撥迷霧 見青天

我們知道，數學各系統、各分支、各部分之間既有區別又有聯系，既有共性又有個性.就是同一部分的知識之間也是如此. 但同學們解題中往往關注聯系忽視區別，關注共性忽視個性，關注正面忽視反面，關注整體忽視局部，關注類比忽視證明等，常常張冠李戴、真假不分，得到一些錯誤的結論. 下面介紹九種“混同”，要注意防范.

一、“數列中的比例”與“實數中的比例”混同

例1 兩個等差數列{an}與{a′n}的前n項和分別為Sn、S′n，且滿足Sn∶S′n=(5n+13)∶(4n+5)，則a10∶a′10=()

A. 4∶5B. 3∶4C. 5∶4D. 4∶3

錯解 設Sn=(5n+13)k，S′n=(4n+5)k，則an=Sn-Sn-1=5k，a′n=S′n-S′n-1=4k，∴ an∶a′n=5∶4，于是a10∶a′10=5∶4，故選C.

評析與略解 由Sn∶S′n=(5n+13)∶(4n+5)可知，比值=隨著項數n的變化而變化，不能設為常數k. 這里將其與實數中的比例==k(常數)混同致錯. 正確的解法可以是:設Sn=(5n+13)nk，S′n=(4n+5)nk，則an=Sn-Sn-1=(10n+8)k，a′n=S′n-S′n-1=(8n+1)k，∴ an∶a′n=(10n+8)∶(8n+1)，其中n≥2. 于是a10∶a′10=(10×10+8)∶(8×10+1)4∶3，故選D.

二、“向量運算”與“實數運算”混同

例2 已知，為非零不共線向量，t為實數，設=+t，當||取最小值時，求證: ⊥(+t).

錯解 =||2= (+t)2=2+2#8226;t+2t2=2(t+)2……①

∵ 2>0，∴當t=-時，||取到最小值.

∴ #8226;(+t)=#8226;(-)=#8226;-#8226;=0…………②

故⊥(+t).

評析與略解 表面上看證明簡捷明了，實際上有多種錯誤.解題中將“向量運算”與“實數運算”混同，誤認為“若#8226;=#8226;，則=”成立和“”有意義.其實，實數運算中消去律成立且除法(b≠0)有意義，但對于向量消去律不成立且向量沒有定義除法運算(即沒有意義).大家將向量視為實數a，錯誤套用實數的性質. 向量與實數是兩個不同的系統，實數的運算性質不一定都適合向量，除“由#8226;=#8226;(≠)不能推出=”外，還有“由#8226;=0不能推出=或=”“(#8226;)#8226;≠#8226;(#8226;)”“|#8226;|≠|#8226;|)”等等，解題中要引起注意，防止錯用. 本題正確的解法是:

=||2= (+t)2=+2#8226;t+t2=2(t2+2t+)=(t+2)2+2-

當t=-時，取最小值2-≠0，此時，#8226;(+t)=#8226;(-)=#8226;-=0，故⊥(+t).

三、“數列的單調性”與“函數的單調性” 混同

例3 已知數列{an}中，an=n2-kn(n∈N*)且{an}單調遞增，則實數k的取值范圍是()

A. (-∞，2] B.(-∞，3)

C.(-∞，2)D.(-∞，3]

錯解 由于二次函數f(x)=x2-kx在區間[，+∞)上單調遞增，在(-∞，]上單調遞減，因此要使數列an=n2-kn(n∈N*)在[1，+∞)上單調遞增，只要1≥，k≤2，故選答案A.

評析與略解 這里將“數列的單調性”與“函數的單調性”混同.當[1，+∞)[，+∞)時，固然有數列在an=n2-kn在[1，+∞)上單調遞增，但如果a1，a2在對稱軸的兩旁且a1

四、“函數的極值點”與“導數的零點”混同

例4 已知函數f(x)=ax2+2ln(1-x).是否存在實數a，使得f(x)在x=處取極值?證明你的結論.

錯解 f ′(x)=2ax-.令f()=a-4=0)，解得a=4，故存在實數a=4使得f(x)在x=處有極值.

評析與略解 這里將“函數的極值點”與“導數的零點”混同.顯然，當a=4時，f ′(x)=8x+=.因為當x<，f ′(x)<0;當

五、“直線的夾角”與“向量的夾角”混同

例5 如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=AD，求異面直線FB與DE所成角的大小.

錯解 如圖，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點.設AB=1，依題意得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，則=(1，0，-1)，=(0，-1，1).

于是cos<，>==-，<，>=120°，

故異面直線FB與DE所成的角的大小為120°.

評析與略解 這里將“直線的夾角”與“向量的夾角”混同.盡管向量，的夾角是120°，但直線FB與DE的夾角應該是60°. 其實，空間兩直線的夾角規定其取值范圍是0，，而空間兩向量的夾角是同一起點的兩條有向線段的夾角，它的取值范圍是0，，兩者有區別. 求空間線線角往往運用向量法，即先求出兩條線上的兩條向量的夾角，再確定線線角，它們的關系是相等或互補.解題中大家往往誤認為兩者相等致錯.

六、“過一點的切線”與“以一點為切點的切線”混同

例6 求經過點A(2，-2)的曲線y=x3-4x2+5x-4的切線方程.

錯解 顯然點A(2，-2)在曲線上. 因為y′=3x2-8x+5，所以y′|x=2=3×4-8×2+5=1，故過點A(2，-2)的曲線的切線方程是y+2=1#8226;(x-2)，即x-y-4=0.

