關于初中新課程函數概念教學的調查與分析

1 現狀調查

在現行中學數學新課標教材中，“函數”這個概念，最早出現于初中義務教育課程標準實驗教材《數學》八年級上冊[1-3].函數概念的教學，在初中采用“變量說”，在高中采用“對應說”，這種安排基本上是遵循函數概念歷史發展的本來順序，也符合人們對于函數概念認識過程上的發展性、階段性，但即便如此，學生形成和理解函數概念的水平仍舊很低.已有的教學實踐表明，函數概念是學生數學學習中感覺最困難的概念之一.

近期在成都某中等層次中學做了一次問卷調查.此次調查時間是他們剛學完函數概念，分析結果發現:有4%的學生認為函數是一種特殊的數，19%的學生認為函數是方程，有77%的學生認為函數是變量.這說明變量定義函數還沒有被所有的學生接受.有72%的學生只愿意用解析式表示函數，6%的學生愿意用表格表示函數.說明函數的三種表示方法在學生的頭腦里還沒有統一起來，學生還是習慣用精確的解析式表示函數.在理解函數概念中“自變量取某一值時，函數有唯一確定的值與之對應”時，只有 1 3 的學生理解正確.這說明學生在理解對應時有較大的困難.另外學生還不習慣看圖像，也不善于從圖像中發現信息.

函數概念是中學數學中最為重要的概念之一，也是學生在數學學習過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學生理解上存在困難是不言而喻的.函數概念有許多復雜的層次和許多相關的下層概念，這樣，函數成為中學數學中最難教、最難學的概念之一也就不足為奇了.

2 函數概念在課程中的重要性

函數是貫穿于初中及高中數學的重要知識，對于培養學生的邏輯思維能力有很大的作用.函數在初中數學中占有很重要的地位.從中學數學知識的組織結構看，函數是代數的“紐帶”，代數式、方程、不等式、數列、排列組合、極限和微積分等都與函數知識有直接聯系.并且，函數還是數學的后繼發展的基礎，這一章的內容對高中數學中各種初等函數的學習以至高等數學中函數概念及性質的研究也奠定了一定的基礎.同時函數知識在物理、化學等自然科學中有著廣泛的應用，在解決生產生活中的實際問題時，也往往采用函數作為建模的基本工具.函數既從客觀現實中抽象出來，又超越了千變萬化的課題的個性，其內涵極為深刻，外延又極為廣泛，所以它既是重點，又是難點.[4]

3 關于“函數”這個概念

3.1 數學史中關于函數的發展

函數概念從產生到完善，經歷了漫長而曲折的過程.這不但因為函數概念系統復雜、涉及因素眾多，更重要的是伴隨著函數概念的不斷發展，數學思維方式也發生了重要轉折:思維從靜止走向了運動、從離散走向了連續、從運算轉向了關系，實現了數與形的有機結合，在符號語言與圖表語言之間可以靈活轉換.與常量數學相比，函數概念的抽象性更強、形式化程度更高.[5]

3.2 變量與常量

初中課本中變量被當成是不定義的原始概念，而變量是函數概念中一個最基本的概念.數學中的變量概念與日常生活經驗是有差異的，人們對變量的普遍理解是，在日常生活中，“變量”應該是變化的，不確定的.但數學中的變量包括常量，常量被看成是一種特殊的變量.另外函數概念中變量的意義更具一般性，既可以作為數，也可以作為點;既可以作為有形之物，也可以作為無形的東西.

3.3 函數概念表示的多樣化

一方面表現在定義域、值域的多樣性，可以用集合、區間、不等式等不同形式的表示;另一方面表現在它可以用圖像、表格、對應、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數概念來.與其他數學概念相比，由于函數概念需要同時考慮幾種表示，并要協調各種表示之間的關系，常常需要在各種表示之間進行轉換，因此容易造成學習上的困難.

3.4 定義中的抽象因素

函數是在初中遇到的第一個用“數學關系概念定義法”給出的概念，解釋它的本質(對應關系)的敘述方式與先前所學的諸多數學概念的敘述方式是不一樣的.y=f(x)表示了一種特殊的對應關系，其中每一個字母都有特定的含義.但這種含義僅從字面上是看不出來的.我們不能通過“f”來想象對應法則的具體內容，也不能通過x(或y)來想象定義域(或值域)的抽象性到底是什么.這種抽象性大大增加了函數學習的難度.

4 學生學習心理分析

初一學生大多是從公用性定義或具體形象描述水平向接近本質定義或具體解釋水平轉化.理解掌握抽象概念有一定困難，在一定程度上要依靠主觀的、具體的內容，特別是比較復雜的抽象概念，還抓不住其本質屬性，分不清主次的特征.初二是掌握概念的一個轉折點.初三學生基本能夠理解概念的本質屬性，能逐步地分出主次，但對高度抽象概括且缺乏經驗支柱的概念，還理解不深.[6]

當學生的概念形成水平較低時，不理解它或在認識上感覺困難是正常的.學生只有通過大量客觀事例，認識變量的概念，理解量與量的相異關系，才能形成函數概念的描述性定義，獲得樸素、直觀的認識.

中學生的思維發展水平是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維水平.初中生以形式邏輯思維水平為主[7].函數是一個辯證概念，而學生的辯證思維發展還處于很不成熟的時期，看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，不善于把抽象的概念與具體的事例聯系起來，還不能用辯證思維的思想來理解函數概念，這與函數概念的運動、變化、聯系的特點是不相適應的.例如，學生常常認為，“x”代表一個單個的數(可能是未知數);求函數值就是把數帶入“公式”中的字母運算;學生常常把函數概念與“公式”等同起來，因此函數的動態性、變化性在思維中不能得到充分反應.對初中學生的思維水平來說，建立函數這樣一個復雜的概念需要克服許多困難.

5 新課程理念在初中函數概念內容中的體現

傳統的數學課程內容重結果.新課程中，學習的內容不僅包括數學的一些現成結果，還包括結果的形成過程.新教材中，“函數”部分，大量的材料是學生熟悉的、感興趣的.這種題材使得學生的數學學習活動是一個生動活潑、主動和富有個性的過程.這種題材要求學生要有充分的從事數學活動的時間和空間，在親自體驗和探索中認識數學，解決問題，理解和掌握基本的數學知識、技能和方法.

在新教材中，有關“函數”的內容不再是初三一次性學完，而是分布在初二、初三等不同階段分段學習.教師要重視函數概念的教學，同時注意盡早、分階段向學生滲透函數思想，逐步使學生形成函數思想方法.這也體現了建構主義的教學觀.

新教材中，有關“函數”的內容，通過大量生活中的例子把圖像、列表等形式表示的函數都呈現出來，以便多角度認識函數.而且教材增加了許多“函數有關的實際問題”，如前言、例題、習題、閱讀材料等，這樣的教材，信息量大，知識含量高，更重要的，它不是只注重知識，而且有利于學生綜合素質的形成.它引入概念的方式是:實際例子(問題)→數學概念→實際問題.這種方式借助實際問題情景，由具體到抽象的認識函數，又通過函數應用舉例，體現了數學建模的思想，另外，內容的呈現方式豐富多彩，圖文并茂，注重學生在學習過程中主體作用的發揮，同時聯系生活實際，培養了學生的數學意識.更重要的是，這種題材呈現方式符合這個階段學生的年齡特征和學習數學的心理規律，而且遵循逐級遞進、螺旋上升的原則.

這樣的課程設計，充分考慮到了學習者的因素，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用的過程.

6 初中函數概念教學的策略建議

6.1 注意盡早進行函數思想方法的導學

事實上，函數觀念的培養在小學就已經開始了，進入中學，隨著代數式、方程的研究也慢慢地滲透著這種思想.如果注意在學習與函數有關的知識時，經常地向學生滲透“對應”的觀點，那么在初二學習函數概念時，學生就能較順利地接受函數這個概念.

6.2 在教學中把握滲透函數思想及函數思想方法

在函數概念的教學中，函數思想主要體現在以下三個方面[8]:首先，函數思想集中反映了變量(自變量)與變量(函數)之間的變化規律.其次，對應是函數思想的本質特征.再次，自變量的變化處于主導地位，在函數y=f(x)中，y與x的地位完全不同，x的變化起決定性作用，變量y處于依從地位 .函數的值域是由定義域通過對應法則所決定.因此，自變量的變化范圍是函數的另一個基本因素.

