計(jì)算教學(xué)中要處理好的幾個(gè)關(guān)系

我國(guó)數(shù)學(xué)課程一直將數(shù)的運(yùn)算作為小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，并且取得了很多優(yōu)秀的成績(jī)和寶貴的經(jīng)驗(yàn)。尤其是課改以來(lái)，我們積極地踐行著新課程理念，在如何進(jìn)行有效的計(jì)算教學(xué)方面取得了許多共識(shí)。但在實(shí)際教學(xué)中仍然存在許多困惑和問(wèn)題，需要大家的關(guān)注和研究。比如“算理和算法孰輕孰重?”“多樣化算法是否需要優(yōu)化?”“如何處理估算、口算和筆算的關(guān)系?”“怎樣將解決問(wèn)題與運(yùn)算的學(xué)習(xí)自然地融合在一起?”等等。本文試從計(jì)算教學(xué)中的幾個(gè)關(guān)系入手，探尋解決以上困惑的途徑，讓計(jì)算教學(xué)落到實(shí)處。

一、情境創(chuàng)設(shè)與探索算法的關(guān)系

在新課程背景下，情境教學(xué)走入了數(shù)學(xué)課堂，也成了計(jì)算教學(xué)的重頭戲。在計(jì)算教學(xué)實(shí)踐中，有的執(zhí)教者認(rèn)為計(jì)算教學(xué)的情境引入，無(wú)非是給計(jì)算簡(jiǎn)單地“戴上一頂情境的帽子”而已，學(xué)生只須根據(jù)情境中提供的信息和問(wèn)題列出算式，而后在計(jì)算方法的探索中進(jìn)行的是純數(shù)學(xué)化的算法教學(xué)，以至于到計(jì)算出結(jié)果也沒(méi)有再提及開始創(chuàng)設(shè)的情境。看過(guò)許多計(jì)算課，都是教師先出示情境圖，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)信息并提出問(wèn)題，以此引出算式。接下來(lái)，學(xué)生探索計(jì)算方法，然后在練習(xí)中鞏固，在應(yīng)用中拓展。看似很順利的一節(jié)課，卻讓我們開始思考這個(gè)教學(xué)情境的價(jià)值了。

例如，在“衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間”一課中，先觀看“東方紅一號(hào)發(fā)射成功”的視頻，進(jìn)入情境，獲取信息“衛(wèi)星繞地球一圈需要114分”，并提出問(wèn)題“繞地球21圈需要多少時(shí)間” ?學(xué)生能夠列出算式114×21。在這里的情境不僅僅是為了算式的引入，而是要幫助學(xué)生更好地理解運(yùn)算的意義。讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)114表示什么?21又表示什么?怎么想到用乘法?明確要求的是衛(wèi)星繞地球21圈的時(shí)間，也就是求21個(gè)114分是多少，因此用乘法計(jì)算。理解了乘法的意義的同時(shí)還為探索算法找到了現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生會(huì)自覺(jué)想到要算21圈(114×21)的時(shí)間，可以先算20圈(114×20)的，再加上1圈(114×1)的時(shí)間，這也就是接下來(lái)要探索的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的基本計(jì)算方法。

筆者認(rèn)為，一個(gè)好的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)不但要聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際，激發(fā)全體學(xué)生參與，更要富含有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，供學(xué)生提出和解決問(wèn)題。計(jì)算教學(xué)中的情境創(chuàng)設(shè)還要注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出運(yùn)算的過(guò)程，關(guān)注對(duì)運(yùn)算意義的理解，這也是探索算法的現(xiàn)實(shí)背景。例如上面案例中的教學(xué)情境不僅僅是為了算式的引入，而是要幫助學(xué)生更好地理解運(yùn)算的意義。在列出算式后要讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)114是什么?21又表示什么?怎么想到用乘法?明確要求的是衛(wèi)星繞地球21圈的時(shí)間，也就是求21個(gè)114分是多少，因此用乘法計(jì)算。在此理解運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，學(xué)生會(huì)自覺(jué)想到要算21圈(114×21)的時(shí)間，可以先算20圈(114×20)的，再加上1圈(114×1)的時(shí)間，這也就是接下來(lái)要探索的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的基本的計(jì)算方法。

因此，在計(jì)算教學(xué)中，要用開放的眼光審視情境教學(xué)，建立實(shí)際情境與數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生產(chǎn)生直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，找到數(shù)的運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)背景，促進(jìn)學(xué)生理解運(yùn)算的含義及其性質(zhì)，并能自覺(jué)地運(yùn)用于解決應(yīng)用問(wèn)題之中。

二、估算、口算和筆算的關(guān)系

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“重視口算，加強(qiáng)估算，淡化筆算”。于是，有的教師認(rèn)為這是針對(duì)一道題目的3種不同算法，無(wú)論是什么題目，都把三者“不分輕重”地拿來(lái)估一估，算一算，于是就有了下面的教學(xué)片段:

師:先估一估36+57的結(jié)果大約是多少?

生:把36看成40，把57看成60，結(jié)果大約是100。

師:那實(shí)際結(jié)果是多少?算一算吧。

學(xué)生計(jì)算，然后交流算法:

生1:我是口算的，

30+50=80，6+7=13，80+13=93。

生2:我是列豎式筆算的，結(jié)果也是93。(豎式略。)

師:真不錯(cuò)，你們不但會(huì)估算，而且還學(xué)會(huì)了口算和筆算。

然而事實(shí)上這三者有著不同的內(nèi)涵和價(jià)值，那估算、口算、筆算各自處在什么地位?它們之間又具有怎樣的關(guān)系?應(yīng)該如何把握呢?

重視口算的根本原因是口算具有很高的實(shí)用價(jià)值，在日常生活中經(jīng)常會(huì)用到，而且它是數(shù)感發(fā)展過(guò)程中的一個(gè)重要部分，可以發(fā)展高層次的數(shù)學(xué)思維以及解決問(wèn)題的能力。不難發(fā)現(xiàn)，口算方法靈活、速度快的學(xué)生的數(shù)感都很好。

加強(qiáng)學(xué)生估算能力的培養(yǎng)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的一個(gè)特色。估算可以發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，并對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)具有重要的意義。同時(shí)估算也具有重要的實(shí)用價(jià)值，因?yàn)橛袝r(shí)我們只須要估算結(jié)果。例如，去購(gòu)物時(shí)須要估算一下帶的錢夠不夠等。

所謂“筆算”，指借助于紙和筆等進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，是記錄具體材料進(jìn)行計(jì)算過(guò)程與結(jié)果的書面形式。筆算一般是在無(wú)法通過(guò)口算直接算出結(jié)果時(shí)進(jìn)行的一種計(jì)算方法，分為橫式筆算和豎式筆算兩種。由于豎式筆算書寫形式簡(jiǎn)便，是學(xué)生必須掌握的計(jì)算方法。

由此看出，口算、估算、筆算有各自不同的價(jià)值，但都是為了提高學(xué)生計(jì)算能力和培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)感，是相互滲透，相互促進(jìn)的。口算以理解運(yùn)算意義為前提，能更好把握數(shù)的大小關(guān)系，幫助學(xué)生理解算理。估算要以準(zhǔn)確熟練的口算為基礎(chǔ)，有時(shí)估算也須要用筆算，也可以從估算的結(jié)果推出精確的計(jì)算結(jié)果。筆算是記錄口算的過(guò)程和結(jié)果的另一種書寫形式，又是驗(yàn)證估算的一種方式。

例如，在學(xué)生探索114×21的算法前，先讓學(xué)生結(jié)合情境估計(jì)結(jié)果，可以把114看做110，把21看做20，110×20=2 200，大約等于2 200;也可以把114看做120，把21看做20，120×20=2 400，大約等于2 400。結(jié)果的大致范圍是比2 200多，大約2 400。學(xué)生都是把兩、三位數(shù)看成整十?dāng)?shù)，根據(jù)已有計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)來(lái)估算的，這也為后面的口算提供了思路。接下來(lái)，學(xué)生獨(dú)立思考，探索計(jì)算方法，在本子上把計(jì)算過(guò)程寫出來(lái)。實(shí)際上，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生須要先進(jìn)行口算，然后把計(jì)算過(guò)程記錄下來(lái)就已經(jīng)是筆算了。多數(shù)學(xué)生會(huì)應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行口算:把21分成20和1，然后分別和114相乘，再把所得的兩個(gè)積相加。在這其中，理解了兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，豎式筆算也就自然引出了。由于豎式書寫簡(jiǎn)便，教師有權(quán)利與義務(wù)提醒學(xué)生理解著運(yùn)用，并在適當(dāng)?shù)木毩?xí)中掌握。

