談不等式證明的幾種特殊方法

摘要不等式的證明在數(shù)學(xué)中是比較常見的題型，本文主要介紹幾種特殊的證法，解決一些用一般方法不易解決的不等式證明問題。

關(guān)鍵詞拉格朗日中值定理 導(dǎo)函數(shù) 柯西中值定理

中圖分類號:O178文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

不等式是中學(xué)教材的重要內(nèi)容，對它的研究幾乎包括了中學(xué)數(shù)學(xué)的全部方法，因此它具有很強(qiáng)的綜合性和代表性，不等式證明方法與技巧層出不窮，但有些不等式用常見的方法(如比較法、分析綜合法、放縮法和數(shù)形結(jié)合法等)很難證出來，這里結(jié)合高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)介紹幾種特殊的不等式的證法，解決某些不等式的證明問題。

1 轉(zhuǎn)化成數(shù)列，然后證明數(shù)列的遞增遞減

對于與自然數(shù)有關(guān)的不等式，一般情況下都可用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式成立，有時(shí)若考慮把它轉(zhuǎn)化成數(shù)列，然后利用數(shù)列的遞增或遞減性來證明會(huì)使問題易于解決。

例1.求證:不等式2n-1≤n!對于任何正整數(shù)都成立

證明:我們把所給的不等式變?yōu)榈葍r(jià)的不等式≤1

現(xiàn)在，我們來研究其通項(xiàng)公式an=

給出的數(shù)列，下面我們只需證明它是單調(diào)遞減的，實(shí)際上對于任意的n∈N有

所以該數(shù)列是遞減的，而它的首項(xiàng)等于1，因此對于任何正整數(shù)有≤1即2n-1≤n!

此題若采用一般方法如數(shù)學(xué)歸納法來證，證明過程太繁瑣，機(jī)械化，選擇這種方法證明不等式，思路清晰，簡化了證明過程，我們很容易收到事半功倍的效果。

2 利用拉格朗日中值定理，導(dǎo)函數(shù)或柯西中值定理[2]證明

對于有些與函數(shù)有關(guān)的不等式，我們可先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，然后利用拉格朗日中值定理或?qū)Ш瘮?shù)的增減性來證明。

例2.當(dāng)x>0，ex>x+1

證明(1):令f(x)=ex-x-1(x>0)

因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有 = f'()，∈(0，x)

即=e-1，∈(0，x)所以ex>x+1

證明(2):設(shè)f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1

x>0有f'(x)>0，從而函數(shù)f(x)在(0，+∞)嚴(yán)格單調(diào)遞增，于是x>0

有f(x)=ex-x-1>0 即x>0，有ex>x+1

此題開始接觸，無法下手摸不著頭腦，若能聯(lián)想到函數(shù)有關(guān)的不等式，我們能很容易地構(gòu)造出輔助函數(shù)，在驗(yàn)證輔助函數(shù)滿足定理后，我們用拉格朗日中值定理或?qū)Ш瘮?shù)的增減性來證明，思路簡潔明快。

例3.證明:當(dāng)時(shí)0

證明:函數(shù)arctan在[a，b]滿足柯西中值定理?xiàng)l件，有

arctan-arctan=(arctan)'|x=c(b-a)=，a

而<<有

此類題目不等式中的代數(shù)式特征及聯(lián)系很容易暴露出來，若能熟練應(yīng)用柯西中值定理，我們就能一眼看出相應(yīng)的函數(shù)，作到成竹在胸。

3 利用柯西不等式[1]證明

在用柯西不等式證明其他不等式時(shí)，關(guān)鍵在于結(jié)合柯西不等式找出題目中不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)，將會(huì)使問題證明簡化

例4.設(shè)ai∈R+(i=1，2，…，n)，a1+a2+…+an=1

求證:(ai+)≥

證明:首先證明，對于任何ai∈R+(i=1，2，…，n)都有

事實(shí)上，從柯西不等式可得

[1]式左邊=

下面我們來證明原不等式，由柯西不等式得，

又由ai=1可知:

由(2)，(3)得(ai+)≥

在本題證明中，當(dāng)證明(1)與(2)式時(shí)兩次應(yīng)用了柯西不等式，從證明過程中可以看到應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造適合不等式條件的兩組正數(shù)及，以及符合柯西不等式形式[aibi]2(如(2)式的證明)或(ai2)(bi2)(如(1)式的證明)。

4 利用排序原理[1]證明不等式

排序原理是將序結(jié)構(gòu)應(yīng)用到不等式的成功產(chǎn)物，它同排列與計(jì)數(shù)(屬組合數(shù)學(xué))，線性規(guī)劃等有密切聯(lián)系，排序原理是證明不等式的很重要的工具，排序原理的應(yīng)用技巧較強(qiáng)，如何設(shè)兩個(gè)數(shù)組(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)是排序原理應(yīng)用的關(guān)鍵。

例5.設(shè)都是正數(shù)x1，x2，…，xn，求證:

證明:由排序原理得

由此例，我們可驚喜地發(fā)現(xiàn)，若能巧妙地設(shè)計(jì)兩個(gè)數(shù)組應(yīng)用排序不等式證明不等式，比起其他一般方法當(dāng)然就可化難為易，簡捷明快。

