小題也可大作

教師講復習課容易走兩種極端，一是題海戰術，讓學生每天進行無休止的機械訓練;二是表演戰術，每節課從第一分鐘講到最后一分鐘，學生沒有任何自主利用的時間.數學教師的確離不開講題，幾乎每一天都會解題、講題、評題，其中值得總結的地方很多.本文提出一種模式，小題大作，即選定一個典型的問題，最好是一道學生熟悉的題或出自課本上的題，然后一節課都圍繞這一道題展開，師生互動，將主要數學思想方法通過題目的開發滲透其中.

題目:已知a2+b2=1，求證:acosθ+bsinθ≤1.

這是人教版必修4-5《不等式選講》第36頁的習題3.1的第4題，用柯西不等式學生很容易解決.考慮到數學題的美感，筆者將其變形開發為一道更具一般性的問題，再引導學生進行開發.

變式:已知a，b，x，y∈R，且a2+b2=1，x2+y2=1求證:ax+by≤1.

1. 本題的常規解法

方法1，用柯西不等式.

∵(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2，a2+b2=1，x2+y2=1

∴(ax+by)2≤1，即:ax+by≤1.

方法2，用三角代換.

∵x2+y2=1，a2+b2=1

∴設x=sinα，y=cosα，a=sinθ，b=cosθ

∴ax+by=sinθsinα+cosθcosα=cos(θ-α)≤1.

方法3，用向量方法.

設∵=(a，b)，=(x，y)，∵a2+b2=1，x2+y2=1

∴==1，由#8226;≤#8226;得ax+by≤1.

以上三種方法學生可以經過研究自己發現，理應由學生完成而不能教師代勞.開發這一道題，只要教師給出了這一道題，學生在很短的時間內便可給出上述解法，教師適時點評即可.特別是由a2+b2=1與x2+y2=1聯系到三角代換體現了化歸與轉化的思想，為后續延伸與拓展打下埋伏，向量方法學生也容易想到，因為課本上柯西不等式的證明就是用向量方法證明的.

2. 本題的幾何解法

方法4，解析幾何方法.

∵a2+b2=1，∴ax+by=，即看作單位圓x2+y2=1上的點P(x，y)到直線ax+by=0的距離，∴該直線過圓心，結合圖形可知ax+by≤1.

方法5，平面幾何方法.

x，y，a，b中有一個為0時結論顯然成立，考慮到ax+by≤a#8226;x+b#8226;y，構造一個直徑為1的圓并作一個內接四邊形，令AC為直經.設AB=y，BC=x，AD=a，CD=b，顯然a2+b2=1，x2+y2=1.用托勒密定理AB#8226;CD+AB#8226;BC≤AC#8226;BD，易知結論成立.

方法6，復數方法.

設Z1=a+bi(a，b∈R)，Z2=y+xi(x，y∈R)，依題意a2+b2=1，x2+y2=1.

∵Z1=Z2=1，∴Z1#8226;Z2=Z1#8226;Z2

∴1=Z1#8226;Z2=(a+bi)(y+xi)

=(ay-bx)(ax+by)i

=

∵(ay-bx)2≥0，∴(ax+by)2≤1，即:ax+by≤1.

上述三種方法都具有明顯的幾何特征，結合圖形思考問題是很多學生欠缺的.在師生互動的前提下，學生在教師的引領下沿著指明的方向往前走，不難得到上述解法.

3. 本題的另類解法

既然是開發題目，不妨給學生一些另類的解法，將題目進行延伸與拓展.雖然這些方法難以想到，但能提起學生的興趣，讓學生們覺得小題也可大作.

方法7，反證法.

假設ax+by>1，則(ax+by)2=a2x2+b2y2+2abxy>1①

由已知(a2+b2)(x2+y2)=1可得a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=1②

由①-②得2abxy-(b2x2+a2y2)>0，即(bx-ay)2<0.

這是不可能成立的，假設錯誤，故結論成立.

方法8，證明其逆否命題.

若ax+by>1則x2+y2與a2+b2至少有一個不等于1.

∵ax+by>1，∴1<(ax+by)2≤(x2+y2)(a2+b2)，即(x2+y2)(a2+b2)>1，∴x2+y2與a2+b2至少一個不等于1.

∴逆否命題真，故原命題也真.

方法9，放縮法.

∵a2+b2=1，x2+y2=1

∴ax+by≤ax+by≤+=(a2+b2+x2+y2)=1.

方法10，構造二次函數.

令f(t)=(a2+b2)t2+2(ax+by)t+(x2+y2)，即f(t)=(at+x)2+(bt+y)2≥0

∴=4(ax+by)2-4(a2+b2)(x2+y2)≤0，即(ax+by)2≤1，即ax+by≤1.

4. 本題的變式與拓展

上述解法體觀了解數學題的常用思維與技巧，是學生應試前必須熟練掌握的.為了鞏固與提高，可以開發出一些變式題作為學生課后練習鞏固用.

1. 求函數y=5+的最大值.

2. 已知a，b，c，d∈R且a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求證:1≤a≤2.

3. 若a，b，c，x，y，z∈R且a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=1，求證:ax+by+cz≤1.

4. 若x，y，a，b∈R且x2+y2=1，a2+b2=1，求證:(a-x)2+(b-y)2≤4.

5. 已知f(x)=，a≠b，求證f(a)-f(b)

講題也是一門藝術，如果能將數學思想方法滲透到日常教學中，讓學生在日常學習過程中享受到做題的無窮樂趣，體驗數學的無窮魅力，就是我們數學講題教學追求的境界.

責任編輯 羅 峰