數(shù)學(xué)猜想的理性認(rèn)識與教學(xué)思考

筆者經(jīng)常參加數(shù)學(xué)教師講課賽活動的評課，建議在課堂教學(xué)中，根據(jù)其教學(xué)內(nèi)容，可采用猜想，驗證的方法去導(dǎo)出相關(guān)結(jié)論，有教師持反對意見，理由是:數(shù)學(xué)學(xué)科是講究邏輯推理的學(xué)科，應(yīng)尊重事實，言而有據(jù)，不能讓學(xué)生猜想.下面就數(shù)學(xué)猜想的理性認(rèn)識與教學(xué)思考談點看法，僅作引玉之磚.

1 猜想:理性認(rèn)識

人們認(rèn)識事物是一個復(fù)雜的過程，往往需要經(jīng)歷若干階段，從現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識過程，開始只能根據(jù)已有的事實和結(jié)果，運用某種判斷、推理的思維方法，對事物的發(fā)展趨勢及發(fā)展規(guī)律，提出一種推測性的看法，這種推測性的看法，就是猜想.即猜想是對研究的對象、問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納的基礎(chǔ)上，依據(jù)已有的材料及知識作出符合一定的經(jīng)驗與事實的推測性的思維方法.

研究數(shù)學(xué)問題時，一般習(xí)慣于進入邏輯思維狀態(tài)，即借助概念、判斷、推理的方法去認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，當(dāng)邏輯思維“中斷”時，可立即調(diào)整思維方法，迅速進入直覺思維狀態(tài)，即依據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)、信息、經(jīng)驗，對其本質(zhì)及聯(lián)系作出迅速的識別，直接的領(lǐng)悟，從而產(chǎn)生創(chuàng)造的想象——猜想，然后再回到邏輯思維狀態(tài)，對猜想的結(jié)論進行推理、論證、驗證其結(jié)論的真?zhèn)?因此，數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)題設(shè)中給出的已知條件、圖形，以及推證的結(jié)果，運用聯(lián)想、類比等多種思維方法，結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識，對未知量、圖形及相互關(guān)系所作出的一種推斷或預(yù)測，其流程如下圖:

上述表明，數(shù)學(xué)猜想并非胡思亂猜，它與數(shù)學(xué)演繹既對立，又統(tǒng)一，數(shù)學(xué)演繹中蘊含著猜想，猜想的結(jié)論還要通過演繹推理來驗證，它是一種合情的推理.

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，促進了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也促進了數(shù)學(xué)方法的研究，縱觀歷史上的一些著名數(shù)學(xué)猜想，如哥德巴赫猜想、費爾馬猜想、希爾伯特猜想，對數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，起了積極的推動作用，正是無數(shù)數(shù)學(xué)家們的猜想，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展到當(dāng)今的現(xiàn)代數(shù)學(xué).

數(shù)學(xué)猜想是實現(xiàn)問題解決的一種重要的思維方法，是創(chuàng)新思維的重要組成部分.建構(gòu)主義認(rèn)為，知識并非是主體對客觀現(xiàn)實的被動的鏡面式反映，而是一個主動的建構(gòu)過程.數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的內(nèi)部過程，往往要通過思維構(gòu)造去實現(xiàn)意義建構(gòu)，學(xué)習(xí)者在建構(gòu)自己的知識和理解過程中要能不斷地思考，不斷地對各種信息進行加工、轉(zhuǎn)換，形成假設(shè)(猜想)，推論和檢驗.所以，猜想是數(shù)學(xué)建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)時，主體思維的關(guān)鍵步驟，必不可少的思維方法，它可以促進知識的同化，加速知識的發(fā)生和遷移，具有假設(shè)性、科學(xué)性、敏捷性、靈活性、批判性等特點.美國著名數(shù)學(xué)家喬治#8226;波利亞在《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》一書中寫道“假如你希望用一句話來說明什么是科學(xué)的方法，那么我提議，它是猜想和檢驗”.《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)生的“推理能力主要表現(xiàn)在:能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例.”這明顯看出，數(shù)學(xué)猜想是思維能力的范籌，是義務(wù)教育的培養(yǎng)目標(biāo)之一.

數(shù)學(xué)猜想是現(xiàn)代教學(xué)的必然要求，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，重結(jié)果、輕過程;重演繹、輕猜想;極大地妨礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，尤其妨礙了學(xué)生可持續(xù)發(fā)展?jié)摿Φ耐诰?隨著形勢發(fā)展，對人才的要求越來越高，特別是培養(yǎng)創(chuàng)新才能的高素質(zhì)人才，已是21世紀(jì)時代發(fā)展的需求，也是國際潮流所致.所以，教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法的更新，已成為時代發(fā)展的必由之路.教育部頒發(fā)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗稿)的<基本理念>中明顯提出，“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動”.在<教學(xué)建議>中指出，“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，從而使學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略”.因此，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教猜想、學(xué)猜想，培養(yǎng)學(xué)生的猜想意識、猜想習(xí)慣、猜想能力等，是目前素質(zhì)教育、創(chuàng)新教育的必然要求，更是主體性學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)、創(chuàng)新性學(xué)習(xí)的有效途徑.

數(shù)學(xué)猜想教學(xué)是初中學(xué)生的思維特點決定的.初中學(xué)生的思維處于形象思維向邏輯抽象思維的過渡階段，雖然這種邏輯抽象思維處于經(jīng)驗型，但已開始顯露出思維的獨立性、批判性，他們富于想象，渴望獨立思考得出結(jié)論，不滿足教材上的內(nèi)容及方法，能大膽地提出一些新的問題、設(shè)想、見解，在解題中往往樂于嘗試新的方法，一題多解，喜歡爭論，自己探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果，試圖總結(jié)一些規(guī)律.所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強數(shù)學(xué)猜想的教學(xué)，正是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑及方法，是初中學(xué)生思維發(fā)展特點所決定的.正因如此，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“猜想、檢驗”正式納入7～9年級的“教學(xué)目標(biāo)”、“教學(xué)建議”等相關(guān)內(nèi)容之中，我們應(yīng)抓住初中階段這一關(guān)鍵時期，因勢利導(dǎo)，給出一些行之有效的原則及具體方法，作一定范圍內(nèi)的一般方法的探討，形成良好思維定勢之外，更重要是注重數(shù)學(xué)思維活動的展開，通過數(shù)學(xué)猜想、檢驗去探索數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識及創(chuàng)新能力.

2 猜想:教學(xué)思考

讓數(shù)學(xué)猜想走進初中數(shù)學(xué)課堂，教師的猜想能力、教學(xué)方法，均直接影響學(xué)生猜想能力的培養(yǎng).

首先，教師的猜想能力是關(guān)鍵，我們可以想象，一個既不懂得猜想、也不會猜想的教師，很難去教學(xué)生猜想，更談不上培養(yǎng)出高水平猜想能力的學(xué)生.所以，我們數(shù)學(xué)教師務(wù)必認(rèn)真鉆研教材，多看、多練，善于總結(jié)各種解決數(shù)學(xué)問題的方法，不斷加強自己思維能力訓(xùn)練，不斷探索猜想規(guī)律以及猜想途徑，總結(jié)猜想經(jīng)驗，使自己具有較強的猜想基本功.在這里，筆者借鑒上海師范大學(xué)胡炯濤老師對猜想的分類，結(jié)合自已的教學(xué)體會，介紹幾種猜想方法，僅供參考:

①類比猜想:把某一方面或幾個方面彼此一致的新舊內(nèi)容放在一起進行比較，由此及彼，產(chǎn)生聯(lián)想.條件相似，猜出結(jié)論相似，結(jié)論圖形相似，去猜測解證方法相似.例如:分式與分?jǐn)?shù)類比猜想出分式的基本性質(zhì)及運算法則;證明比例線段，猜想所在三角形相似等.

②歸納猜想:以觀察到的數(shù)學(xué)問題的某些特殊事實為依據(jù)，利用歸納法建立一般性命題，即個別到一般的猜想方法.例如:由幾個有理數(shù)的運算，猜想有理數(shù)的一般運算法則;圓周角定理、弦切角定理等，均可由特殊情況猜想一般結(jié)論.

③直覺猜想:通過實驗、演示、圖形、式子的現(xiàn)象去猜想得出結(jié)論.例如:由學(xué)生用量角器測量某幾個三角形的3個內(nèi)角的度數(shù)，相加后近似于180°，猜想三角形的內(nèi)角和定理;證幾何題時，如果圖形規(guī)范、準(zhǔn)確，從外觀猜想出某兩個三角形相似或全等，啟動思維，證明相關(guān)結(jié)論.

④演繹猜想:由一般到特殊作猜想.如:由平行四邊形的性質(zhì)猜想出矩形的性質(zhì)，幾何命題 中的推論均可由演繹猜想得出.

其次，探索培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的教學(xué)方法，更是我們數(shù)學(xué)教師的當(dāng)務(wù)之急.喬治#8226;波利亞在數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)與猜想》中指出“在證明一個數(shù)學(xué)問題之前，你先得猜測這個問題的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路……只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程還能反映數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?”正說明我們在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，必須滲透“猜想+證明”的科學(xué)思維過程，特別是要揭示知識的發(fā)生過程，教師的任務(wù)不是把結(jié)論全盤托出，而是通過教師思維活動展示去激活學(xué)生的思維活動，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程變成數(shù)學(xué)家當(dāng)時的探索過程、猜想驗證過程，自己去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論.讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，認(rèn)為不是老師教給我什么數(shù)學(xué)知識，而是我發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)知識，同時，我們的課堂教學(xué)必須是開放式的教學(xué)，鼓勵學(xué)生積極思考，不迷信已有結(jié)論，不滿足現(xiàn)成答案，大膽猜想，不斷開拓，隨時點燃學(xué)生猜想的導(dǎo)火線，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，變被動猜想為主動猜想，師生合作，共同構(gòu)建一個生動活潑的數(shù)學(xué)猜想共同體.讓數(shù)學(xué)猜想真正落實到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中.

作者簡介參見本刊2010年第6期(總第243期).