從巧合問題談概率論與數理統計課程教學

【摘要】從巧合問題來看概率論與數理統計課程教學，不僅應增加趣味性，而且應緊密聯系生活。

【關鍵詞】巧合問題概率論與數理統計課程教學

隨著我國高等教育的大力發展，一大批學生走進高校進行學習。但在高校中如何進行數學的教學才能使學生真正掌握所學知識并能運用數學來解決各種理論和實際中的問題，是擺在高校數學教師面前的一個重要課題。當今科技發展日新月異，社會和經濟發展的需要對人才的素質要求與學校課程內容之間的差距已形成比較尖銳的矛盾，各國高等教育都在根據對應用型人才的要求來改革學校課程和教學內容。作為獨立學院的學生，尤其是文、經、管類專業學生，高等數學的底子相對薄弱，且不同生源的學生數理基礎有較大的差異，因此，概率論與數理統計成為一部分學生的學習障礙。

對于巧合的事件，人們往往感到驚奇，認為是自然界有某種神秘的力量在牽引著自己前進的方向，神秘莫測的宇宙就像無形的雙手在指導著某個人的命運。世上的事情真的是巧合嗎?數學無知者的一個主要的特征，是過分低估發生巧合的頻繁性。那這些巧合事件是怎么發生的呢?其中又運用了那些數學知識呢?本文試從生活中的巧合問題來談談概率論與數理統計課程教學。

概率的第一章就是介紹一些基本事件，如不可能事件、必然事件、基本事件等基本概念。對于數學學得好的同學來說，如何理解好并掌握數學的概念是學好數學的關鍵。數學最美的地方就是簡潔美，往往幾個詞語就能包含很多數學的重要思想，可是理解這些概念對一般的學生來說也不是件簡單的事情。數學概念的簡潔美對愛好數學的人來說就像是歌唱家聽到美妙動人的歌曲那樣如癡如醉，但是這種簡潔美卻對數學教師如何讓學生理解并很好地掌握這些概念提出了挑戰。數學教師能領略到概念的簡潔美，但對大部分學生來說這些概念很枯燥也很無味，如果數學教師只是按照教材上所定義的那樣來解釋概念的話，不但學生聽之無味，教師本身也會覺得沒意思。由此可見，要想享受到數學的美感就必須讓學生聽得有趣味，并且影響深刻，如同烙印般刻在學生腦海中，因此。教師不但要對數學了解詳細，更要學會采用合適的方法來表達這些概念。實際上，數學教師可以從數學的發展、現實的生活現象等來解釋這些概念。但這要求很廣的知識面。一句話，教師的數學專業要精，各學科知識要廣。比如在學習獨立事件的時候，很多學生就是弄不明白，為提高學習氣氛，更為了加強學生對這個概念的了解，可以討論的形式來證明“完美的男人微乎其微”，從茫茫人海中尋找伴侶的這一角度出發，對未來伴侶的要求就是獨立事件，但如果從各自的理想條件去尋找伴侶的話這就是個不可能事件，但某兩個最終能在一起卻構成了必然事件。

人們經常以為巧合是那些難以發生的事件，其實不然，因為大多數人都低估了巧合發生的頻繁性。最典型的莫過于同生日的巧合性。在一個多少人的小組中才能有一半的概率，使得其中至少有兩個人有相同的生日?對于這個問題，學生的答案五花八門，盡管答案不一，但有一點是肯定的，那就是需要很多的人。可是當教師說出結果是23人時，學生滿臉的不相信。通過概率計算可以得出在N個人中至少有兩人同生日的概率有如下公式：

其實，現實中還有很多驚人的巧合，比如同名同姓結為夫妻的巧合、美國的前幾位總統死于7月4日的巧合等等。如果很多數學概念、定理能用一些恰當的案例分析進行講述，不但學生能夠掌握的快些，同時課堂也會有趣些。上述同生日的巧合其實隱含的數學知識不難，就是用到獨立事件和對立事件。

那么，巧合現象是怎么發生的呢?這里又要用到基本的概率知識。假定一個真正值得紀念的、一生中一次的巧合在今天發生的機會是百萬分之一。并假定在任何特定的日子，有100個時機遇到這些不可能發生的巧合之一。那么，這些巧合在明天都不發生的機會是多少?百萬分之一不發生的機會是0.999999，根據上面所說的估計每天有100個時機讓這事情發生。所以一件都不會發生的機會是：0.999999×0.999999×…共100個相乘。結果是0.9999，這意味著這些巧合之一明天將遇到的機會是萬分之一，仍舊不太可能。那么下個星期呢?根據上面的計算，這星期每一天都不會發生的機會是：0.9999×0.9999×…共七個數相乘。約0.9993，也就意味著下個麈期中，發生巧合的機會是萬分之七。那么一年下來，發生巧合的概率是三十分之一。而有趣的是在20年中將經歷一次值得紀念的百萬分之一巧合的機會竟然大于50％，這就是巧合事件的數學原理。那么，這些生活的現象對我們的教學有哪些啟發呢?

從上面一些的巧合事件可以看出，數學的教學可以改變對那些枯燥概念以及定理解釋的傳統教學方法。生活中處處都有數學的影子，可從以下方面進行教學改革。

一是增加趣味性。數學本身包含大量的概念、定理、公式等等，因此學生如果沒有很好的數學基礎是很難理解的，有的甚至會被這些概念符號給嚇住。所以教師在進行這方面教學的時候，盡量讓這些概念生動起來，使得這些概念不再是枯燥無味的冰冷的文字，而是一些有血有肉的故事人物形象。

二是緊密聯系生活。概率論與數理統計是一門緊密聯系生活的課程，在這門課程的教學上，可以聯系很多具體的生活例子和現象。同時，概率論與數理統計也是一門重要的工具學科，可用來解決很多實際問題。因此，在教學中，除了要培養學生計算和邏輯推理能力外，很重要的是培養學生理論應用于實際的能力。因此，在介紹一些基本概念或定理的時候可以引入生活中相關的事件，以此來使概念具體化、形象化。比如開始提到的巧合現象就包含了獨立事件、不可能事件等概率知識。

上述這些改進是針對課堂來說的，對于學生來說確實可以提高課堂氣氛，易于掌握好概念定理，但這是建立在教師知識面比較豐富的情況下的，如果沒有很廣的知識面可能會有適得其反的效果。所以，從教師的角度出發，增強本身的知識面不但有利于增加見聞，還可以提高學生的學習積極性。