立體幾何中的最值問題四則

立體幾何的最值問題是立體幾何的一大難點，學生在解決這類問題時，總存在著一定的心理和思維方面的障礙.因此，解決好立體幾何的最值問題，不僅可以提高學生分析問題和解決問題的能力，還可以提高學生的數(shù)學應用能力和數(shù)學綜合能力.本文就介紹立體幾何最值問題的幾個常見類型及解決方法.

一、利用配方法求最值

【例1】 如圖1，正方形ABCD、ABEF邊長都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a(0

圖1

解析:過M作MH⊥AB，垂足為H，連結(jié)NH，

在正方形ABCD中，AB⊥CB，

所以BC∥MH.

因為平面AC⊥平面AE，

所以MH⊥平面AE，即MH⊥NH.

因為CM=BN=a，AB=CB=BE=1，

所以AC=BF=2，即AM=2-a，MH=AH=1-22a，BH=22a，

由余弦定理求得NH=22a.

所以MN=MH2+NH2

=(1-22a)2+(22a)2=

a2-2a+1=(a-22)2+12(0

當a=22時，MN=22，即M、N分別移到AC、BF的中點時，MN的值最小，最小值為22.

二、展成平面求最值

圖2-1

【例2】 如圖2-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c.平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是().

A.2aB.2b

C.2cD.a+b+c

圖2-2

解析:將四面體的側(cè)面展開成平面圖形.由于四面體各側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A′、D與D′在四面體中是同一點，且AD′，AB綊 CD′，A、C、A′共線，D、B、D′共線，AA′=DD′=2BD.又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€S′PQRS，S′與S在四面體中是同一點.因而當P、Q、R在S′S上時，S′P+PQ+QR+RS最小，即四邊形PQRS周長最小.又S′A=SA′，所以最小值L=SS′=DD′=2BD=2b.故選B.

三、利用向量求最值

圖3

【例3】 在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為 .

解析:以A為坐標原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系，則B(1，0，0)，G(1，1，1).由題意設P(x，0，x)，則BP=(x-1，0，x)，GP=(x-1，-1，x-1)，則

GP+PB=2x2-4x+3+2x2-2x+1

=2((x-1)2+(0-22)2+(x-12)2+(0-12)2).

(x-1)2+(0-22)2+(x-12)2+(0-12)2可以看成x軸正半軸上一點(x，0，0)到xAy平面上兩點(1，22，0)、(12，12，0)的距離之和，其最小值為1+22.所以GP+PB的最小值為2#8226;1+22=2+2.

四、利用函數(shù)的有界性求最值

圖4

【例4】 如圖4，已知在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠AEF=θ，當θ變化時，求三棱錐P-AEF體積的最大值.

解析:因為PA⊥平面ABC，

BC平面ABC，所以PA⊥BC.

又因為BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.

又AF平面PAC，所以BC⊥AF，

又AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PBC，即AF⊥EF.

EF是AE在平面PBC上的射影，

因為AE⊥PB，所以EF⊥PB，即PE⊥平面AEF.

在三棱錐P-AEF中，

AP=AB=2，AE⊥PB，所以PE=2，AE=2，

AF=2sinθ，EF=2cosθ.

VP-AEF=13S△AEF#8226;PE

=13×12×2sinθ×2cosθ×2

=26sin2θ.

因為0<θ<π2，所以0<2θ<π，0

因此，當θ=π4時，VP-AEF取得最大值26.

(責任編輯 金 鈴)