解高中排列組合題的常用方法

2010-01-01 00:00:00張永偉

廣東教育·高中 2010年2期

排列組合是高中數學的重點和難點之一，也是高考必考的內容.學好排列組合對同學有兩方面的益處，一方面為同學進一步學好概率知識打下堅實的基礎;另一方面使同學進一步理解和掌握分類討論思想、轉化思想和對稱思想等數學思想.由于排列組合問題不僅內容抽象，題型多樣，解法靈活，而且解題過程中極易出現重復或者遺漏的錯誤，針對這些問題，下文介紹了八種解排列組合題的常用方法，并且結合一些2009年數學高考題來闡述一下這些方法的具體運用.

一、分類法(分類問題)

對于可分成若干類完成的排列組合問題，把問題分成若干類(使得每類不重不漏)，分別計算出每類的排列組合數，再根據加法原理把各類的排列組合數相加即可.

例1 甲組有5名男同學、3名女同學;乙組有6名男同學、2名女同學，若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有()

A. 150種 B. 180種 C. 300種 D. 345種

解析此問題可分為兩類，第一類是:由甲組中選出一名女生，有C15#8226;C13#8226;C26=225種選法，第二類是:由乙組中選出一名女生，有C25#8226;C16#8226;C12=120種選法，從而共有225+120=345種選法，故選D.

例2用數字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有個.(用數字作答)

解析此問題可分為兩類，第一類是:個位、十位和百位上的數字都是偶數的四位數有C23A33C14+A33C13=90個，第二類是:個位、十位和百位上的數字為1個偶數和2個奇數的四位數有C23A33C14+C13C23A33C13=234個，故個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有90+234=324個.

評注對于分類問題，關鍵是正確地分類和準確地計算出每類的排列組合數.

練習在11名同學中，有5人只會打籃球，4人只會打乒乓球，另外2人既會打籃球也會打乒乓球，現從11人中選4人打籃球，4人打乒乓球，問共有多少種不同的選法?(答案:185)

二、分步法(分步問題)

對于可分成若干步完成的排列組合問題，把問題分成若干步，分別計算出每步的排列組合數，再根據乘法原理把各步的排列組合數相乘即可.

例3 從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法共有()

A. 120種 B. 96種 C. 60種 D. 48種

解析此問題可分為四步完成，第一步是:5人中選4人共有C45種，第二步是:星期五選一人有C14種，第三步是:星期六選兩人有C23種，第四步是:星期日選一人有C11種，則不同的選派方法共有C45C14C23C11=60種，故選C.

例4 甲、乙、丙三人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是(用數字作答).

解析此問題可分為兩步完成，第一步是:先排甲有7種情況，第二步是:再排乙、丙，此步又分為兩類，第一類是:當乙和甲站在同一個臺階有1種情況時，丙站在其它六個臺階之一有6種情況，第二類是:當乙站在其它六個臺階其中之一有6種情況時，丙可以任意站有7種情況，則第二步有1×6+6×7=48種情況，故不同的站法種數是7×48=336種.

評注對于分步問題，關鍵是正確地分步和準確地計算出每步的排列組合數.

練習 n+1本不同的書分給n個人，每人至少一本，問有多少種不同的分法?(答案:C2n+1Ann)

三、排除法/間接法(限制條件問題)

對于關于有限制條件的排列組合問題，首先求出不加限制條件的排列組合數，然后減去其中不符合條件的排列組合數.

例5 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有()

A. 6種 B. 12種 C. 30種 D. 36種

解析兩人各選2門的情況有C24C24種，兩人所選兩門都不相同的情況有C24C22種，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法有C24C24-C24C22=36-6=30種，故選C.

例6 某地政府召集5家企業人開會，其中甲企業有2人到會，其余4家企業各有1人到會，會上有3人發言，則這3人來自3家不同企業的可能情況的種數為()

A. 14B. 16C. 20D. 48

解析不考慮是否來自同一企業的種數是C36，而3人有來自同一企業的種數是C22C14，則這3人來自3家不同企業的可能情況的種數為C36-C22C14=20-4=16，故選B.

評注對于有限制條件或出現“至少”“至多”之類字眼的題目適合用排除法，就是讓不考慮限制條件得到的總排列組合數減去不符合題中限制條件的排列組合數.

練習某班有10名中共黨員，其中4名男同學，6名女同學，要從這10人中評選出3名“三好學生”，并且至少有1名男同學，問有多少種選法?(答案:100)

四、優先法(指定位置問題)

對于某幾個元素要排在指定位置的排列組合問題，一般應先考慮這些特殊元素，再考慮其他元素.

例7 從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數為()

A. 432B. 288C. 216D. 108

解析由于是奇數，優先考慮末尾數字從1，3，5，7中取，有種情況;再從剩余三個奇數中選取一個，有C13種情況;從2，4，6三個偶數中選取兩個，有C23種情況，再進行十位、百位和千位三個位置的全排列，有A33種情況，則共有C14C13C23A33=216個，故選C.

評注上題中要求的是奇數，所以優先考慮末尾數字，再考慮其他位置的數字.

練習廣東宏遠籃球隊的10名隊員中有3名主力球員，派5名參加比賽，3名主力球員安排在中鋒、組織后衛和進攻后衛位置上，從其余7名球員中選2名排在小前鋒和大前鋒位置，那么不同的出場順序有多少種?(答案:252)

五、插空法(不相鄰問題)

對于某幾個元素不相鄰的排列組合問題，可先將其它元素排好，再將這些不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙中插入.

例8 5個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有種.

解析除甲乙外先排其他三人有A33種情況，再將甲乙二人插入前三人形成的四個空隙中有A24種情況，故甲、乙兩不相鄰的排法有A33A24=72種.

評注上題中由于甲、乙不相鄰，所以先排其他人，再把甲和乙插進去.

練習 n個男生要m(m≤n)和個女生合影，要求m個女生兩兩不相鄰，問有多少種不同的排法?(答案:AnnAmn+1)

六、捆綁法(相鄰問題)

對于某幾個元素相鄰的排列組合問題，可將相鄰的元素捆綁在一起，看作一個整體元素與其它元素排列組合，然后再在這個整體元素內部進行排列組合.

例9 2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是()

A. 60B. 48C. 42D. 36

解析有兩位女生相鄰可從名女生中任取人捆綁在一起記作a，(a共有C23A22=6種不同排法)，剩下一名女生記作b，兩名男生分別記作甲、乙，則男生甲必須在a、b之間(若甲在a、b兩端，則為使a、b不相鄰，只有把男生乙排在a、b之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求)此時共有6×2=12種排法(a左b右和a右b左)最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，則共有12×4=48種不同排法，故選B.

評注上題中由于有兩名女生相鄰，所以要把這兩名相鄰女生捆綁在一塊看成一個整體.

練習 5名同學要和2名校長合影，要求排成一排，2名校長相鄰且不排在兩端，問有多少種不同的排法?(答案:960)

七、集合法(交叉問題)

對于某些排列組合部分之間有交集的排列組合問題，可用集合中求元素個數公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B)來求解.

例10 50名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有30名，參加乙項的學生有25名，則僅參加了一項活動的學生人數為()

A. 50B. 45C. 40D.35

解析由公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B)，得兩項都參加的學生人數為:Card(A∩B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∪B)=30+25-50=5，則僅參加了一項活動的學生人數為:50-5=45，故選B.

評注關鍵是把公式中的每個量準確地求出來.

練習從6名運動員中選出4名參加4×100m接力賽，其中甲不跑第二棒，乙不跑第三棒，共有多少種不同的參賽方法?(答案:252)

八、概率法(概率問題)

對于幾種情況出現概率相同的排列組合問題，只要求出其中一種情況排列組合數，乘以情況總數就可得到總體情況排列組合數;或者只要求出總體情況排列組合數，除以情況總數就可得到每種情況排列組合數.

例11 將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有種(用數字作答).