“分母為什么不能為零”引發的思考

在一節認識分數的課堂上，當教師反復強調“分母不能為零，否則無意義”時，有學生不服氣了，問“為什么分母不可以為零?為什么無意義?”，這位教師當時也不知道如何回答，因為這個問題就是這么規定的，從上小學時候就已經知道了.

這樣一個看似簡單的問題“分母為什么不能為零”其實不簡單，據了解，在今年某些高校數學專業的研究生復試中，能說出道理來的考生幾乎沒有，因為大家都沒有想過這個問題，“無意義”三個字好像能說明一切問題.

作為一位數學教育工作者，需要思考這個問題背后隱藏的是什么.為什么學生會提出這樣的一個問題，僅僅是邏輯上的錯誤嗎?在數學王國中存在分母為零的形式嗎?

1 數學源于實踐

早在人類文化發展的初期，由于進行測量和均分的需要，人們引入并使用了分數.在拉丁文里，分數一詞源于frangere，是打破、斷裂的意思，因此分數也曾被人叫做“破碎的數”.[1]

用一個作標準的量(度量單位)去度量另一個量，只有當量若干次正好量盡的時候，才可以用一個整數來表示度量的結果.如果量若干次不能正好量盡，有兩種情況:

在分物的過程中，也是同樣的道理，需要先找到一個分數單位，通常將一個物體或一群物體看成一個整體，即單位“1”，把它平均分成若干份，表示其中1份的數，叫做分數單位.

如果說分母可以為零的話，就是首先否定了度量單位或分數單位，所以就失去了其在測量以及均分中的實際意義，因為數學是源于生活的.學生之所以會提出這樣的問題，很可能因為其對分數產生的必要性不夠明確，只悟其然而不知其所以然，所以對分數的理解停留在形式上，教師在教學中需要注意告訴學生新知識產生的背景，而不僅僅停留在分分畫畫做做等淺層次的形式上，要能通過這些直觀的形式，讓學生更好地理解和把握住知識的本質與實質.比如理解分數具有兩種不同的意義:1.分數可以作為一個量，它或者是分數單位，或者是分數單位的整數倍.2.分數可以表示量數，是以一個量為基準量去度量另一個量所得的結果，它是描述兩個量倍比關系的一個數(自然數或分數).[2]這樣理解分數更易于學生接下來的比例學習以及比的學習.

2 數學高于實踐

數學源于實踐，但又高于實踐.數學是一門抽象的思維科學，它的研究對象是從眾多的物質和物質運動形態中抽象出來的事物，是人腦的產物.與其它學科的抽象程度不同，數學的抽象舍棄了事物的其它一切方面，只保留事物的數量關系和空間形式，并且具有層次性，越到高的層次，抽象的程度也越高.例如，數學家從人類生存的現實空間，抽象出三維歐式空間，又進一步抽象出n維線性空間以至無窮維線性空間以及其它更抽象的空間.

針對本文開頭所提出的“分母不能為零”的問題，前面已經從實際意義的角度作了說明，但如果在純數學領域中，分母為零的這種形式是存在的，但是顯然已經不屬于簡單的分數領域.在高等數學求極限的部分，將會遇到“0/0”的極限類型，即分式上半部分和下半部分的極限都趨于零，這樣的形式一般都是消去使分子分母為零的公因子，然后才求其極限.

3 對數學教學的啟示

德國數學家漢克爾說:“在大多數科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西.只有數學，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓.”[3]這意味著數學以外的學科創新，多半是推倒舊理論，建立新理論，唯有數學學科的創新是在承認原有結論的基礎上，發展出新結論、新理論.可以說，數學是由基本概念以及描述概念之間抽象關系的定理所建構起來的大廈，所以對于剛剛接觸數學的低年級學生來說，數學基本概念的教學顯得十分重要，因為學生由此構建起來的數學認知結構將會影響到他們日后對數學的理解水平和興趣.

第一，數學源于實踐要求教師在給低年級學生介紹基本概念時，盡量從他們能夠理解的情境和活動經驗出發，比如通過學生手指實物到口頭點數的過程建立數與實物的一一對應，從5個蘋果，5個人，5支鉛筆中抽象出數字5的概念，通過實物分合游戲理解數的加減概念等.當學生具備了一些基本數學知識和經驗之后，在介紹新概念時，很有必要建立其與已有概念的聯系，比如減法可以是加法的逆運算，或者能夠使學生領悟到此概念產生的必要性，比如分數的產生是由于測量和均分的需要.使學生在認識數學的過程中，也逐漸理解了數學.

第二，抽象化和形式化是數學的本質特征.數學對于受教育者，不僅僅是一門課程和一門知識，更重要的是數學的思維方式、數學的理性精神.數學家歐拉倡導“發現法”的數學教育，他認為數學教育并不總是讓學生認知，在很大程度上是讓學生欣賞，這樣才有最佳的教育效益.因此，認知并不是我們數學教育的最終目的，數學的思維方法以及理性精神才是最終目的.例如“分母為零”的問題，在現實生活中不會存在，但是在求極限的數學知識中卻出現了相關的形式，并通過轉化使其合理化了.

第三，學生提出的有關數學基本概念的問題不可忽視，因為他們正在嘗試建立自己的認知結構，處理不好往往會使他們失去學習數學的興趣.經典的例子是科學家袁隆平小時候的故事，袁隆平就是想不通為什么“負負得正”，所以向老師請教，老師告訴他就是這么規定的，沒有為什么.袁隆平從此就不喜歡數學了，認為數學不講道理.所以特別是在低年級的數學教學中，學生總喜歡問這些“為什么”的問題，教師需要幫助其理解知識的涵義，并糾正其不正確的或不科學的數學概念，幫助其完善數學概念的自我建構.

參考文獻

[1] 賀曉恒.從分數的歷史看分數的教學[J].湖南教育:數學教師，2007，(05):11.

[2] 王永.從分數產生的現實背景認識分數的本質[J].小學教學數學版，2008，(04):46.

[3] 顧沛.數學文化[M].北京:高等教育出版社，2008.12.

作者簡介 嚴家麗(1986—)，女，安徽六安人，天津師范大學數學科學學院08級碩士研究生，方向為數學教學論;王光明(1969—)，男，天津寶坻人，天津師范大學課程與教學研究中心教授，碩士生導師，北京師范大學數學科學學院博士后，研究方向為課程與教學論以及數學教育.