學生課堂活動后的有效追問

教材及內容:浙教版七下6.3運用平方差公式進行因式分解，本節課是提取公因式法后公式法因式分解的第一課時，它是整式乘法中平方差公式的逆向運用.

1 做一做后追問公式逆用引入公式法

師:把一張如下圖形狀的卡紙剪開，拼成一張長方形卡紙，你認為該怎么剪?請動手剪一剪.

生1:如上圖，沿著小正方形的下面或左面一邊往左或往下剪，拼成的矩形即為.

師:卡紙剪拼前后的形狀發生了變化，那有不變的嗎?

生1:卡紙剪拼前后的面積是不變的.

師:你能從卡紙剪拼前后得到怎么樣的等式?

生2:原卡紙的面積為a²-b²，后來的長方形面積是(a+b)(a-b)，那能夠得到a²-b²=(a+b)(a-b)，這就是前面的平方差公式.

師:它就是前面的平方差公式嗎?

生2:噢，是倒過來了.

師:觀察公式左右的運算，其運算又是如何倒過來呢?

生2:平方差公式是乘法到加減運算，而其逆是加減到乘法.

師:那么你覺得平方差公式的逆有什么用嗎?

生2:加減化為乘即是我們學習的因式分解，所以可以運用平方差公式的逆來因式分解.

師:平方差公式只是乘法公式中的一個，那么其他的乘法公式呢?

生3:乘法公式都是將乘法化為加減的形式，那么乘法公式的逆都是將乘化為加減，因此都能用于因式分解的.

師:是的，今天我們先來學習利用平方差公式來因式分解.

點評通過學生的動手操作，既能激發學生的學習興趣，又能直接包含著本課的利用平方差公式進行因式分解的關系.教師的追問在上述教學過程中起了重要作用，一是操作后追問剪拼前后的不變關系下學生由面積相等得到符號化的等式，二是對公式兩邊運算形式的追問引導下讓學生發現了平方差公式之逆能夠運用于因式分解，三是由平方差公式到一般乘法公式的追問讓學生更能理解公式法因式分解的原因，也為后面內容的學習作好鋪墊.2 辨一辨后追問運用平方差公式的特征

辨一辨:下列多項式哪些可以用平方差公式分解因式?哪些不可以，為什么?

生4:(1)、(3)、(5)、((6)可以分解因式，而(2)、(4)是不可以的.

師:通過上面辨的過程，你能否說說具有什么特征的多項式，可以用平方差公式分解因式?

生4:其形式是一個數平方減去另一個數的平方.

師:原來的數就是平方形式的嗎?

生4:有些不是的需要能化為平方形式.

生5:我覺得應該是一個正一個負的兩項.

師:為什么是一項正一項負?

生5:因為這樣才能化為上述兩個數的平方差.

生6:一個數的平方也可以是一個式的平方，也就是能因式分解的是一正一負的兩項數或式.

師:一定是兩項嗎?那如果是三項或四項呢?

生7:可以先通過配方法等化為一正一負的兩項，再利用平方差公式因式分解.

點評 能運用平方差公式因式分解的式子特征是運用平方差法因式分解的關鍵，應該包括經過各種變形后能化為a²-b²形式的式子，辨一辨后老師及時地追問學生尋找能運用平方差公式的特征，而尋找過程中教師的追問引導學生從兩數的平方差到一正一負兩個數，再到一正一負兩個式，最后到多項能化為一正一負兩個式的特征，讓學生參與了整個探究特征的過程，加深了學生的理解.3 寫一寫后追問易錯歸納一般步驟

寫一寫:把下列各式分解因式的結果寫出來(1)-4a²+1 ;(2)1-16a4 .

師:你是如何解(1)的?

生8:我是先變形為1²-(2a)²，然后利用平方差公式之逆分解為(1-2a)(1+2a).

師:(2)的因式分解結果是什么?

生9:1²-(4a²)²=(1+4a²)(1-4a²).

師:這樣的結果有問題嗎?

生10:分解因式的要求是分解到不能分解為止的，這兒利用公式它可以再分解的，結果是(1+4a²)(1-2a)(1+2a).

師:你能歸納一下公式法分解因式時應該注意什么?

生10:無論用什么方法，分解因式要分解到不能分解為止的.

師:利用平方差公式法分解因式的一般步驟是如何的?

生:先將原多項式變形為a²-b²的形式，然后利用平方差公式之逆進行分解，若可以再分解則須分解到不能分解為止.

點評 寫一寫的兩個小題的解決都需要先變形再用公式，(2)還包括著是否分解到底的易錯，教師恰時的追問既讓學生找出了分解因式時的易錯，又較自然地讓學生歸納得出平方差公式法分解因式的一般步驟.

4 試一試后追問比較不同方法綜合運用并滲透思想

試一試:把下列各式分解因式(1)(a+b)² - (a-b)² ;(2)4x4y²-9x²y4.

生11:我是直接用平方差公式之逆來分解的，即[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]，再化簡得到4ab.

生12:我是先用完全平方公式展開再化簡的，即(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)，從而得到4ab.

師:上面兩位同學的解法都正確的，他們的方法你覺得哪種簡單?

生13:差不多的.

師:是的，前面的方法其實是先分解再化簡，后面的方法是先化簡再分解，而化簡后正好已經是分解的結果了.那如果要分解(a+b+c)²-(a+b-c)²呢?

生13:那應該是前面一種了，因為先化簡時用三項的完全平方公式較復雜.

師:那(2)的分解又是如何的?

生14:4x4y²-9x²y4=(2x²y)²-(3xy²)²=(2x²y+3xy²)(2x²y-3xy²)

=x²y²(2x+3y)(2x-3y)

生15:我是先提取公因式的，4x4y²-9x²y4=x²y²(4x²-9y²)=x²y²(2x+3y)(2x-3y)

師:能否將上述兩種不同方法作一個比較?

生16:第一種方法是先用平方差公式之逆再提取公因式，第二種方法是先提取公因式再用平方差公式.相對來說先提取公因式后更易于用平方差公式之逆來分解.

師:很好的比較，與第(1)題的兩種方法很有相似之處，它們分別蘊含著什么思想?

生17:直接運用平方差公式分解時包含著整體思想，先變形化簡再分解時包含著化歸思想.

點評 這兒的兩個小題都是分解因式的綜合問題，其中有不同方法和不同次序的選擇，通過試一試后的追問，讓學生學會根據具體多項式的特征選擇合適的方法和次序進行分解，同時自然地滲透了整體思想和化歸思想.

作者簡介 沈順良，男，浙江海鹽人，中學高級教師，主要開展中學數學課堂教學案例的研究和中考高考典型試題的研究，撰寫論文在省級以上發表90篇.