探尋常規題成為高考題的命題規律

在近幾年高考中，有許多高考試題都是由常規題改變而來的，可以說，這種命題方式已成為高考命題的一道亮麗風景.下面，我們就談談四個規律.希望通過這四個命題規律的分析能有助我們合理地利用好每一道常規題，從而使常規題發揮應有的作用，提高高考復習的有效性.

一、將常規問題一般化

在函數的學習與復習中，我們都會做到這樣一個問題1:對定義在R上的函數 f(x)，若滿足對任意x1，x2∈R有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)，則 f(x)是奇函數.

解析 令x1= x2=0，則 f(0+0)= f(0)+ f(0)，所以 f(0)=0;令x1=x，x2=-x，則 f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0，故 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)是奇函數.

2008年重慶高考題:若定義在R上的函數 f(x)滿足:對任意x1，x2∈R有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)+1，則下列說法一定正確的是()

A. f(x)為奇函數B. f(x)為偶函數

C. f(x)+1為奇函數D. f(x)+1為偶函數

重慶高考題實際就是問題1的一般化，因為若對任意x1，x2∈R有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)+c(c為常數)成立，則 f(x)+c為奇函數. 因為 f(x1+x2)+c=f(x1)+c+ f(x2)+c，若將 f(x)+c看成g(x)，則式子成為g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)，由問題1知g(x)是奇函數，故 f(x)+c是奇函數. 重慶高考題就是取c=1的一種情況，因此易知 f(x)+1為奇函數.

二、將常規問題動態化

(問題2)人教A版數學2第4.2.1節《直線與圓的位置關系》中例2:已知過點M(-3，-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為4，求直線l的方程.

具體解法見教材.我們知道所求得的兩條直線AC、BD是互相垂直的，因此相交弦AC、BD圍成的四邊形ABCD面積S=×4×4=40. 那么，如果我們將這兩條直線AC、BD動態化，即讓它們繞著M點旋轉，則四邊形ABCD面積有怎樣的變化呢?

解析 本題的解法比較多，但三角法是一種不錯的選擇.如圖1，P、Q分別為弦BD、AC的中點，設∠DMN=，因為|MN|==，所以|PN|=sin，|QN|=cos，則|PD|=，|QC|=，所以四邊形ABCD面積為S=×2×2=2=2，因為sin22∈[0，1]，故10≤S≤40，則四邊形ABCD面積的范圍是[10，40].且當=0時，四邊形ABCD的面積最小，此時D、M、N三點共線，所以BD是最長弦，則AC就是最短弦，由此，我們可以命制2008年山東卷高考題:“已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設該圓過點(3，5 )的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD面積的為()A. 10 B. 20C. 30 D. 40”;當=時，四邊形ABCD的面積最大，由此，我們可以命制2009年全國卷2高考題:“已知AC、BD為圓x2+y2=4的兩條互相垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD面積的最大值為_________.”

類似問題2的解法可得山東高考答案為B，全國2答案為5.

(問題3)又如立體幾何中的一個老題:如圖2所示，△ABC一邊BC在平面內，頂點A在平面外，已知∠ABC=，△ABC所在平面與平面所成的二面角為，直線AB與平面所成的角為，則sin=________________.

解析 如圖2，作AD⊥，AE⊥BC，連BD、DE，則易知DE⊥BC，所以∠ABD=，∠AED=，設AD=h，則AE=2h，AB==2h#8226;=，所以sin==h#8226;=.

在上述問題中，如果我們保持△ABC一邊AB不動，讓點C在平面內運動，并且使△ABC的面積保持不變，則可以探究點的C軌跡，這樣就得到了2008年浙江卷高考題:“如圖3，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是()A. 圓B. 橢圓C. 一條直線D. 兩條平行直線”.

解析 因為△ABP的面積為定值，所以點P的軌跡是以直線AB為軸的圓柱面，該圓柱面被平面所截得的截面當然是橢圓.前面是一種定性的解法，下面用空間坐標法再給出一個定量的解法:如圖3建立空間直角坐標系(其中y軸是AB在平面上的射影)，不妨設△ABP的面積為S，AB=，AB與平面所成的角為，則B(0，cos，sin)，設P(x，y，0)，則可以求得P到AB的距離為，故S=，整理得x2+sin2#8226;y2=，因為S、、為常數，所以P的軌跡表示橢圓.

又如，在問題3中，如果我們仍保持△ABC一邊AB不動，讓點C在平面內運動，但使AB⊥AC保持不變，則點C的軌跡又會是什么，于是可得問題:“平面的斜線AB交于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交于點C，則動點C的軌跡是() A. 一條直線B. 一個圓 C. 一個橢圓 D. 雙曲線的一支”.

解析 動直線l形成一個平面，所以點C既在平面上又在平面上，則點C的軌跡是平面與平面的交線，即為一條直線.

當然我們還可以保持BC不動，讓點A在空間運動，但使得△ABC的面積為定值，則可探究動點A的軌跡是什么.