最后，引導(dǎo)學(xué)生把計(jì)算結(jié)果和先前的估算結(jié)果對(duì)照一下，哪個(gè)估算更接近實(shí)際結(jié)果呢?怎樣估更接近?學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)估算時(shí)把一個(gè)乘數(shù)估大，另一個(gè)乘數(shù)估小，得數(shù)會(huì)更接近精確結(jié)果。這其中又促進(jìn)了學(xué)生的估算意識(shí)和估算策略。還可以在學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤時(shí)，先讓學(xué)生根據(jù)估計(jì)結(jié)果，直接判斷計(jì)算是否正確。例如，學(xué)生把203×32的結(jié)果算成了1 060，學(xué)生通過(guò)估算會(huì)發(fā)現(xiàn)，把203看成200，把32看成30，積已經(jīng)是6 000了，那這個(gè)1 096的結(jié)果肯定是錯(cuò)了。這里就體現(xiàn)了估算可以用來(lái)檢查筆算結(jié)果的思想。

另外，在解決問(wèn)題中估算、口算和筆算都可以看成是一種解題策略，所以要處理好它們之間的關(guān)系，還要讓學(xué)生養(yǎng)成根據(jù)需要作出選擇的意識(shí)和習(xí)慣。

例如，學(xué)習(xí)小數(shù)加減法后，有這樣一個(gè)問(wèn)題:

一般情境下，學(xué)生都會(huì)先算一算兩本書一共需要多少錢，再和帶的錢數(shù)比較，從而作出決策。而實(shí)際上，這道題完全不用精確計(jì)算，可以通過(guò)估算解決。先把21.8元看成22元，把14.5元看成15元，口算得出22+15的結(jié)果是37元，也就是兩本書最多需要37元。所以40元夠了。然后教師應(yīng)追問(wèn):這道題如果求什么問(wèn)題時(shí)就必須精確計(jì)算?讓學(xué)生明白如果要求剩余的錢數(shù)時(shí)，就要精確計(jì)算了。從中積累經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)有的問(wèn)題要精確計(jì)算，有的問(wèn)題只要估算。

三、算理和算法的關(guān)系

算理與算法是計(jì)算教學(xué)中的兩個(gè)不同的術(shù)語(yǔ)，有其不同的內(nèi)涵。算理是計(jì)算的道理，為什么這樣算。它有兩層含義:一是列算式的依據(jù)，即針對(duì)問(wèn)題的解決，為什么要用這樣的運(yùn)算，這是根據(jù)所求問(wèn)題與條件的關(guān)系來(lái)確定的，如求和時(shí)要用加法等。二是運(yùn)算的依據(jù)，即每一步的運(yùn)算都有其內(nèi)在的道理。如計(jì)算2.8+5.6，為什么小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊?算法是具體的計(jì)算方法，即怎樣算。方法可以是多樣的，如擺小棒、模型、用計(jì)數(shù)器、口算、豎式計(jì)算等。

新課程提倡鼓勵(lì)算法多樣化，但不是“多多益善”。一些教師在課堂上最關(guān)心的是自己預(yù)設(shè)的算法是否會(huì)出現(xiàn)，不停地問(wèn)學(xué)生“還有不同算法嗎”，學(xué)生絞盡腦汁“想”出了一些本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別的“不同”算法，教師羅列出幾種甚至十幾種算法讓學(xué)生交流、比較、優(yōu)化。多數(shù)情況是學(xué)生并沒(méi)有明白有哪些算法，每種算法是怎么算的，為什么可以這么算，所以對(duì)算法的比較還是霧里看花，優(yōu)化就更談不上了。最后老師用一句“你喜歡哪種方法就用哪種方法算”草草收?qǐng)觥？此茻釤狒[鬧，而當(dāng)面對(duì)練習(xí)題時(shí)，基礎(chǔ)好的學(xué)生還算順利，思維稍慢的學(xué)生，一種方法都不會(huì)，提筆不知所措，一堂計(jì)算課到此結(jié)束。

上述問(wèn)題出現(xiàn)的原因在于教師沒(méi)有弄清并處理好算理和算法之間的關(guān)系。實(shí)際上，算理與算法有著密切的關(guān)系，算理是計(jì)算的基礎(chǔ)，為算法提供了理論指導(dǎo)，算法是計(jì)算的概括，使算理具體化。正因?yàn)樗憷硗容^直觀，而算法往往比較抽象，所以我們一般都會(huì)在開始慢一些，結(jié)合情境，通過(guò)口算理解算理，然后把多種方法進(jìn)行聯(lián)系比較，概括出計(jì)算方法。

