Markowitz均值-方差模型與RAROC模型在中國證券市場的實證研究

摘要:從Markowitz均值-方差的基本模型入手，分析其缺陷并引入其修正模型和在此基礎上改進的RORAC模型。兩個模型采取了不同的風險衡量度量方法。在MATLAB環境下運用遺傳算法求解在同一收益水平下的兩個模型風險水平。對深圳證券交易所數據的實證研究，證實修正后的Markowitz模型的風險控制能力強于RORAC模型的VAR風險控制方法。

關鍵詞:Markowitz均值-方差模型;RAROC模型;遺傳算法;風險控制

中圖分類號:F224.0 文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)02-0103-04

一、Markowitz均值-方差模型及其修正

1.Markowitz的均值-方差模型

Markowitz于1952年在《金融雜志》發表了里程碑式的論文《證券組合選擇》，奠定了證券組合理論的基礎， 標志著現代證券組合理論的開端，提出的均值-方差模型開創了在不確定性條件下理性投資者進行資產組合投資的理論和方法， 第一次用精確的數理模型證明了分散投資的優點。 該模型已成為目前投資理論和投資實踐的主流方向。在文章中，他指出由于各種證券的相關性，使得只要證券之間存在不完全的正相關，就可以利用組合投資來降低風險。在Markowitz的均值-方差模型中，采用期望代表資產的預期收益，方差(或標準差)代表風險來研究資產的選擇和組合。

模型成立的假設條件如下:(1)投資者以期望收益率(亦稱收益率均值) 來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差(或標準差) 來衡量收益率的不確定性(風險)，因而投資者在決策中只關心投資的期望收益率和方差。(2)投資者是不知足的和厭惡風險的，即投資者總是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。(3)投資者都遵守占優原則:同一風險水平下，選擇收益率較高的證券;同一收益率水平下，選擇風險較低的證券。(4)投資者事先知道投資收益率的概率分布。

minσ2ρ=X'ΣXRρ=X'Rxi=1，xi≥0，i=1，2，……，n

其中，X=(x1，x2，……，xn)T，X'=(x1，x2，……，xn)，xi表示第i支股票的投資占總投資額的比例。∑=(ρij)n×n，ρij為股票i，j的相關系數，前者為相關系數矩陣。Rρ為投資組合的預期收益率，R=(r1，r2，……，rn)T為每一支股票的預期收益率。

Markowitz的模型簡潔易懂，但是存在一定的缺陷。首先，為了保證取得最低的風險，在Markowitz的這個模型中允許賣空的存在，即xi為負，但在很多國家賣空機制是不允許在股票市場操作的，因此，有必要加入不允許賣空的約束條件。其次，Markowitz的模型為了簡單起見忽略了證券交易費用，這樣也使得實際最優解和模型最優解有出入。再次，此模型只考慮了有風險資產，在CAPM模型中加入了對無風險資產的討論，因此，我們也可以引入無風險資產。另外，也有很多后續的研究表明證券的風險并不是完全按照收益概率函數對稱分布在兩側，也存在偏度風險和峰度風險，這就要考慮到風險衡量的問題。

2.修正的均值-方差模型

在考慮到上述缺陷后，有學者提出了均值-方差修正模型:

minσ2ρ=X'ΣXRρ=X'R-C(xi)+r0x0xi=1，xi≥0，i=1，2，……，nxi≥0，i=1，2，……，n

其中，C(xi)=xiSci，xiS≥aiaici，xiS≤ai，為交易費用的模型，第i支股票的C(xi)為交易費用，S為總資產額，ci，i=1，2，……，n，為第i支股票的交易費用率，當購買額不超過給定值ai，i=1，2，……，n，交易費用按ai計算。無風險資產比例x0，以銀行存款利率作為無風險資產收益率r0 。要求所有投資比例都大于0，xi≥0，i=1，2，……，n。

該模型彌補了前面提到的幾個缺點。但關于風險度量的問題，有學者引入VAR的概念構造新的模型。

二、RAROC投資組合模型

1.風險價值(VAR)和RAROC指標的引入

風險價值(Value at Risk，VAR)是指市場處于正常波動時，給定的置信水平下，某一項金融資產或組合可能遭受最大損失的可能性。數學表達式:P(Δρ>VAR)1-a。

其中，Δρ為投資組合在持有期Δt內的損失，VAR為置信水平a下處于風險中的價值。

假定在投資組合持有期內，每支股票的收益都是上下波動的，我們把收益率為負的記為損失樣本，收益率為正的記為收益樣本。因此，對于單支股票，我們用單個股票樣本持有期內的期望損失來作為單個股票的VAR值。它的優點在于能夠有效地應對證券市場崩盤、金融危機發生等極端情況，直觀明晰，易于把握。