5 利用概率論中的一個(gè)簡單矩不等式[3]證明不等式

此簡單矩不等式可以用來證明一類輪換不等式:

設(shè)a1，a2，…，an是不全相等的不等式，n≥且ai=s

則>n(n-1)

例6.已知不全相等的不等式的正數(shù)，求證:

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

證明:原式等價(jià)于>6

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

在應(yīng)用簡單距不等式證明這類輪換不等式時(shí)，先要摸清不等式代數(shù)式的規(guī)律性，巧設(shè)隨機(jī)變量的分布列，這樣就使證明思路明朗化了，簡單化了。

6 利用拉格朗日恒等式或推廣式[4]證明不等式

對三角不等式證明的一類問題，若運(yùn)利用拉格郎日恒等式(或推廣式)來求證，可以化難為易，一目了然。

例7.設(shè)0<<證明:

證明:由拉格郎日恒等式，得

將上面等式化簡整理，得

式中等號成立當(dāng)僅當(dāng)sin2-1即=

由上例，我們知道對于這類三角不等式的證明問題，我們經(jīng)常需要利用三角恒等變形，如本題的常值“1”的代換，也需要我們敏捷地觀察出特征不等式個(gè)代數(shù)式的特征及內(nèi)在聯(lián)系，能熟練地掌握拉格郎日恒等式及推廣式，在解決這類問題時(shí)，就不廢吹灰之力了。

7 構(gòu)造輔助函數(shù)

在證明一些不等式時(shí)，利用不等式的特點(diǎn)構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的不等式問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，便利用函數(shù)的單調(diào)性，有界性，奇偶性等來證明不等式。

例8.證明對任意實(shí)數(shù)X成立≤≤

分析:不等式兩邊分別是，相當(dāng)于某一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)根，這啟發(fā)我們設(shè)置輔助函數(shù)研究不等式。

證明:設(shè)f(x) = y = ，則yx2-x-y+1=0

將yx2-x-y+1=0看作一元二次方程，此時(shí)y≠0，x必為實(shí)數(shù)，則△=1-4y(y+1)≥0 即4y2+4y-1≤0

解得≤y≤

顯然，當(dāng)y=0時(shí)，y也滿足上式，所以≤≤成立

從上例可以發(fā)現(xiàn)，我們在求證一些不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等式，各代數(shù)式的特性，性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察，分析對象，抓住各代數(shù)式之間內(nèi)在聯(lián)系，在思維中構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，使原來不等式中隱含不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的輔助函數(shù)中清楚地展現(xiàn)出來，從而借助該輔助函數(shù)簡潔地求證不等式。

8 利用特殊化證明

由于一般性總是寓于特殊性之中，而解特殊問題又比解一般問題要容易，加之特殊情況的結(jié)論往往又是解決一般情況的橋梁與先導(dǎo)。所以，在求證某一些不等式時(shí)，就可以先考慮它一個(gè)或兩個(gè)特殊情形，利用各個(gè)特殊情形中蘊(yùn)涵的共性與個(gè)性，通過比較歸納得出原問題的有關(guān)性質(zhì)或條件，從而得證。

例9求證:

分析這是一個(gè)一般性的結(jié)論，為了獲得證法，我們先探討特殊情況下的命題證法，有

由此啟示，我們可得到以下證法 (下轉(zhuǎn)第54頁)(上接第52頁)證明:

在探討這個(gè)不等式的證明思路與方法時(shí)，我們利用特殊情形的證法與一般情形的證法存在共性，借助在證明特殊情形時(shí)尋求出來的規(guī)律與方法的啟發(fā)很容易就獲得對于一般情形的求證方法。

例10.知a，b，c都是正數(shù)，又滿足abc=1，

求證: ++ ≥

分析由于原不等式等價(jià)于 ++ ≥

當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立，又此時(shí)

后三式同向相加可得

于是題目的證明思路就清晰了，這里就不再重復(fù)證明過程。本題是用特殊化證法中的等號起步法，充分利用已知條件掌握求證信息，證明思路當(dāng)然“柳暗花明又一村”了。

9 小結(jié)

不等式是研究數(shù)學(xué)的重要工具，是培養(yǎng)推理論證能力的重要內(nèi)容，具有很強(qiáng)的綜合性和表達(dá)性，是數(shù)學(xué)思想的載體，突出體現(xiàn)了等價(jià)變化，函數(shù)與方程，分類討論，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，這里僅介紹幾種特殊的不等式證法，雖然它們是分開討論研究的，但各種證法之間必然還是存在一定的聯(lián)系，一些例題的證法不止一兩種，我們可以綜合應(yīng)用各種方法來證，當(dāng)然一般情況，我們都愿意尋求最簡潔明快的證法，也就是要求我們仔細(xì)地分析題設(shè)和結(jié)論不等式。找出不等式中隱藏的內(nèi)涵關(guān)系，用最直觀的方法來證，不等式的證明好方法很多，如向量法、微分法、反證法等。

參考文獻(xiàn)

[1]李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究.上海科技教育出版社.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義.高等教育出版社，1992(6).

[3]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.高等教育出版社，1983(10).

[4]數(shù)學(xué)通訊，2003(7):13.