函數的思想方法在理解函數概念時有著重要的作用.函數的思想方法是中學數學的主導思想之一，它在培養學生的創新精神和應用數學知識解決實際問題的過程中，具有其他思想方法所不及的指導作用.函數知識學習的最終目的是對函數思想的領悟和掌握，而學習過程中函數思想方法的滲透，又可以加深對函數概念的理解[9].

6.3 讓函數概念教學走向生活化

6.3.1 闡明常、變量的客觀存在

常量在現實生活中， 隨處可見， 生活的每一個角落， 社會的各個領域都有常量的身影.同時，認識變量的普遍存在，我們的周圍萬事萬物每時每刻都在變，有些變化著的量可以用數來刻畫.

通過從常量到變量，繼而思考變量與變量間的關系，自然過渡到函數概念，選用學生比較熟悉的實例，力圖讓學生認識到數學與生活得密切聯系，通過具有現實意義的情境引入.

6.3.2 多列舉實例

函數的概念要理解透徹并非一朝一夕的事，在設計函數課的教學過程時不可能做到一步到位，必須由淺入深給學生一個逐步加深認識的過程.可給學生呈現一些函數的簡單實例，例子要結合實際生活，也要緊緊結合教材內容.

在設計教學過程時一定要抓住這一點，不管是開始的情景引入，還是后面的例題講解和課堂演練，都要選擇貼近生活的例子，從而可以很好的調動學生的積極性，激發學生的學習興趣.

在設計函數概念教學時，不要一味地按照教材原有的模式把內容給呈現出來，應試圖通過整合教材，加入一些課外的，與本地實際生活相聯系的內容來把新知識呈現在學生面前，在引發學生學習欲望的同時，拓寬學生的知識面，加強學生的數學應用意識.

在函數教學過程中要多舉例，加深對函數概念的理解，反例提供了概念學習最有利的辨別信息，讓學生進行函數正反例子的辨析有助于學生形成正確的認知結構.在函數概念教學過程中，不能只列舉正例，使學生的視野受到束縛，也應通過構造適當的反例函數，澄清學生的模糊和錯誤的認識，促進學生正確的函數概念的建立.

6.3.3 重視數形結合

“函數是表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量.”函數自產生就和圖形結下了不解之緣.函數的表示方法之一是圖像法，即通過坐標系中的曲線上點的坐標反映變量之間的對應關系.這種表示方法的產生，將數量關系直觀化、形象化，提供了數形結合地研究問題的重要方法，教學過程中，要注意函數解析式與圖像的結合這兩方面的互補，體現兩者之間的聯系，突出兩者間轉化對分析解決問題的特殊作用.

6.4 充分調動學生主觀能動性

注重學生的學習體驗和探索感受.因而，充分展開學生參與學習的過程非常必要.小組交流學習的教學方式能有效地體現學生的合作性、參與性、主體性，適時開展小組交流學習一方面可以達到深化本節內容的學習效果，另一方面，也充分體現新課程理念精神.教師理應從一個知識的傳播者轉變為學生發展的促進者，引導學生進行探索，建立民主的、平等的師生關系，讓學生在平等、尊重、理解和寬容的氛圍中快樂的學習.

參考文獻

[1] 義務教育課程標準實驗教科書(數學)[M].北京:人民教育出版社，2008.

[2] 義務教育課程標準實驗教科書(數學)[M]. 北京:北京師范大學出版社，2006.

[3] 王建磐主編.義務教育課程標準實驗教科書(數學)[M].上海:華東師范大學出版社，2006.

[4] 數學課程標準研制組.數學課程標準解讀[M].北京:北京師范大學出版社，2002.

[5] 簡冬梅.函數概念的演進與函數教學[J].四川師范大學學報(自然科學版)，2004，27(3).

[6] 徐向君.數學概念學習研究[D].呼和浩特:內蒙古師范大學，2004.

[7] 田萬海.數學教育測量與評論[M].上海:上海教育出版社，1996.

[8] 肖柏榮 潘娉姣.數學思想方法及其數學示例[M].南京:江蘇教育出版社，2004.

[9] 李吉寶.有關函數概念教學的若干問題[J].數學教育學報，2003，(2).

作者簡介

簡冬梅，女，四川成都人，講師，主要研究方向:數學及數學教育.