淺談方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘要方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，方程思想對(duì)解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題，尤其是綜合題型，非常有用。本文將從什么是方程思想，如何運(yùn)用方程思想解題，學(xué)生利用方程進(jìn)行問題解決的能力培養(yǎng)三個(gè)方面對(duì)方程思想進(jìn)行探討。運(yùn)用方程思想解決實(shí)際問題是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一種提煉過程，其解題過程并不是一種簡(jiǎn)單的形式化的過程，抓住等量關(guān)系，將題目中的等量關(guān)系用含有未知數(shù)的式子表示出來(lái)，是方程思想的一種體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞方程思想 等量關(guān)系 問題解決

中圖分類號(hào):G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

著名數(shù)學(xué)家R·柯朗60年前曾擔(dān)心:“數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練，解題雖然可以提高形式推導(dǎo)的能力，但卻不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨(dú)立思考。”我國(guó)目前的數(shù)學(xué)教育就存在這樣的現(xiàn)狀，一些數(shù)學(xué)教師在授課過程中采取“知識(shí)點(diǎn)—典型題—解題方法”的教學(xué)模式，對(duì)一系列典型題拋給學(xué)生一套法則解題，然后實(shí)行題海戰(zhàn)術(shù)，反復(fù)操練各類題型，使學(xué)生熟悉到“條件反射”的地步，嚴(yán)重束縛了學(xué)生思維發(fā)展，違背了教育最初的育人目的。有位數(shù)學(xué)教師曾經(jīng)做過測(cè)試:對(duì)同樣的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，采取不同的指導(dǎo)思想，分別施教于兩個(gè)平行班:A班采取講題型和解題技巧為主的講法;B班采取分析問題來(lái)龍去脈，探究解題策略及傳授相應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法的講法。課程結(jié)束后，A班測(cè)試成績(jī)略高于B班測(cè)試成績(jī)，兩個(gè)月后又進(jìn)行了一次測(cè)試，B班成績(jī)?nèi)司哂贏班7分!就教學(xué)過程而言，A班的講授法重視題目的識(shí)別與記憶水平，是典型的機(jī)械教學(xué);B班的講授法則重視數(shù)學(xué)思想方法的傳授。就學(xué)生自我發(fā)展而言，B班的講授法更占優(yōu)勢(shì)，在數(shù)學(xué)問題解決上思路更加清晰，對(duì)學(xué)生自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建及思維能力提高起到積極作用。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和運(yùn)用對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要意義，本文則針對(duì)數(shù)學(xué)思想方法中較為重要的方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討。

1 方程思想

所謂“方程思想”，就是從問題中的未知量入手，探求未知量和已知量之間的數(shù)量關(guān)系，通過適當(dāng)設(shè)元建立相應(yīng)個(gè)數(shù)的方程，解方程(組)，最終達(dá)到解題目的的思維方式。由于方程是含有未知數(shù)的等式，因此，應(yīng)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題，要經(jīng)過設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程的過程。

2 如何運(yùn)用方程思想解題

2.1 運(yùn)用方程思想的解題步驟

G·波利亞在《怎樣解題》中提出了“怎樣解題表”的四個(gè)步驟:第一，弄清問題:你必須弄清問題;第二，擬定計(jì)劃:找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃;第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃:實(shí)行你的計(jì)劃;第四，回顧。驗(yàn)算所得到的解。

依據(jù)“怎樣解題表”的觀點(diǎn)，將運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題大致歸結(jié)為如下四個(gè)步驟:第一，在弄清楚問題的基礎(chǔ)上，將問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)或幾個(gè)未知量;第二，尋找未知量與已知量之間的關(guān)系式，即用兩個(gè)不同的式子表示同一個(gè)量，得到一個(gè)或幾個(gè)方程;第三，解方程或方程組;第四，將方程或方程組的解帶入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得到問題的正解。

下面就具體的雞兔同籠問題進(jìn)行方程思想解題的具體說(shuō)明:我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一著名的“雞兔同籠”問題:今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何?首先，這是一道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，根據(jù)問什么求什么的原則，我們?cè)O(shè)雞有x只，兔有y只，我們將問題轉(zhuǎn)換為求解未知量x，y的問題。然后，我們尋求x，y與題中已知條件的關(guān)系式，我們發(fā)現(xiàn)用x，y表示的雞兔的頭和35構(gòu)成等量關(guān)系，用x，y表示雞兔的足與94構(gòu)成等量關(guān)系，于是，我們得到方程組，我們觀察到恰好有兩個(gè)未知數(shù)和兩個(gè)關(guān)于未知數(shù)的方程，求解方程組，得到x=23，y=12，符合題目要求，于是最終得到雞兔的個(gè)數(shù)分別為23和12。這就是一道具體的運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)例。

2.2 運(yùn)用方程思想需要注意的問題

2.2.1 如何設(shè)未知數(shù)

