一種偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)生成方法與應(yīng)用

摘要本文介紹了一種偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)生成方法及其Matlab實(shí)現(xiàn)。然后，以GARCH模型為例，探討了該隨機(jī)數(shù)生成器的在參數(shù)估計(jì)中的表現(xiàn)。極大似然估計(jì)的結(jié)果表明，各個系數(shù)的估計(jì)量均具有無偏性。這也就是說，該隨機(jī)數(shù)生成器可以有效地應(yīng)用于時(shí)間序模型，如GARCH模型的模擬。本研究的隨機(jī)數(shù)生成器為基于蒙特卡羅技術(shù)，進(jìn)一步討論時(shí)間序列的偏斜特征如何影響模型參數(shù)估計(jì)的無偏性、效率性和漸近正態(tài)性等統(tǒng)計(jì)特性提供了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞偏斜 GARCHMatlab 極大似然

中圖分類號:G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

蒙特卡羅模擬是統(tǒng)計(jì)研究中的重要技術(shù)，而生成隨機(jī)數(shù)是該項(xiàng)技術(shù)的重要步驟之一。對于服從均值為0、方差為1的分布來講，傳統(tǒng)的隨機(jī)數(shù)生成器大多應(yīng)用于對稱分布的隨機(jī)數(shù)序列的生成過程，如正態(tài)分布和學(xué)生-t分布等。但是，近年來，在時(shí)間序列建模領(lǐng)域，特別是金融時(shí)間序列的建模中，偏斜證據(jù)越來越多。

Peir€?(1999)發(fā)現(xiàn)美國、英國、日本和加拿大等世界幾個主要發(fā)達(dá)國家的股指和匯率的收益率均表現(xiàn)出顯著的偏斜特征。Campbell Hentschel (1992)以及Glosten et al. (1993)等也發(fā)現(xiàn)，金融時(shí)間序列經(jīng)非對稱GARCH模型擬合后的標(biāo)準(zhǔn)化殘差仍然存在顯著的偏斜。國內(nèi)的研究如蔣春福等(2007)等。可見，已有不少證據(jù)顯示時(shí)間序列數(shù)據(jù)，特別是金融資產(chǎn)的收益率數(shù)據(jù)常常表現(xiàn)出偏斜特征。

本文介紹了一種可用以生成偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)生成方法，并基于Matlab 6給出了具體的程序。最后，以GARCH建模為例展示了利用該隨機(jī)數(shù)生成器模擬GARCH序列并進(jìn)行極大似然估計(jì)的結(jié)果。

1 偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)生成方法

自由度較小時(shí)的學(xué)生-t分布和峰度系數(shù)小于2時(shí)的GED分布都比正態(tài)分布具有更高的峰度(超額峰度)。但這三種分布都是對稱的。Hansen(1994)推廣了傳統(tǒng)的學(xué)生-t分布，并進(jìn)一步引入了偏斜參數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量S服從偏斜參數(shù)為、自由度為的偏斜-t分布(Skew-t)，其概率密度函數(shù)如下:

其中，和分別是偏斜系數(shù)和自由度，-1<<1;sgn(·)是符號函數(shù);a、b和c都是與和有關(guān)的常數(shù)。當(dāng)>0(<0)表示分布右(左)偏斜，||越大，偏斜程度越嚴(yán)重。Skew-t分布均值為0方差為1，因此可以作為GARCH模型的條件分布。①

服從Skew-t分布的隨機(jī)數(shù)生成算法由Jondeau Rockinger(2003)給出。設(shè)隨機(jī)變量X服從自由度為v的學(xué)生-t分布，其概率密度函數(shù)為，

其中v為自由度。X的累積分布函數(shù)(CDF)為。

首先生成服從(0， 1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)X，t=1，2，…，T，其中T是模擬的樣本量;然后，按照如下公式計(jì)算每個X所對應(yīng)的S，

其中，F(xiàn)v-1(·)表示以v為自由度的傳統(tǒng)學(xué)生-t分布CDF的逆函數(shù)。這樣就可以得到服從偏斜參數(shù)為、自由度為v的Skew-t分布的隨機(jī)數(shù)序列{S|t=1，2，…，T}。

2 基于Matlab6的服從偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)生成器

根據(jù)公式和，我們可以編制如下的隨機(jī)數(shù)生成器。該隨機(jī)數(shù)生成器在WindowsXP環(huán)境下，利用Matlab6編制。

function robs = rskewt(u， v， n)

rand('state'，sum(100*clock)); %設(shè)置隨機(jī)數(shù)種子

x=rand(n，1); %生成均勻分布的隨機(jī)數(shù)

robs =zeros(n，1); % 0向量，用于存儲生成的隨機(jī)數(shù)

c=gamma(v/2+0.5)/(sqrt(pi*(v-2))*gamma(v/2)); a=4*u*c*(v-2)/(v-1); b=sqrt(1+3*u^2-a^2);

for i = 1:n，

if x(i)<(1-u)/2，robs(i)=1/b*((1-u)*sqrt((v-2)/v)*tinv(x(i)/(1-u)，v)-a);

else， robs(i)=1/b*((1+u)*sqrt((v-2)/v)*tinv((x(i)+u)/(1+u)，v)-a);end;

end;