例如，3年下冊(cè)“寄書”(小數(shù)加減法)一課，在計(jì)算1.6+12.8時(shí)，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，試著算一算。教師走到學(xué)生中去，關(guān)注不同的算法，請(qǐng)學(xué)生自己在黑板上板書。

①1元+12元=13元6角+8角=14角=1元4角13元+1元4角=14元4角;②1.6元=16角 12.8元=128角 16角+128角=144角;

③豎式計(jì)算

…………

接下來(lái)進(jìn)行多樣化算法的交流。在學(xué)生介紹自己的算法時(shí)，引導(dǎo)其他學(xué)生傾聽和思考。“你聽懂他的算法了嗎?”“誰(shuí)聽明白了，能再說(shuō)一說(shuō)他是怎么算的嗎?”“他的算法和你的有什么不同?”學(xué)生在交流中逐漸地理解著小數(shù)加法的算理，但這時(shí)所獲得的只是對(duì)算理的直觀感知，還需要通過(guò)有效引導(dǎo)來(lái)搭建平臺(tái)，幫助學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化整理，溝通算理與算法之間的內(nèi)在聯(lián)系。“觀察、比較這幾種不同的算法，你有什么發(fā)現(xiàn)?”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不論是口算，還是豎式筆算，都是把這兩個(gè)小數(shù)轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的數(shù)(量)，然后把相同單位的兩個(gè)數(shù)(量)合在一起，從而明白“小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊，滿十向前一位進(jìn)一”的道理。必要時(shí)還可能通過(guò)動(dòng)手操作、實(shí)物(人民幣)演示幫助弄清算理，理解十進(jìn)制(十進(jìn)位值制)。這樣將口算、筆算有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，巧妙地通過(guò)不同算法之間的辨析，學(xué)生深刻地理解了算理，多樣化算法對(duì)他們來(lái)說(shuō)已經(jīng)不再須要“死記硬背”，而能夠“舉一反三”了。在后續(xù)的計(jì)算學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會(huì)嘗試?yán)眠w移和轉(zhuǎn)化來(lái)探索新的計(jì)算問(wèn)題。

因此，計(jì)算教學(xué)既要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過(guò)渡和演變過(guò)程，從而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握。

四、解決問(wèn)題與計(jì)算技能的關(guān)系

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中將解決實(shí)際問(wèn)題作為數(shù)與運(yùn)算學(xué)習(xí)的自然組成部分，發(fā)展學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境和運(yùn)算意義解決問(wèn)題的能力。然而許多教師反映在計(jì)算課上解決問(wèn)題會(huì)沖淡學(xué)生計(jì)算技能的形成，如果重視了計(jì)算技能又會(huì)影響學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升。尤其是教齡稍長(zhǎng)一些的教師仍然“放不下”傳統(tǒng)教材的應(yīng)用題，認(rèn)為使用新教材的學(xué)生解題能力弱了，經(jīng)常會(huì)在課上或課后給孩子補(bǔ)上一些;甚至有的學(xué)校還把傳統(tǒng)教材拿到課堂上按進(jìn)度“教”。

我也曾產(chǎn)生這樣的困惑:在讀北師大版數(shù)學(xué)4年上冊(cè)“衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)間”一課教材時(shí)，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)兩、三位數(shù)的乘法，而教材在練習(xí)中除了一些乘法計(jì)算練習(xí)，只安排了一道解決問(wèn)題的題目(如下圖)。從解決這個(gè)問(wèn)題需要的乘法運(yùn)算來(lái)看，基本和本課內(nèi)容相符合，但是數(shù)據(jù)不是一般的兩、三位數(shù)，而都是整十?dāng)?shù)。

(1)商店從工廠批發(fā)的復(fù)讀機(jī)每臺(tái)140元，商店要付給工廠多少錢?