在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，未知數(shù)設(shè)定得當(dāng)，問題解決的就簡(jiǎn)單;未知數(shù)設(shè)定不得當(dāng)，問題解決的過程就會(huì)復(fù)雜，有時(shí)甚至無(wú)法解決問題。初學(xué)利用方程思想解數(shù)學(xué)問題時(shí)由于學(xué)生關(guān)于方程思想的認(rèn)知結(jié)構(gòu)剛剛構(gòu)建，多數(shù)問題都是“求什么設(shè)什么”，但是，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，情況就發(fā)生轉(zhuǎn)變，許多數(shù)學(xué)問題重在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，就不僅僅局限于此，因此要選擇適當(dāng)?shù)膶?duì)象設(shè)成未知數(shù)，力求解決問題的最簡(jiǎn)化。

例如:△ABC中，∠A=90€埃螧=60€埃敲湊飧鋈切蔚娜哂?:2:的關(guān)系。一般情況下，設(shè)一倍量為x比較簡(jiǎn)單。

2.2.2 尋求等量關(guān)系

用兩個(gè)不同的等式表示同一個(gè)量，就得到一個(gè)方程，有多少個(gè)未知數(shù)就要列出多少個(gè)這樣的方程。尋求等量關(guān)系的過程中，需要根據(jù)具體情況挖掘題目中隱含的條件，也就是挖掘題目中沒有明確給出，隱藏在題目中的基本概念，基本性質(zhì)，定理或生活實(shí)際等。

例如:一輛汽車以每小時(shí)70公里的速度從A城市開往B城市，隨后用每小時(shí)60公里的速度返回。問它在整個(gè)行程中的平均速度是多少?

分析:平均速度=整個(gè)路程∕行駛時(shí)間。題目只給了來(lái)和回的速度，并沒有明確給出求平均速度需要的整個(gè)路程數(shù)和行駛時(shí)間數(shù)，需要我們自己挖掘隱含條件。(下轉(zhuǎn)第153頁(yè))(上接第114頁(yè))

2.2.3 構(gòu)造方程解決問題

有些數(shù)學(xué)問題尤其是近些年出現(xiàn)的一些綜合題型，其題目難度較大，運(yùn)用方程思想解決問題可以簡(jiǎn)化難度，但運(yùn)用這種方法并不是很直觀的，對(duì)學(xué)生的思維能力有較高的要求，需要認(rèn)清問題的本質(zhì)，有豐富的聯(lián)想能力。

例如:解方程組

分析:將方程組中的一個(gè)方程進(jìn)行變形，用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，代入另一個(gè)方程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這種循規(guī)蹈矩的解法計(jì)算繁瑣。觀察這兩個(gè)方程的形式，轉(zhuǎn)念一想，其形狀貌似一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，于是，解這個(gè)方程組時(shí)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，把方程組中x，y看成一元二次方程z2-32z+231=0的兩根。解這個(gè)方程得z1=21，z2=11。所以原方程組的解為。顯然，運(yùn)用方程思想達(dá)到了簡(jiǎn)化題目的目的。

2.2.4 回顧檢驗(yàn)解的合理性

解方程解出的是方程的解，與原問題并不一定吻合，需要具體情況具體解決，檢驗(yàn)根的最終正確性。

例如:一超市以每3根16元錢的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批簽字筆，又從另外一處以每4根21元錢價(jià)格購(gòu)進(jìn)比前一批數(shù)量加倍的簽字筆，如果以每3根k元的價(jià)格全部出售可得到所投資的20%的收益，求k的值。

分析:可以設(shè)超市第一次購(gòu)進(jìn)x根簽字筆，則第二次購(gòu)進(jìn)2x根簽字筆。根據(jù)題意，列出方程:(x+2x)=(x·+2x·)(1+20%)，整理得:xk=，根據(jù)實(shí)際情況由于x≠0，兩邊除以x，得k=19，于是問題解決。

3 學(xué)生利用方程進(jìn)行問題解決的能力培養(yǎng)

3.1 培養(yǎng)學(xué)生具有運(yùn)用方程思想解題的意識(shí)

看起來(lái)與代數(shù)毫無(wú)關(guān)系的一些問題，其實(shí)是需要運(yùn)用代數(shù)方法，列出方程解決的，發(fā)展思維能力，學(xué)習(xí)解題技巧，挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)建運(yùn)用方程思想解題的意識(shí)，在學(xué)習(xí)中不斷積累這種解題技巧。

3.2 培養(yǎng)學(xué)生正確列出方程的能力

善于挖掘題目中的隱含條件，充分利用已知條件，列出正確的方程，是解題的關(guān)鍵，要求學(xué)生在做題過程中培養(yǎng)善于觀察，獨(dú)立思考的能力。

3.3 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用方程思想解決問題的能力

解析幾何的軌跡計(jì)算問題，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，方程，函數(shù)，不等式等內(nèi)容，運(yùn)用方程思想解題占著舉足輕重的地位，應(yīng)在做題的過程中培養(yǎng)方程思想的解題的能力。

3.4 加強(qiáng)發(fā)散、收斂思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的能力

創(chuàng)新思維是運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題創(chuàng)新能力的核心，沒有思維的創(chuàng)新就沒有解題的創(chuàng)新。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生發(fā)散思維的流暢性，變通性和獨(dú)創(chuàng)性的訓(xùn)練。

運(yùn)用方程思想解題的關(guān)鍵是利用公式，定理或已知條件中的已知結(jié)論構(gòu)造方程或方程組。這種思想在代數(shù)、幾何以及生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。在國(guó)內(nèi)各省市中考、高考題中經(jīng)常出現(xiàn)。

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