評析與略解 f ′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(x0， f (x0))處的切線斜率，其切線方程可以表示為y-f (x0)，其條件是是曲線上的點(切點). 本題錯在將經過點A(2，-2)的曲線的切線當作以該點為切點的曲線的切線，這兩者是有區別的.“過一點的切線”中的“點”可以在曲線上或不在曲線上，但“以一點為切點的切線” 中的“點”必須在曲線上，前者包含后者.不少同學解此題時常常當作問題“求曲線y=x3-4x2+5x-4上以點A(2，-2)為切點的切線方程”求解，只求出以點A(2，-2)為切點的切線x-y-4=0，而漏掉另一條經過A(2，-2)且與曲線切于點(1，-2)的切線y+2=0. 本題的正確解法如下:設經過點A(2，-2)的直線l切曲線于點P(x0，y0)，則y0=x03-4x02+5x0-4.由導數的幾何意義，得直線l的方程是y-(x03-4x02+5x0-4)=(3x03-8x0+5)(x-x0)(*). 將點A的坐標(2，-2)代入(*)式，得-2-(x03-4x02+5x0-4)=(3x03-8x0+5)(2-x0)，解得x0=1或x0=2.將它們分別代回(*)式得，y+2=0和x-y-4=0.故經過點A(2，-2)的曲線y=x3-4x2+5x-4的切線有兩條，其方程為y+2=0和x-y-4=0.

七、“向量夾角大小的判定” 與“三角形內角大小的判定”混同

例7 已知||=1，||=2，與的夾角為120°，求使+k與k+的夾角為銳角的實數k的取值范圍.

錯解 (+k)(k+)=k+(k2+1)#8226;+k

=k+(k2+1)×1×2×cos120°+4k=-k2+5k-1.

由題意得，-k2+5k-1>0，∴

評析與略解 我們知道，在△ABC中，若設=，=，∠ACB=，則 ①θ為銳角#8226;>0;②θ為直角#8226;=0;③θ為鈍角#8226;<0. 這里視(+k)和(k+)為三角形的邊向量，由(+k)(k+)>0確定k的取值范圍，將“向量夾角判定的充要條件”混同于“三角形內角大小判定的充要條件”而致錯.其實，+k與k+同向時，仍有(+k)(k+)>0，此時，設+k=λ(k+)(λ>0)，顯然、不共線. ∴λk=1，k=λ，∴k=λ=±1， 取k=λ=1. 因此本題的正確答案應該是

八、“函數在兩個不同區間遞增(或遞減)”與“函數在兩個區間的并集上遞增(或遞減)”混同

例8 已知f(x)=(2-a)x+1，x<1ax，x≥1是(-∞，+∞)上的增函數，那么a的取值范圍是()

A. (1，+∞)B. [，2)C. (1，]D. (1，2)

錯解 因為f(x)在(-∞，+∞)上是增函數，所以f(x)在(-∞，1)和[1，+∞)上是增函數，于是2-a>0且a>11

評析與略解 這里將“函數在兩個不同區間遞增”與“函數在兩個區間并集上遞增”混同，當作一回事. 其實，函數的單調性是函數的局部性質，而不是整體性質. 函數在某個區間遞增(或遞減)，那么函數在這個區間的任何子區間上也遞增(或遞減)，但反之不然，即函數在兩個不同區間遞增(或遞減)，那么在這兩個區間的并集上不一定遞增(或遞減).一個鮮明的例子就是:函數f(x)=-在(-∞，0)和(0，+∞)上遞增，但在(-∞，0)∪(0，+∞)上不遞增，如1>-1，但f(1)0且a>1”外，還應該保證一次函數在(-∞，1]上的最大值不大于指數函數在[1，+∞)上的最小值，即取2-a+1≤a與1

九、“函數單調的導數式充分條件”與“函數單調的導數式充要條件” 混同

例9 已知f(x)=ax-x3在R上是減函數，求實數a的取值范圍.

錯解 f ′(x)=a-3x2. ∵f(x)在R上是減函數，∴f ′(x)<0，即a-3x2<0在x∈R上恒成立，∴ a<3x2，a<(3x2)min.而3x2在R上的最小值為0，因此a<0

評析與略解 本題錯在將f ′(x)<0視為f(x)=ax-x3在R上是減函數的充要條件，將“函數單調的導數式充分條件f ′(x)<0”與“函數單調的導數式充要條件”混同. 其實，當a=0時，f(x)=-x3，顯然在R上是減函數，滿足題意. 因此本題中的f ′(x)<0只是f(x)在R上是減函數的充分條件，利用這個充分條件求a的范圍就漏掉了a=0這個解，這是利用導函數的符號確定函數單調性問題的一個陷阱. 事實上，可導函數f(x)在(a，b)上單增(或單減)的充要條件是:對于任意x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)，且f ′(x)在(a，b)的任意子區間上都不恒為零. 在高中階段，主要出現的是有一個或有限多個使f ′(x)=0的點x的情況. 因此，本題應由f ′(x)≤0，即由不等式a-3x2≤0在x∈R上恒成立來求實數a的取值范圍，a≤(3x2)min=0，故正確答案是a≤0.

以上九種情形都是一些有代表性的易混點、易錯點. 后期復習階段，重溫這些問題很有必要，這能幫助同學們澄清概念、查漏補缺、跳出陷阱，正所謂“撥開迷霧見青天”，這樣便可以減少高考中的錯誤，提高答題的正確率.

責任編校徐國堅