伽瑪函數和貝塔函數在大學數學中的應用

摘要本文首先給出伽瑪函數和貝塔函數的定義及性質;然后將其應用到定積分，廣義反常積分計算以及概率統計中。通過靈活運用它們可以簡化我們的運算和證明。

關鍵詞伽瑪函數 貝塔函數 定積分 廣義積分

中圖分類號:O174文獻標識碼:A

1 引言

在高等數學及概率統計中，經常會看到伽瑪函數和貝塔函數這兩個熟悉的名字，但是關于這兩個函數性質及詳細的應用卻很少提及，然而這兩個函數在積分運算中經常起到意想不到的簡便效果。雖也有一些文獻討論它們在積分運算和概率統計中的應用，但是篇幅太少，并沒有詳細的介紹。本文將對這兩個函數在積分運算以及概率統計中的應用給出詳細的介紹并推導出一些有用的結論。

首先我們給出這兩個函數的定義:

定義1:稱函數(a)=xa-1e-1dx為伽瑪函數，其中參數a>0稱函數B(a，b)=xa-1(1-x)b-1dx為貝塔函數，其中參數a>0，b>0這兩個函數是歐拉提出的，因此又常稱為歐拉積分。

引理1.1 伽瑪函數具有如下性質:

(1)(n+1)=n!(n∈N) ;(2)(a+1)=a(a);(3)(1/2)=;(4)(a)=x-1e-xdx;(5)(a)=x-1(-lnx)-1。證明:關于前三個結論的證明參見文獻[1]。下面我們證明結論(4)(a)= x-1e-xdx=-1y-1e-ydy(這里換元:y=x)=y-1e-ydy=x-1e-xdx(這里應用積分與積分變量無關的性質，最后我們證明性質(5)(a)=xa-1e-xdx=(-lnz)a-1z(-)dz (這里換元:y=e-) =-1z(-lnz)-1dz = x-1(-lnx)-1dx(這里應用積分與積分變量無關的性質)。

引理1.2貝塔函數具有如下性質:

(1)B(a，b)=B(b，a);(2)貝塔函數與伽瑪函數的關系:B(a，b)=;(3)B(a，1-a)=(a>0)。通過借用這兩個積分，可以經常簡化我們的積分運算。

2 在定積分中的應用

2.1 在定積分計算中的應用

例 1 計算定積分(1-x2)ndx，其中n∈N

解 設t=x2，dx=t-dt有: (1-x2)ndx=2(1-x2)ndx(因(1-x2)n為偶函數)

例2對正數a，b有:

證明令t=sinx，則x=arcsint，dx=dt則

2.2 在利用定積分求平面圖形的面積中的應用

例3 求曲線所圍成的平面圖形的面積

解:由于區域邊界曲線的對稱性質，區域面積:

注:上面第二個等號應用了例2的結論。

例4求麥克勞林正弦螺線Pn=ancos(n)所圍成的平面圖形的面積。

解:該曲線每一支所界定的區域面積是

注:第二個等號應用換元:t=n;第三個等號應用例2結論。

3 在廣義積分中的應用

例5 計算廣義積分dx(其中b>a)

解:令x=a+(b-a)，0<≤1，

例6計算積分I=xn-1lnmxdx，其中m為自然數

解令t = lnx，則x = e-t，dx = -e-tdt，那么

4 在概率統計中的應用

引理4.1若隨機變量服從正態分布，則:

(1)隨機變量的k階中心矩;

(2)數學期望EX=; (3)方差Var(X)=2

證明 首先計算隨機變量的k階中心矩

做變量代換 = t有:當k是奇數時，因為被積函數是奇函數，所以積分等于0，這時我們得到:k(X)=0，k=1，3，5…當k是偶函數時，因為被積函數是偶函數，所以有:做變量代換t2=2，得k=2，4，6…特別的:k=1時， 有1(X)=E(X-)=0，從而數學期望EX=當K=2時，得到方差Var(X)=2(X)=(2-1)!!2=2

引理4.2設隨機變量X服從拉普拉斯分布分布，

若其密度函數為:f(x)=e-|x|，-∞

則;數學期望EX=0;Var(X)=2

證明注意到，當k是奇數時，因為被積函數是奇函數，所以積分等于0，這時我們得到:EXk=0，k=1，3，5…當k是偶函數時，因為被積函數是偶函數，且廣義積分xke-|x|dx絕對收斂，所以有:

k=2，4，6…

引理4.3設隨機變量X服從參數為的麥克斯韋(Maxwell)分布，若其概率密度函數為:

其中>0為常數則數學期望 EX=

證明

做變量代換=t得

引理4.4 設隨機變量 X服從參數為>0 ，>0的伽瑪分布Gamma(，):

證明:

特別的，當k=1時，我們有數學期望:

注:(1)當=1時，隨機變量X服從參數為的指數分布E()，其數學期望為:EX=，方差為:Var(X)，矩:EXk=

(2)當=，=時，隨機變量X服從自由度為n的卡方分布2(n)。而一般的概率統計教材通常采用如下的定義:若隨機變量X1，…，Xn相互獨立，都服從正態分布N(0，1)，則Y=X12+…+Xn2服從自由度為n的卡方分布2(n)有了上面我們的結論，我們不但可以知道卡方分布2(n)的密度函數:

而且，可以知道它的數學期望EX=n;方差:Var(X)=2n

引理4.5設隨機變量X1，…，Xn獨立同分布，同服從參數為和2的正態分布N(，2)，

試證明:S不是的無偏估計。

證明:我們知道隨機變量Y=服從自由度為n的卡方分布2(n-1)，而由引理1.6的注中我們知道:

2(n-1)=Gamma(，)故

上式最后一個等號應用了引理1.2的4)。從而

故結論得證。

參考文獻

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