三、將常規問題隱性化

(問題4)人教版A必修2習題4.1A組3:已知點M與兩個定點O(0，0)，A(3，0)，的距離的比為，求點M的軌跡方程. 2006年四川高考題:已知兩定點A(-2，0)，B(1，0)，如果動點P滿足條件|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )A.B. 4 C. 8 D. 9.四川高考題是必修2習題的繼承(距離比)與發展(求面積)，如果我們將上述兩題中的坐標隱性化，即去掉平面直角坐標系，則可以命制如2008年江蘇卷高考題:“若AB=2，AC=BC，則S△ABC的最大值是__________.”

如果不能洞察前述關系，則一般都是用余弦定理做的:設BC=x，則AC=x，由余弦定理得cosC==，則由同角三角基本關系式可得sinC=，由正弦面積公式得S△ABC=xxsinC==，當x2=12，即x=2時，(S△ABC)max =2.

解題過程雖不算長，但用這種解法做定能深刻體會到其中的“計算滋味”，并且就算最后能準確的做出答案，也需要付出相當的考試時間，從而會影響后續考題的解答.明白了命題規律后就能比較簡單的解決:即將點C的軌跡用AC=BC來表示，亦即如圖4，若以AB中點O為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A(-1，0)，B (1，0)，等式AC=BC的意義為點C到定點A的距離是到定點B的距離的倍，所以(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，整理得(x-3)2+y2=8，則江蘇高考題的實質為:已知A(-1，0)，B(1，0)，C是圓(x-3)2+y2=8上任意一點，則面積的最大值是__________.當然在點C離x軸最遠時取到.

又如，在三角兩角和差公式中，通過角度的和、差變換求角或三角函數值是該部分內容的一種典型考題，在復習該內容時經常會做到類似這樣的常規題(問題5):已知，∈(0，)，且cos=，cos=，求tan(+)和+2的值.

如果將題中銳角，的余弦值隱蔽起來，就可以命制如2008年江蘇高考題的試題:“如圖5，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為，，求tan(+)和+2的值.”

解析 因為cos=，cos=，且，是兩個銳角，所以sin=，sin=，故tan==7，tan==，所以tan(+)===-3;tan(+2)===-1，又因為0°<+2<270°，所以+2=135°.

當然我們還可以采用以下的隱蔽方式:

已知銳角，的余弦值分別為向量=(1，1)模的，向量=(2，1)模的，求tan(+)和+2的值.

已知向量=(cos，1)，=(cos，1)，其中，為銳角，若||2=，||2=，求tan(+)和+2的值.

已知角，分別為直線7x-y=0、x-2y=0的傾斜角，求tan(+)和+2的值.

......

再如，問題6:已知函數 f(x)=，x∈[0，1]，設≥1，函數 g(x)=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得 g(x0)= f(x1)成立，求a的取值范圍.

解析 條件“對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g(x0)= f(x1)成立”等價于函數 f(x)的值域是函數g(x)的值域的子集.

如果將問題6中的兩個函數合并成一個函數，例如可以是分段函數的形式，則可以命制如2009年浙江卷高考題第(II)問的試題:“已知函數 f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R.(I)設函數 P(x)= f(x)+g(x).若P(x)在區間(0，3)上不單調，求k的取值范圍;(II)設函數q(x) =g(x)，x≥0 f(x)，x<0是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2(x2≠x1)，使得q′(x2)=q′(x1)成立?若存在，求k的值;若不存在，請說明理由.”

解析 因為q′(x)=g′(x)，x≥0 f′(x)，x<0所以條件“對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2(x2≠x1)，使得q′(x2)=q′(x1)成立”等價于“g′(x)的值域是 f′(x)的值域的子集，f′(x)的值域是g′(x)的值域的子集”，即g′(x)的值域等于 f′(x)的值域.

四、將常規問題考點化

(問題7)人教A版選修1-1第2.3.2節《拋物線的簡單幾何性質》例4:斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長.

這是一道教材中十分普通的常規題，但其包括的考點卻非常多，例如，可以求A、B兩點與焦點的距離比，實際上就是考查教材例4右邊的旁白:“?試一試，用這種方法求=|AB|.”，可以命制如2008年全國II卷高考題:“已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F且斜率為1的直線交C于A、B兩點.設|FA|>|FB|，則|FA|與|FB|的比值等于__________.”從另外的考點還有高考題:

2009年福建卷高考題:過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則p=____________.

2008年全國II文科:已知F是拋物線C:y2=4x的焦點，A、B是C上的兩個點，線段AB的中點為M(2，2)，則△ABF的面積等于____________.

2008年寧夏卷高考題:已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q(2，-1)的距離與點P到焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為()A. (，-1)B. (，1)C. (1，2) D. (1，-2).

2008年上海卷高考題:若直線ax-y+1=0經過拋物線y2=4x的焦點，則實數a=__________.

2006年四川卷高考題:直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為( )A. 48B. 56C. 64D. 72.

就問題7未曾考過的考點，我們認為還可以有如下考題:

拋物線y2=4x的焦點坐標為____________，準線方程為___________，焦點到準線的距離為___________.

斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，則#8226;=________，AB中點坐標為____________.

過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則直線AB的斜率為____________(或傾斜角為____________).

通過以上四點將常規題命制為高考題的規律的探究，啟示我們今后在解題實踐中只要注意對常規題進行全方面的探究，發揮試題應有的價值，就定能得到豐厚的收獲!

責任編校徐國堅