解答數學填空題常見錯誤剖

填空題是每年高考失分率較高的題型，其原因不僅僅是簡單的運算準確性的問題.因此，探索填空題失分的原因，尋求對策，對提高我們的復習效益就顯得十分重要.本文詳細分析這些常見錯誤的原因，并有針對性的給出糾正的辦法，希望對同學們的學習有所幫助.

一、粗心之錯

審題是解題的第一關，也是至關重要的一關，若不認真，就容易因錯看或漏看條件造成的解題失誤.

例1 若k，2k+2，3k+3是一個等比數列的前三項，則K=.

錯解 依題意2k+2是k和3k+3的等比中項，∴(2k+2)2=k(3k+3)，整理得k2+5k+4=0，解得k=-1或k=-4.

剖析 此解忽視了等比數列任意一項都不為0這一條件，所以k=-1不適合題意，應舍去，答案為k=-4.

例2 點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為.

錯解 本題容易答為.

剖析 原因是只考慮了點A的一邊，未考慮另一邊.其實，B可在A的兩邊(如圖)，正確答案是.

糾錯方法 要糾正粗心之錯，平時就應培養冷靜沉著的習慣.解答之后再回顧，即再審題，是避免審題上帶來的某些明顯的錯誤的有效方法，另外可通過賦值檢驗、估算檢驗、作圖檢驗來糾正粗心引起的錯誤，比如在例1中只要把求得的k代入給出的數列，就可以發現k=-1不適合題意，等等.

二、概念模糊致誤

概念是思維的細胞，若不能正確理解和使用數學概念，則極易導致錯誤.

例3 已知函數f(x)=-x5-x4+8，則=.

錯解 ∵f ′(x)=-3x4-7x3，∴原式=f ′(1)=-10.

剖析 在導數定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪一種形式，相應地必須選擇對應的形式，即f ′(x0)=，故正確答案是原式= #8226;2=2f ′(1)=-20.

例4 如圖所示，A、B是兩個非空集合，定義A-B={x|x∈A且xB}，則A-(A-B)是下圖中的區域.

錯解 因A-B={x|x∈A且xB}，所以A-(A-B)={x|xA且x∈B}，應選Ⅲ.

剖析 集合中的符號語言極具抽象性，準確理解集合中符合的含義是解決問題的關鍵.上述解法對新定義符號“-”的理解不當，致使A-(A-B)在遷移運用時出現錯誤.A-(A-B)的正確理解應是{x|x∈A且x(A-B)}，而A-B為圖中的區域I，故A-(A-B)應為圖中的區域II.

糾錯方法 對于同學們出現的概念模糊致誤，最好的方法是回歸課本，從教材中去重新理解概念.

三、忽視隱含條件致誤

不少數學問題雖未給出明確的條件，但卻隱含在問題中，若不注意挖掘，則會造成解題失誤.

例5 已知曲線y=x3+，則過點P(2，4)的切線方程是.

錯解 P(2，4)在曲線y=x3+上，由y′|x=2=4得切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.

剖析 這個結果并不完整，因為題目并沒有告訴點P(2，4)是否為切點，而上面的解法是把點P(2，4)當作切點求解的.其實， 點P(2，4)也可能不是切點.正確的解法是:

設切點為(x0，y0)，則y′|x=x=x20，切線方程為y-4=x20(x-2).

因為(x0，y0)在切線上，則y0-4=x20(x-2)，從而有x30+-4=x30-2x20，

解得x0=2，x0=-1，

于是， 過點P(2，4)的切線方程為4x-y-4=0和x-y+2=0.

例6 若向量=(x，2x)，=(-3x，2)，且a，b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.

錯解 因，的夾角為鈍角，于是可以得到<0，所以=-3x2+4x<0，故x<0或x>.

剖析 錯誤原因在于忽視了<0，不是a，b夾角為鈍角的充要條件，因為a，b的夾角為180°時也有<0，從而擴大了x的范圍，導致錯誤.正確解法是:因a，b的夾角是鈍角，故=-3x2+4x<0，解得x<0或x>………①

又由，共線且反向時，可得x=-……②

由①②可得x的范圍是(-∞，-)∪(-，0)∪(，+∞).

糾錯方法 要糾正忽略隱含條件之錯，應認真審題，仔細分析題意，通過給出的不等式或方程中挖掘隱含條件，通過圖形挖掘隱含條件，通過定義性質或通過數學符號本身挖掘隱含條件，如組合數Cnm中隱含了0≤n≤m，m，n∈N等等.

四、忽視特例致誤

只考慮一般情形而忽視特殊情形，是同學們常犯的錯誤之一.

例7 已知直線l1:ax+(1-a)y+3=0與l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求實數a的值.

錯解 ∵兩直線垂直， ∴k1#8226;k2 =-1. 即(-) (-)=-1，a=-3.

剖析 這里陷入了兩直線垂直斜率之積為-1的誤區，忽視了前提條件:斜率必須存在.若a=1則l1∶x=-3，l2∶y =0.4 仍滿足l1⊥l2，故所求結果為a=-3或a=1.

例8 已知實數x，y滿足=x-y，則x的取值范圍是 .

錯解 把等式變形為y2-xy+x=0，因為方程有實根，所以=x2-4x≥0x≥4或x≤0.

剖析 忽視y≠0這一隱含條件.正確答案:x<0或x≥4.

糾錯方法 要克服這類錯誤，主要解決好特殊與一般的關系，有無前提條件.比如解方程ax2+bx+c=0，在沒有指明是一元二次方程的條件下，應考慮a=0和a≠0兩種情形，類似的不等式也一樣，等等.

五、思維定勢致誤

定勢思維是人長期形成的一種習慣思維，在思維考問題時總是自覺或不自覺地按固有思維模式去看問題，往往容易引起失誤.

例9 一個物體沿直線以速度v(t)=2t-3(t的單位:秒，v的單位:米/秒)的速度作變速直線運動，求該物體從時刻t=0秒至t=5秒間運動的路程是 .

錯解 根據微積分的意義，物體從時刻t=0秒至t=5秒間運動的路程就是(2t-3)dt=10.

剖析 顯然，這是照搬方法引起的錯誤(因為大部分題目就是這樣解的)，也是對路程意義錯誤理解引起的失誤.其實物體從時刻t=0秒至t=5秒間運動的路程是指直線方程v(t)=2t-3在直線t=0至t=5之間與t軸(橫軸)圍成的面積，而在t軸下方得到的面積是負值——負值并不是路程，所以應分別計算t軸下方面積和t軸上方面積，然后加起來就是所求的路程. 即正確解法是:-(2t-3)dt+(2t-3)dt=14.5.也可直接畫圖計算直線t=0，t=，直線v(t)=2t-3與t軸圍成的面積及直線t=，t=5，直線v(t)=2t-3與t軸圍成的面積，兩者之和就是所求的路程. 這是對概念深刻理解后的選擇.

例10 如圖，某藥店有一架不準確的天平(其兩臂不等)和一個10克的砝碼.一名患者想要20克中藥，售貨員將砝碼放在左盤中，將藥物放在右盤中，待平衡后交給患者;然后又將藥物放在左盤中，將砝碼放在右盤中，待平衡后再交給患者.設患者實際購買藥物為m克，則m 20克(填“>”“<”“=”).

錯解 該題容易看不懂題意，憑感覺“藥店不吃虧”，填“<”.

剖析 這與考綱中考查理性思維是相違背的，也就是說要進行精確的計算才能得出結論.正確解法是:設兩臂長分別為b，a，(b>a)，第一次、第二次稱得的藥物分別為x，y克，則:10b=xa，yb=10a，從而m=x+y=+≥2=20，當且僅當=，即a=b 等號成立 . ∵a≠b ，∴m>20克，故應填“>”.

糾錯方法 克服思維定勢，還是要在深刻理解數學概念上下工夫，區分易混淆的式子和概念，有時還要進行嚴格的推論論證，避免“想當然”引起的錯誤.

六、小題大做引起失誤

數學填空題的解法有兩種境界:一種是小題大做，另一種是小題小做.小題大做就是拿到題目就直接求解，對思路不篩選，僅滿足于見到就會.小題大做的特征有小題繁做，小題難做和小題慢做，有時容易算錯.

例11 五位同學圍成一圈依序循環報數，規定:

①第一位同學首次報出的數為1.第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和;

②若報出的是為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次，當第30個數被報出時，五位同學拍手的總次數為.

錯解 一個一個去算，結果算錯.

剖析 這樣得到的數列這是歷史上著名的數列，叫斐波那契數列.尋找規律是解決問題的根本，否則，費時費力.首先求出這個數列的每一項除以3所得余數的變化規律，再求所求就比較簡單了.

這個數列的變化規律是:從第三個數開始遞增，且是前兩項之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987…分別除以3得余數分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0…由此可見余數的變化規律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環，周期是8. 在這一個周期內第四個數和第八個數都是3的倍數，所以在三個周期內共有6個報出的數是三的倍數，后面6個報出的數中余數是1、1、2、0、2、2，只有一個是3的倍數，故3的倍數總共有7個，也就是說拍手的總次數為7次.

例12 設f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，則f ′(0)=.

錯解 想方設法直接求出f ′(x)，結果一無所獲.

剖析 講方法講策略是解答本題的關鍵. 設g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)，則f(x)=xg(x)，于是f ′(x)=g(x)+xg′(x)，所以f ′(0)=g(0)+0#8226;g′(0)=g(0)=1#8226;2#8226;…n=n!.

例13 已知點A(0，)，B(0，-)，C(4+，0)，其中n為正整數，設Sn表示△ABC外接圓的面積，則Sn= .

通解 先求出外接圓半徑R用n表示，再寫出Sn關于n的表達式，進而求出Sn=4π.當然這個方法也沒有錯，但費時費力.

剖析 我們知道S是隨著n的變化而變化，n的變化是無限的，但此題研究的是n無窮大的時候的情況，此時A→O(原點)，B→O，C→D(4，0)，這樣過△ABC的外接圓即以OD為直徑的圓，面積為4π.

