2009年廣東高考數學理科卷第19題研究

題目:(滿分14分)已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2=0交于兩點A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xA

(1)若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程;

(2)若曲線G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0與D有公共點，試求a的最小值.

一、總體分析

數學探究性問題是新課程實施后較受重視的一類問題，其問題新穎，題材豐富，綜合性強，解法靈活多樣，是高考命題的熱點.2009年廣東高考數學理科卷第19題是一道整合了圓、拋物線、直線等內容的綜合性問題，包含了數形結合、化歸、函數與方程等數學思想方法，旨在考查考生理解直觀與嚴謹的關系，檢測考生的具體形象思維、想象思維與邏輯思維水平;考查考生的推理論證能力、運算求解能力和問題探究能力;考查考生的創新意識和問題解決能力，體現了數學新課程的理念與要求.

第(1)問求線段PQ的中點M 的軌跡方程，是一道常規題，考生只需初步具備已知與未知相互轉化的數學思想，就能順利作答.點P是已知的，點Q是可求的，點M是未知的，且3個點互相關聯，用未知點M來表示已知點P，再通過點P的軌跡方程，即可得點M的軌跡方程.第(2)問通過數形結合思想，讓圓動起來并求a的最小值，立意新穎靈活，考查學生對軌跡方程、直線與圓錐曲線位置關系的理解，對線性規劃圖解法的分辨能力，對數學問題的探究與質疑、反思能力.

從評卷結果來看，許多考生受線性規劃圖解法思維定勢的影響，直觀地認為當圓G過點A時， a取最小值.命題者深諳此理，將動圓的半徑定為和直線的斜率設為1，這是本題的亮點:數學發現離不開直觀與合情推理，但未經嚴密論證的形象思維成果有時會是一種美麗的假象，容易使我們陷入泥潭.

二、得分情況統計

隨機選取約33.6萬份樣卷進行統計，該題滿分14分，第(1)(2)問各7分.考生平均得分3.23分，標準差3.18，將0～14分劃分為6個分數段，各分數段人數及百分比例如下表:

作為倒數第三大題，這樣的平均分顯然不能令人滿意，但又在情理之中.樣卷統計結果顯示:0～2分數段約占47.64%，該題平均分如此之低就不足為奇了.

實際上，考生只需把直線l與拋物線C的方程聯立成方程組，即得1分;正確求出點A或點B的坐標，得2分;正確求出中點Q的坐標，得3分.全省約33.7萬名理科考生中，約10.8萬名考生沒有聯立成方程組，近3萬名考生聯立了方程組但計算錯誤，約2.2萬名考生沒有求出中點Q的坐標或計算錯誤.說明部分考生缺乏最基本的數形結合思想方法、最基本的運算能力和一些最基本的公式法則，也說明雙基教學中尚存在某些欠缺.

三、典型錯誤統計

隨機抽取4786份樣卷進行分析，存在以下7種典型錯誤情形.

1. 心理素質差.918份0分卷中，共有853份空白卷，約占全部樣卷的17.82%.

2. 運算能力差.192份樣卷在計算點Q坐標時，出現錯誤，約占全部樣卷的4.01%.

3. 邏輯思維能力差.受線性規劃思想影響，考生依賴思維定勢，錯誤地認為a取最小值時，圓G過點A.

4. 數形結合意識不強.沒有畫圖或不結合圖形進行分析，認為當a 取最小值時，圓G與區域D的下邊界相切，從而把圓G與拋物線 C的方程聯立，出現錯誤.

5. 函數概念理解不完整.1162份樣卷正確求出了點M的軌跡方程，卻只有251份注意到了函數的定義域.在這251份樣卷中，僅有53份給出了正確答案，有142份錯誤地認為定義域就是-1

6. 曲線與方程的關系認識不清.2011份樣卷中，設點M(x，y)并得到s=，t=以后，卻有537份張冠李戴，錯誤地將其代入直線l的方程.事實上題目已經說得清清楚楚，點P(s，t)是拋物線上的一個動點.

