液體表面積趨于最小的探討

摘要:介紹液體表面張力的形成原因及性質時，教師通常用金屬絲做成的立方體框架浸入肥皂液再取出，讓學生觀察肥皂膜形成的幾何形狀，從而激發學生學習興趣，活躍課堂氣氛。本文從能量、微觀、力學三個角度分別闡述液體表面張力形成原因及性質，并用極值法求出中間正方形薄膜的邊長。

關鍵詞:液體;表面張力;肥皂膜;內力;表面張力系數

中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A 文章編號:1003-6148(2010)2(S)-0055-3

在人教版選修3-3第九章第二節《液體》中介紹液體表面張力的形成原因及性質時，教師往往會用金屬絲做成的立方體框架浸入肥皂液再取出，框上的肥皂膜總是最后變成如圖1所示的幾何形狀。

學生可能會有疑問:為何最后總是變成如圖1所示的幾何形狀?中間那塊正方形薄膜的邊長究竟是多少?

要回答上面兩個問題，首先得了解液體表面張力形成原因及液體表面積趨于最小的性質。我們可以從能量、微觀、力學三個不同角度闡述。

1 從能量角度

液體與自己的蒸氣或另一種介質(包括盛液體的容器壁)接觸的交界面稱為液體的表面。在液體表面附近一薄層內的分子，其情況與液體內部的分子的情況不同，因而產生一系列特殊的現象，統稱表面現象。

實驗表明，液體與氣體相接觸處的表面，猶如一張緊的有彈性的薄膜，有收縮的趨勢。例如，一根縫衣的小鋼針，雖然它的密度約為水的密度的10倍，但若輕輕地把它放在水面上，它將把水面壓成一條小溝槽而不下沉，這表明液體表面像一張緊的彈性膜，也就是說表面一定存在著一種張力，稱作表面張力(surface tension)。表面張力是液體表面的內力，通常把液面與固體周界之間相互作用的拉力也叫表面張力。若在液體表面上想象畫一根線，則該線兩側的液面相互存在著拉力的作用(如圖2所示)。因為這種力跟粘附在固體周界上的液體表面與相鄰液面之間的內力在數值上是相等的，用式子表示為F=σl，其中l為液面的周界(或截線)長度，σ稱為表面張力系數，其數值等于液面上作用在每個單位長度截線(或周界)上的表面張力。

由于液面有自動收縮的趨勢，所以增大液體表面需要克服表面張力做功。如圖3所示，保持液膜面積不變需加外力。設使AB邊向右移動距離Δx，則此過程中克服表面張力所做的功為:

ΔW=F外Δx=2FΔx

=2σ#8226;AB#8226;Δx=σ#8226;Δx

式中Δs表示AB邊移動Δx時液膜的兩個表面所增加的總面積，在等溫過程的條件下，這個功轉變為液體表面能的增量ΔE，所以可以得出:σ=ΔE/Δs。

此式表示:表面張力系數σ在數值上等于在等溫條件下液體表面增加單位面積時所增加的表面能。理論和實驗事實表明，在等溫條件下，體積一定的液體的平衡態對應于表面自由能取極小值。而由Δs和ΔE的正比關系可知，這也對應于表面積取最小值，由此可以說明液體表面為何有收縮的趨勢。此外，我們知道體積一定的物質取球形表面積最小，由此可以解釋為什么液滴的形狀都接近球形。例如荷葉上滾動的水珠，從勺中流出的蜂蜜細流在斷開時下部形成球形，將破碎玻璃鋒利的邊緣用火焰燒軟再冷卻后，邊緣呈平滑狀等等，都是這一類實例。

2 從微觀角度

從微觀角度看來，液體表面并不是一個真正的幾何面，而是一個厚度為分子力有效作用距離(數量級為10-9m)的薄層，稱為表面層。考慮表面層中任意一個分子B，若以B為圓心，以分子力有效作用距離為半徑作一分子力作用球，則此球有一部分落在液體之外(見圖4)，因而表面層內的分子與液體內部的分子相比缺少一些能吸引它的分子，使得引力所引起的勢能的絕對值小一些。但引力勢能是負值，所以液體分子處于表面層中的勢能比在液體內部的勢能高。表面積越大的液面，表面層中的分子數越多，表面總勢能越高。但系統的能量總是越小越穩定，因此液體表面積趨向縮小。而液體又極不易壓縮，體積是一定的，于是表面縮小的趨勢使液面呈張緊狀態而出現表面張力。

以上分析中沒有提到分子間的斥力，這是因為斥力有效作用距離比引力更短，只有在分子周圍緊鄰的分子才對它有斥力作用，這就使表面層內分子受斥力的情況與液體內部情況基本相同。

3 從力學角度

在了解了液體表面形成原因及體積一定時液體表面積趨向最小的性質后，我們不妨回到圖1來求出中間正方形薄膜的邊長的最小值。

如圖5:設立方體的邊長為a，中間正方形薄膜的最小邊長為b，薄膜的表面積為s，成梯形薄膜的高為h。由于對稱性成梯形狀八塊薄膜面積一樣(忽略薄膜的厚度)。