投資組合整體VAR也可以由單個股票的VAR值得出:

VARρ=xixjVARiVARjρij

其中，VARρ為投資組合整體VAR值，VARi，VARj分別為股票i，j的值，xi，xj分別為股票i，j的投資比例，jρij為股票i，j的相關系數。

風險調整資本收益(Risk-Adjusted Return on Capital，RAROC)指標最初由Banker’s Trust Group首創，最初是為了度量銀行信貸資產組合的風險和在特定損失率下為限制風險敞口必須的股權數量。現在主要被銀行和金融機構采用，通過風險因素評估商業活動的經濟回報率。

2.RAROC模型的建立

該模型以VAR作為風險度量的工具，以RAROC作為目標優化函數構造投資組合優化模型。RORAC以投資組合的收益與風險組合的VAR的比值來衡量，經濟意義是單位風險下的預期收益。則模型的數學公式表示如下:

maxRAROC==s.t.xi=1，xi，xj≥0

三、在MATLAB的環境下用遺傳算法解決投資組合問題

1.遺傳算法

遺傳算法(Genetic Algorithm)是一種模擬達爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程演化而來的隨機化搜索方法。它由美國J.Holland教授于1975年提出，主要通過對結構對象進行操作，不存在求導和函數連續性的限定，具有內在的隱并行性和更好的全局尋優能力。而最優化問題是遺傳算法最經典的應用領域。遺傳算法主要步驟有初始化種群、計算適應度、通過選擇、交叉、變異等遺傳操作產生新一代群體的個體，一代一代的優化最終找到符合條件的解。

2.MATLAB環境下的遺傳算法應用

在MATLAB7.0中，提供了一個自帶的遺傳算法工具包，不僅可以將已編好的函數添加到自己的程序中，更提供了一個人性化的GA操作界面，在command window中輸入“gatool”，即可打開該界面，大大方便了用戶的使用。界面如圖1:

圖1 MATLAB環境下的遺傳算法界面

左側窗口可以自定義適應函數，確定線性等式、不等式和非線性約束條件。

右側選項欄目可以設定種群、選擇交換變異等的概率、遺傳代數等一系列參數。

四、兩個模型在中國證券市場的實證研究

1.樣本的選擇

樣本由從深圳證券交易所上市的股票中隨機選擇8支股票構成。選取2009年6月1日至7月24日八個交易周的漲跌幅作為收益率。各樣本的歷史價格均作了相應的復權處理。數據均來自大智慧股票行情分析系統。原始數據情況如表1:

2.樣本股票期望收益率、相關系數、VAR和RAROC的計算

(1)樣本股票期望收益率

E(ri)=rik，i=1，2.……，n.k=1，2.……，m

其中，rik為第i支股票第k周的收益率。經計算得:(見表2)

(2)樣本股票的相關系數 ρij=

在MATLAB中有提供的對于矩陣進行相關系數計算的函數，則輸入數據可直接得到相關系數矩陣，如表3:

表3 樣本股票之間的相關系數

(3)樣本股票的VAR和RAROC計算

根據以上公式計算，可以得出以下結果:(見表4)

3.利用遺傳算法求解

利用遺傳算法在給定相同的參數后比較兩者的計算結果。因為我們給出的Markowitz均值-方差模型需要在給定預期收益率的前提下尋求最優解，因此，我們先對RAROC模型使用遺傳算法，1000代的遺傳運算如圖2所示。

圖2 RAROC模型1000次迭代后均值和最優解收斂曲線

計算給出的各股票投資權重和預期收益率見表5(總投資額按照一百萬元計算)

根據上述結果，在收益率為0.030588的條件下，計算Markowitz均值-方差模型給出的投資權重。(見表6)

運算過程如圖3所示:

用樣本數據后的四周(2009年7月27日至8月21日)的數據進行比較，見表7。

這四周的總收益情況如圖4所示，圖中可以清楚反映兩個模型在風險控制方面的差別。

圖4兩個模型投資收益波動情況

如圖所示，紅色區域的面積除了第一周大于藍色外，其余各周均在藍色區域內，表明均值-方差模型的波動劇烈程度小于RAROC模型，即均值方差模型的風險控制能力更好。

五、總結

RAROC模型給我們提供了一個可以參考的風險防范的方法，但是，由于它主要考慮到的是極端情況下的風險，因此，在實際應用中收益和風險波動情況還是相對于改進后的Markowitz模型更加劇烈和不穩定的。在模型的求解過程中我們發現遺傳算法對于求解目標規劃問題是快速而有效的。對于RAROC模型的修正和遺傳算法的改進有待進一步研究。

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