A水平氣壓梯度力(垂直等壓線，高壓指向低壓)、B地轉偏向力(垂直風向，北右南左)、C摩擦力(與方向相反);把B、C向量利用平行四邊形法則合成可得到向量D;而向量D與向量A方向相反、大小相等。最終得到向量A=向量D。

結論:近地面的風受3個力的作用，且3力合力為0，最終風向與等壓線斜交。同理，高空風由于不受摩擦力影響，故最終得到風向與等壓線平行。

六、對稱法的運用

在地理題中考查地球球面上某一點關于地心對稱點坐標的問題，類似于數學學科中一點相對于坐標原點對稱點的問題，即A(x，y)A′(―x，―y)。在地理學科中可表示為A(x°N，y°E) A′(x°S，180°-y°W)，總結為一般規律即:北緯對南緯，數值大小不變;東經對西經，和為180°。

如:經過地心的直線與地球表面相交于甲、乙兩點。若甲點位于(37°N，118°E)，則乙點所在地區的農業地域類主要是:

A.混合農業

B.水稻種植業

C.大牧場放牧業

D.種植園農業

解題:乙點關于地心與甲點對稱，已知甲點的坐標為(37°N，118°E)，則乙點坐標為(37°S，62°W)，進而判斷出乙位于阿根廷，農業地域類型為大牧場放牧業。

七、集合法的運用

根據概念之間的關系，地理概念可分為以下幾種類型:①從屬關系的概念:這類概念如銀河系、太陽系、地月系。如果要從文字上區別，首先得記住這三個概念的定義、內涵與外延，這樣學生的記憶負擔太重，會增加學習的難度。若用集合知識講解(如圖8)，它們只不過是簡單的包含與被包含關系，學生很容易明確。②包含并列關系的概念:這類概念，如鋒、暖鋒、冷鋒、準靜止鋒，從圖9中可形象直觀地看出暖鋒、冷鋒、準靜止鋒是鋒的三個并列獨立子集，用集合表示就很直觀。③交叉關系的概念:這類概念你中有我，我中有你，又不完全相同，稍不注意就很難區分，用集合表示則顯得直觀、形象，又具有科學性。如自然資源、礦產資源、能源的關系，學生非常容易出現混淆，但用數學集合的方法，則很容易得出三者間的關系(如圖10):一部分能源屬于自然資源，如煤、石油、天然氣;一部分能源不是來自于自然資源，如我們常用的電能、核能等。所以，自然資源不能全包括能源，但自然資源包括礦產資源。而礦產資源與能源也有交叉點，如煤、石油、天然氣等屬于礦產，而太陽能、風能、生物能、潮汐能等能源不屬于礦產資源。

(作者單位:江蘇省宜興市官林中學)