以上程序中，輸入?yún)?shù)u是自由度，v是偏斜系數(shù)，n是需要生成的隨機(jī)數(shù)個數(shù)利用該隨機(jī)數(shù)生成器，本研究考慮自由度v取值為6(尖峰、厚尾)，偏斜系數(shù)u的取值考慮-0.3、0和0.3等三種情況。

3 應(yīng)用舉例:模擬GARCH序列

在所有的GARCH族模型中，GARCH (1， 1)模型形式最為簡潔。考慮如下模型，

其中，為均值方程中的截矩項(xiàng);為了確保方差過程的非負(fù)性和平穩(wěn)性，>0，≥0，≥0以及+<1。記參數(shù)向量=(，，，)，本研究使用的真實(shí)參數(shù)向量將被設(shè)置為(0.1，0.05，0.05，0.8)。模擬的樣本量T取為2500。為了估計(jì)參數(shù)向量，考慮極大化如下似然函數(shù)，

于是，即可得到參數(shù)向量的極大似然估計(jì)量。重復(fù)以上過程N(yùn)=500次即可得到各個系數(shù)的極大似然估計(jì)量的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果(表1)。

表1 系數(shù)的極大似然估計(jì)量的描述性統(tǒng)計(jì)

從表1可以看出，各個系數(shù)的估計(jì)結(jié)果的均值都是非常接近真實(shí)值的。統(tǒng)計(jì)上來講，各個系數(shù)經(jīng)500次重復(fù)后極大似然估計(jì)值的均值與真實(shí)值之間的差異均小于1倍標(biāo)準(zhǔn)差，因此，不能拒絕各個系數(shù)的抽樣分布的均值等于真實(shí)值。可以認(rèn)為，本文的隨機(jī)數(shù)生成器可以很好地應(yīng)用于時(shí)間序列，如GARCH序列的模擬過程。

4 結(jié)論

鑒于蒙特卡羅模擬技術(shù)是統(tǒng)計(jì)研究的重要手段之一，而應(yīng)用該技術(shù)的重要步驟之一便是生成服從某種分布的隨機(jī)數(shù)。特別的，在模擬時(shí)間序列模型，如GARCH模型的模擬過程中，往往需要生成均值為0、方差為1隨機(jī)數(shù)序列。傳統(tǒng)的隨機(jī)數(shù)生成器大多是應(yīng)用于對稱分布的隨機(jī)數(shù)生成過程，如正態(tài)分布和學(xué)生-t分布等。

本文介紹了一種偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)生成技術(shù)，并采用Matlab6給出了具體實(shí)現(xiàn)的代碼。最后，應(yīng)用該隨機(jī)數(shù)生成器模擬GARCH序列并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。極大似然估計(jì)的結(jié)果表明，利用該隨機(jī)數(shù)生成過程，所得到的服從偏斜-t分布的隨機(jī)數(shù)序列可以產(chǎn)生無偏的估計(jì)量。這些結(jié)果說明，本文的隨機(jī)數(shù)生成器可以很好地應(yīng)用于時(shí)間序列，如GARCH序列的模擬，從而為進(jìn)一步使用蒙特卡羅技術(shù)，討論條件分布的偏斜特征如何影響極大似然估計(jì)量無偏性、效率性和漸近正態(tài)性等統(tǒng)計(jì)特性提供了基礎(chǔ)。

注釋

①關(guān)于Skew-t分布的其它細(xì)節(jié)請參見Hansen (1994)。

參考文獻(xiàn)

[1]Peir€?A. Skewness in financial returns[J]. Journal of Banking Finance， 1999. 23(6): 847～862.

[2]Campbell J Y， Hentschel L. No news is good news : An asymmetric model of changing volatility in stock returns[J]. Journal of Financial Economics， 1992.31(3): 281～318.

[3]Glosten L R， Jagannathan R， Runkle D E. On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks [J]. Journal of Finance， 1993.48(5): 1779～1801.

[4]蔣春福，李善民，梁四安.中國股市收益率分布特征的實(shí)證研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理， 2007.26(4):710～717.

[5]Hansen B E. Autoregressive conditional density estimation[J]. International Economic Review， 1994.35(3): 705～730.

[6]Jondeau E， Rockinger M. Conditional volatility， skewness， and kurtosis: existence， persistence， and comovements[J]. Journal of Economic Dynamics Control， 2003.27(10): 1699～1737.