說明 在本題我們用到了無限中的極限思想，快而準地求得結果，把極限思想用到了極致，是小題巧做的范例.

糾錯方法 小題小做要求我們平時在解題時不滿足于見到就會，而是對思路進行篩選，追求會中求簡、會中求巧、會中求美.這就要求我們在填空題的學習中要不懈地追求解法的較高境界，不僅求會，更要求簡、求巧、求美.

七、忽視定理、公式、法則的使用條件致誤

在中學數學中，諸多的公式、法則、定理是在某一約束條件下才成立的，如=a(a≥0)，a0=1(a≠0)，均值不等式取等號是有條件的，等等.如果不注意約束條件，就容易產生錯誤.

例14 已知兩正數x，y 滿足x+y=1，則z=(x+)(y+)的最小值為 .

錯解1 因為對a>0，恒有a+≥2，從而z=(x+)(y+)≥4，所以z的最小值是4.

錯解2 z==(+xy)-2≥2-2=2(-1)，所以z的最小值是2(-1).

錯解剖析 解1等號成立的條件是x=且y=，即x=1且y=1，與x+y=1相矛盾.解2等號成立的條件是=xy，即xy=，與0

正解 z=(x+)(y+)=xy+++=xy++=+xy-2，令t=xy， 則0

糾錯方法 學習中要注意定理、公式、法則的使用條件.

八、數學思想方法運用欠缺引起的失誤

數學思想方法是數學的精髓，缺乏數學思想運用的解題是不完備的.

例15 用1，4，5，x四個數字組成四位數，所有這些四位數中的數字的總和為288，求x.

錯解 不知如何下手，隨便填一個數.

剖析 這是缺乏整體思想造成的結果.整體考慮可迎刃而解，若x不為0，在每一個數位上1，4，5，x，出現的機會是均等的.由于一共可以得到24個四位數，于是得到:6×4×(1+4+5+x)=288，解得x=2.

若x為0，無解.

例16 已知⊙O的方程為x2+y2-2=0，⊙O′的方程為x2+y2-8x+10=0，由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點的軌跡方程是 .

根據當年的抽樣調查，此題文理科得分的差異不大，但得分都比較低(文科0.94分，理科1.2分).不少同學不是亂填一個數，就是不著邊際的答案.其實，對于一些比較困難的填空題，不僅僅是對不對的問題，更多的是會不會的問題，只有會了才有可能對.

解法1 直譯法求軌跡方程.設P(x，y)，則點P向⊙O和⊙O′所引的切線長分別為:|PQ|=x2+y2-2，|PR|=x2+y2-8x+10.則x2+y2-2=x2+y2-8x+10x=，故所求的軌跡方程為x=，故答案填x=.

解法2 任作一⊙O1與⊙O和⊙O′都相交，

比如⊙O1的方程為:x2+y2-4x-4y+4=0，則⊙O1與⊙O的公共弦所在直線l1的方程為:4x+4y-6=0，⊙O1與⊙O′的公共弦所在直線l2的方程為:-4x+4y+6=0.

l1與l2的交點坐標為M(，0)，而動點P的軌跡是過點M，并且垂直于OO′的直線，所以動點P的軌跡方程為x=，故答案填x=.

解法3 等冪軸方程的求法:由x2+y2-2=0和x2+y2-8x+10=0兩邊直接相減得軌跡方程為:8x-12=0，即動點P的軌跡方程為x=，故答案填x=.

糾錯方法 方法和策略也是知識，而且是更重要的知識.要注意運用“整體思維”的策略、“設而不求”的策略、“數形結合”的策略、“合情推理”的策略、“目標意識”的策略、“特殊賦值”的策略、“正難則反”的策略、“有限與無限”的策略等.

九、書寫不規范致誤

對于填空題的解答，有些帶有一定的要求，如結果要求用數字作答，還有些常識也要加以注意，如定義域、值域均應寫成集合或區間形式，計算結果要化簡，如化成最簡分數、分母應有理化等.因此，在審清題意、細心演算的基礎上，作答時應按題目的要求填寫，同時書寫要規范，不能潦草從事.分數最好不要用斜線形式，如最好不要寫成3/8，否則寫得不當，會認為你寫的318，導致丟分.應實現“會而對，對而得分”，避免“會而不對，會而丟分”的遺憾. 李遠哲博士說:“成功的秘訣就是力爭在每一步的每一個小地方做得比別人更好.”這句話對于我們解答數學填空題，無疑是具有指導作用.

當然，引起填空題失誤的原因還有其他，比如忽視構圖的準確性、以偏概全等，但只要注意在平時的解題中揭示“過程”(把小題當大題來規范)，追求解法的較高境界，強化對運算中智力品質的培養，優化思維品質，敢于創新，不斷提高解題能力，并在解題后適當檢驗(回顧檢驗、賦值檢驗、估算檢驗、作圖檢驗、極端檢驗)，就能夠把失誤降到最低.

責任編校 徐國堅