7. 思維不縝密.在求出a的最小值后，許多考生忘記去判斷圓G與直線l的切點是否在區域D內，或者主觀地臆斷該切點一定在區域D內，沒有或不懂得如何進行反思檢驗.

四、第(2)問解法分析

當曲線G(即圓G)與D僅有一個公共點時，圓G與D的上邊界線段AB正好相切，a取最小值.

解法1 利用等腰直角三角形的性質.

如圖1，曲線G的方程可化為(x-a)2+(y-2)2=，這是一個圓心為G(a，2)，半徑為的圓.

設圓G與直線l:x-y+2=0相切于點T(xT，yT)，線段AB與y軸相交為R，則有 =，即a=±. 因為直線l的傾斜角為45°，則GTR為等腰直角三角形，且T(xT，yT) 為直角頂點.

故xT=a=±.又±∈(-1，2)，且-1和2是區域D中點的最小和最大橫坐標，所以切點T∈D.故滿足條件的a的最小值為-.

解法2利用解代數方程組.

當圓G在y軸左邊與線段AB相切，即只有一個交點時，a取最小值.于是有(x-a)2+(y-2)2=()2x-y+2=0 ， 得2x2-2ax+a2-=0 .依題意有=0且a<0，即4a2-8×(a2-)，得a=-.

條件“切點T∈D”的判斷方法與解法1同，此處略.

解法3 利用T∈D先定a的取值范圍.

過點G(a，2)與直線l垂直的直線l′的方程是y-2=-1×(x-a)，即x+y-2-a=0.由x-y+2=0x+y-2-a=0 ，解得交點T的坐標xT=，yT=+2.若點 T(xT，yT)∈D，則yT>xT2，即+2>，解得a∈(-2，4).

參考解法1或解法2，可求得a=±.因為±∈(-2，4)，故滿足條件的a的最小值為-.

解法4 利用正弦定理.

如圖2，曲線G的方程可化為(x-a)2+(y-2)2=，易知點R的坐標為(0，2).依題意，只需考慮a<0的情況. 當a<0且圓G與D有公共點時，圓G與AB必有交點，設此交點為N，則GN=.

(1)若點N與點R不重合， 則在GNR中， 設∠GNR=θ，由正弦定理得=(或=) 故a=sin. 若sin能取到最大值1，則a有最小值-.由于RA=>RN=，故在線段AB上可取點N，使RN==GN，再取GR=a=，則∠GNR=90°，從而sin能取到最大值1，此時a的最小值為-.

(2)若點N與點R重合，則點G 的坐標是(-，2).綜合(1)與(2)知， 滿足條件的a的最小值為-.

解法5 利用導數求函數極值.

曲線G的方程可化為(x-a)2+(y-2)2=.設線段AB上的動點N(u，u+2)，u∈[-1，2]，則GN2=(a-u)2+(2-u-2)2= ，即a=u±.

如圖2，要使a取得最小值，圓 G應在y軸左邊且應與線段AB相交，此時a

令a=f(u)=u-，u∈[-1，2]，則本題轉化為求f(u)在[-1，2]上的最小值.

因為f ′(u)=1+，令

f′(u)=0，得u0=-∈[-1，2].

當u∈[-1，-]時，f ′(u)<0，

f ′(u) 單調遞減;當u∈[-，2]時，f ′(u)>0，f ′(u)單調遞增.于是a=f(u)在u0∈[-1，2]處取得極小值，而f(u0)=u0-=-，所以滿足條件的a的最小值為-.

五、問題拓展

好的數學高考題如同一瓶好酒，越品越香醇. 從發展學生思維的靈活性和提高學生的數學探究能力而言，本題具有很好的研究和教學價值. 現提出以下兩個問題供讀者研究、品味.

問題1:若圓G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0與D有公共點，且其他條件不變，試求a的最大值.

問題2:若圓G′:(x-a)2+(y-2)2=r2與D有唯一公共點B，且其他條件不變，試求a的最大值和最小值.

責任編輯 羅峰