用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問題

數(shù)學家華羅庚曾說:“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”可見數(shù)形結(jié)合是數(shù)學的重要思想方法之一.

數(shù)量關(guān)系和空間圖形是數(shù)學研究的兩上主要方面，它們之間有密切的關(guān)系，在一定條件下，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

在初中數(shù)學學習中，函數(shù)是一個難點，尤其是二次函數(shù)的問題中，由于其綜合性較強，更使部分同學覺得難以理解和掌握.其實，只要掌握了正確的方法，解決問題便會事半功倍.而解決二次函數(shù)問題時，數(shù)形結(jié)合便是一種重要方法.

代值計算時:x——自變量的值;

y——函數(shù)值.(數(shù))

在函數(shù)圖像中:x——圖像上點的橫坐標;

y——圖像上點的縱坐標.(形)

現(xiàn)就常見問題舉例如下.

一、根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷系數(shù)a、b、c的符號及相關(guān)代數(shù)式的值

【例1】 二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象如圖1所示，則abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c，a-b+c.這五個式子中，值為正數(shù)的有().

A.4個B.3個C.2個D.1個

圖1

解析:

∵拋物線開口向上，

∴a>0.

∵拋物線的對稱軸x=-b/2a位于y軸右側(cè)，

∴-b/2a>0.又∵a>0，∴b<0.

∵拋物線與y軸交點(0，c)位于y軸正半軸，

∴c>0.

∴abc<0. (1)

由圖像可知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，

∴方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根

∴b2-4ac>0. (2)

當x=1時，函數(shù)值y=a+b+c.

∴點(1，a+b+c)是拋物線上一點.

由圖像可知，點(1，a+b+c)位于第四象限，

∴a+b+c<0.(3)

當x=-1時，函數(shù)值y=a-b+c.

∴點(-1，a-b+c)是拋物線上一點.

由圖像可知，點(-1，a-b+c)位于第二象限，

∴a-b+c>0.(4)

由圖像可知，拋物線的對稱軸x=-b/2a位于數(shù)1的左側(cè)，

∴-b/2a<1.

∵a>0，

∴-b<2a，0<2a+b，即2a+b>0.(5)

綜上所述，本題中符合要求的代數(shù)式共有三個，故選B.

方法歸納:在拋物線y=ax2+bx+c中:

①a的符號決定拋物線的開口方向.

②a、b聯(lián)合決定拋物線對稱軸的位置:

當a、b異號時，-b/2a>0，對稱軸位于y軸的右側(cè)，

當a、b同號時，-b/2a<0，對稱軸位于y軸的左側(cè)，

當b=0時，-b/2a=0，對稱軸就是y軸.

為方便記憶，這一結(jié)論可簡稱為“左同右異”.

③c的符號決定拋物線與y軸交點位置.

④b2-4ac的符號決定拋物線與x軸交點個數(shù).

⑤a+b+c與a-b+c分別是x=1、-1時的函數(shù)值，觀察x=1、-1時圖像上點的位置即可得a+b+c與a-b+c的符號.

⑥對代數(shù)式2a+b、2a-b符號的判斷，可先觀察對稱軸x=-b/2a與1、-1的大小關(guān)系，再對不等式進行變形就可得出.(去分母時要注意a的符號，看不等式是否改變方向)

二、二次函數(shù)圖像的對稱性

一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖像關(guān)于直線x=-b/2a對稱.

(1)若圖像上位于對稱軸兩側(cè)的兩點的縱坐標相等，則這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x=-b/2a對稱，并且，這兩點到對稱軸的距離相等;

(2)若圖像上兩點關(guān)于對稱軸對稱，則其縱坐標相等.

【例2】 (2008，蘇州)初三數(shù)學課本上，用“描點法”畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格:

x…-2-1012…

y…-612-4-212-2-212…

根據(jù)表格上的信息回答問題:該二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=3時，y= .

解析:本題考查二次函數(shù)的對稱性，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，其對稱軸為直線x=1，所以x=3時的函數(shù)值與x=-1時相等，即y=-4.

三、二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系

【例3】 (2007，貴陽)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示，根據(jù)圖象解答下列問題:

圖2

(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;

(2)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集;

(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍;

(4)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.

解析:(1)由圖像可知，拋物線與x軸交于點(1，0)、(3，0)，即當x=1或x=3時，y=0.所以方程ax2+bx+c=0的兩根為x=1、x=3;

(2)ax2+bx+c>0即是y>0，也就是函數(shù)圖像上的點應位于x軸的上方.由函數(shù)圖像知，此時相應的x的取值范圍是10的解集是1

(3)由圖像知，拋物線開口向下，其對稱軸為直線x=2，所以，當x>2時，y隨x的增大而減小;

(4)由已知，y=ax2+bx+c=k.在圖像上，y=k是與y軸交于點(0，k)且平行于x軸的直線.

所以，當拋物線與直線有兩個交點時，方程ax2+bx+c=k有兩不相等的實數(shù)根.因此，k<2.

方法歸納:

(1)二次函數(shù)與一元二次方程:對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，當y=0時，函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程.對函數(shù)圖像而言，即點在x軸上.因此，一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解就轉(zhuǎn)化拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸是否有交點，方程ax2+bx+c=0的解就是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的橫坐標;

(2)若函數(shù)值y>0，即得一元二次不等式ax2+bx+c>0，此時，確定不等式ax2+bx+c>0的解集就轉(zhuǎn)化為確定當拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的點位于x軸上方時橫坐標x的相應取值范圍.

在解決二次函數(shù)問題時，只要掌握了正確的方法，就能正確、快速地進行解答.

【例4】 (2006，陜西)如圖3，拋物線的函數(shù)表達式是().

圖3

A.y=x2-x+2B.y=-x2-x+2

C.y=x2+x+2D.y=-x2+x+2

本題若采用設解析式，再將圖像上三點坐標代入的方法求解，運算量很大;若根據(jù)圖像的位置來確定各項系數(shù)的符號，則可以很快得出結(jié)論:

由于拋物線開口向下，所以a<0，故選項A、C錯誤;

又因為拋物線的對稱軸位于y軸右側(cè)，故a、b異號，即b>0，所以選項C錯誤，選D.

數(shù)形結(jié)合方法是解決數(shù)學問題尤其是函數(shù)問題的一種重要方法.用圖形可以使抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀形象;而一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予其數(shù)量意義，通過數(shù)量的運算使問題得到解決.希望大家在學習的過程中體會這一方法的應用，以提高自己分析問題、解決問題的能力.

(責任編輯 金 鈴)