(2)商店在賣出70臺(tái)復(fù)讀機(jī)后，開始降價(jià)銷售。如果商品全部售出，你認(rèn)為商店是賺錢還是虧損?與同學(xué)進(jìn)行交流。

我以前聽過(guò)的一位老師在上這節(jié)課時(shí)就沒(méi)有用教材中的問(wèn)題，而是自己選擇了一道數(shù)據(jù)是一般的兩、三位數(shù)的解決問(wèn)題題目，當(dāng)時(shí)覺(jué)得效果還是不錯(cuò)的。

怎么辦呢?到底是堅(jiān)持用教材中的題目，還是換個(gè)題目?教材這樣編寫有什么意圖?現(xiàn)在的計(jì)算課在重視解決問(wèn)題的同時(shí)會(huì)不會(huì)忽略了計(jì)算技能的形成?如何解決實(shí)際問(wèn)題與計(jì)算技能形成之間的矛盾?

帶著這樣的疑問(wèn)，我再次研究教參、教材，嘗試讀懂《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)的整體要求，有了一些收獲:

首先，除了計(jì)算技能之外，對(duì)運(yùn)算意義的理解、根據(jù)問(wèn)題的需要選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法和運(yùn)算工具、估算結(jié)果的合理性、運(yùn)用運(yùn)算解決問(wèn)題和探索規(guī)律等都是運(yùn)算能力的重要內(nèi)涵。由于計(jì)算器和計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)運(yùn)算技能的要求已經(jīng)降低。

其次，花費(fèi)學(xué)生過(guò)多的時(shí)間和精力來(lái)達(dá)到熟練的計(jì)算技能對(duì)于解決問(wèn)題以及增強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解并沒(méi)有多少幫助。所以我們要將更多的精力用于探索、推理和解決問(wèn)題中，注重解決問(wèn)題策略的多樣化，并強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題的解加以檢驗(yàn)。

再次，數(shù)的運(yùn)算的引入與展開，都來(lái)源于學(xué)生的實(shí)際生活，要讓學(xué)生從接觸數(shù)學(xué)起，就建立數(shù)學(xué)與日常生活的天然聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，將解決實(shí)際問(wèn)題與運(yùn)算的學(xué)習(xí)自然地融合在一起。

于是，我明白了走入前文提到的教學(xué)誤區(qū)的根源是教師把計(jì)算技能與解題能力人為地分成兩個(gè)獨(dú)立部分，片面地理解了運(yùn)算能力的內(nèi)涵。教材的編寫意圖重在讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)解決實(shí)際的問(wèn)題，培養(yǎng)解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，并不是單純的計(jì)算訓(xùn)練而已。雖然這個(gè)題目中的數(shù)據(jù)多是整十?dāng)?shù)，計(jì)算難度不大，但難度在于信息多，而且呈現(xiàn)方式多種多樣，重在考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在合作交流中體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣化。

我遵循教材編排，放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題，學(xué)生很輕松地解決了(1)，在解決(2)時(shí)稍顯困難，我建議他們可以合作完成，并請(qǐng)有思路的學(xué)生加以提示，結(jié)果出現(xiàn)了以下不同的解決思路:

①先算出按原價(jià)賣出的前70臺(tái)的錢數(shù)，再加上按現(xiàn)價(jià)賣出的后10臺(tái)的錢數(shù)，就是總收入了(銷售總額)。160×70+138×10=12 580(元)，最后和付給工廠的錢數(shù)(成本總額)進(jìn)行比較，12 580﹥11 200，知道商店賺錢。

②先算出按原價(jià)賣出的前70臺(tái)的錢數(shù)，160×70=11 200(元)，和成本總額相等，說(shuō)明已經(jīng)收回成本，一定賺錢。

③140-138=2(元)，按現(xiàn)價(jià)賣每臺(tái)虧本2元，2×10=20(元)，10臺(tái)才虧了20元;160-140=20(元)，而按原價(jià)賣一臺(tái)就賺了20元，就已經(jīng)補(bǔ)上了，另外69個(gè)20元就是賺的錢數(shù)，所以一定賺錢。

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看著學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)地明晰思路，一步步地解決了問(wèn)題后的興奮勁兒，我也由衷地高興。這真正是學(xué)生在生活中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，所以能有效地解決日常生活中的問(wèn)題才是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的首要目標(biāo)。

綜上所述，以上幾種關(guān)系存在于計(jì)算教學(xué)之中，但都不是真正的矛盾，而是相互促進(jìn)、共同發(fā)展的。我們應(yīng)該從數(shù)學(xué)教育本質(zhì)出發(fā)，把握計(jì)算教學(xué)的核心，處理好這些關(guān)系，切實(shí)提高學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(作者單位:大慶市萬(wàn)寶學(xué)校)

編輯/魏繼軍