初中概率題為什么頗有爭議

初中的概率是建立在等可能性基礎上的古典概率，又是統計學中概率的理想結果.由于概率知識涉及到公平性，拋擲結果的偶然性及概率問題的不確定性等因素，較易受錯誤直覺的誤導.雖然教材通過大量重復的實驗，先獲得頻率穩定值，再概括概率定義，讓學生經歷實驗、觀察、猜想、驗證活動，獲得古典概率的計算方法.但學生在處理概率問題的計算時還是容易出錯.概率問題為什么頗有爭議，筆者結合自己在課堂內外或聽課時，碰到對概率問題發生的爭議，經歷對有爭議的概率問題的解決過程，談些感受.

1 機械套用樹狀圖

案例1 問題1:同時拋擲兩枚相同硬幣一次，朝上的一面有多少種可能?

這是一次帶徒活動中的一個學員在上一堂診斷課臨近下課時的一道補充題，課題為浙教版七下第3章《事件的可能性》的第1課時《認識事件的可能性》，教師讓學生思考后叫學生回答.

師生對話:

教師:做好的同學請舉手.(學生紛紛舉手示意，并爭相發言)

學生A:3種，分別是:正、正，正、反，反、反.

學生B:4種，分別是:正、正，正、反，反、正，反、反.

教師:同意學生A 觀點的同學請舉手(學生舉手，數了一下有十幾個)，同意學生B觀點的學生請舉手(學生舉手，數了接近二十個，還有幾個學生兩次都沒舉手).

老師:到底是3種還是4種，我們可以借助樹狀圖(教師畫樹狀圖，并根據樹狀圖得出4種可能).同意這種觀點學生再舉一下手(又觀察一下，有二十幾個，比第一次多了幾個，但還是有將近一半的學生沒有舉手，這時教師叫其中沒舉手且位置靠后的一名男生發言).

學生C:我覺得一正一反和一反一正還是算一種.

這時下課的鈴聲響了，同時又一個男生站了起來.

學生D: 如果給兩枚硬幣做不同的記號，一正一反就有兩種情況.

學生C:(口氣不甘示弱)那還不是一正一反嗎(有部分學生發出笑聲，并開始騷動)?

教師:(有點慌亂)根據樹狀圖應該是4種，由于時間關系，我們討論到此為止，下課.

下課后，發現學生們還在爭論……

課后，筆者在反思為什么會出現兩種不同的意見呢?

師生爭議的疑點:

疑點1:“有多少種可能”與“有多少種等可能結果”意義是否相同?

疑點2:設兩枚硬幣分別為A、B，“A正B反，A反B正”與“一正一反”意義是否相同?

疑點3:同時拋兩枚硬幣能利用樹狀圖分析么?列表呢?

疑點4:“兩枚硬幣同時拋”與“兩枚一先一后拋”結果一樣么?

疑點5:“兩枚硬幣同時拋”與“一枚硬幣先后拋兩次”一樣么?

疑點破解:

對疑點1，結論顯然不一樣.教師給出問題1的答案是4種，他把結果理解為有多少種等可能結果.而學生理解成3種情況.為了避免歧義，筆者認為最好把問題改為有多少種等可能結果.

對疑點2，意義也是不同，前者是排列，后者是組合.

對疑點3，解決方法不能機械套用樹狀圖.我們可以這樣理解，實際生活中的樹木生長它是有先后，因此，樹狀圖它適用于事件發生有先后順序的一類問題，但列表就沒有這種限制.通過列表，得知同時拋擲兩枚相同硬幣一次，朝上的一面有4種等可能結果.

對疑點4，結果應該一樣.盡管兩枚硬幣同時拋，實際上不可能絕對同時，總有先后.如果按照這種理解，對疑點5結論一樣就顯然了，這樣樹狀圖也能分析問題1.

綜上所述，教師在課前預設時應該弄清上述問題，本人認為就本題的答案3種或4種均有道理.在學生理解有困難的情況下，為了避免歧義，教師最好把問題改為有幾種等可能結果，并且最好用列表求解，機械套用樹狀圖不妥當.因此，我們編題時一定要注意問題的嚴謹性與科學性，講題時既要注意數學法則、定理的適用性，同時更要考慮學生的可接受性.有時，樹狀圖不是“萬能”的.

2 枚舉法容易出錯

案例2 問題2:口袋中有4個小球，其中2個紅球，2個黃球，它們的大小、形狀完全一樣，從袋中一次摸兩個球，求:有幾種等可能的結果及摸到兩球恰為同色的概率.

這是筆者在上浙教版七下第3章《事件的可能性》的第3課時《可能性和概率》時舉的其中一個例題.先讓學生獨立思考，教師在教室里來回巡視，等多數學生完成得差不多時，發現下列五種不同答案，分別叫五個學生上來板演.不妨分別記為: