位置關系的證明

解析幾何中的位置關系包括直線與直線平行、垂直、相交問題，過定點問題，直線與圓錐曲線的位置關系問題等.高考中常以證明題的形式出現(xiàn).如2009年湖北卷證明直線與直線垂直、安徽卷證明交點、江西卷證明直線與圓相切、2008年安徽卷證明點在定直線上.此類題綜合性比較強，難度也較大，成為高考中的壓軸題.但認真分析這些題的特點，我們會發(fā)現(xiàn)依然是有路徑可循，方法可依的.

例題:直線AB過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F，并與其相交于A、B兩點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點.過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點.

求證:MN⊥OF.

思路點撥:用解析法證明兩直線垂直時往往可以考慮用斜率或者向量來解決，用斜率時要對斜率存不存在進行討論，而用向量可以避免分類討論.本題是一道綜合性較強的證明題，無論是用斜率還是用向量都要先求出M、F、O、N的坐標.由已知條件，我們易知問題中的三點M、F、O的坐標分別是M(0，-)，F(xiàn)(0，)，O(0，0)，由于點N隨著動點A、B的變化而變化，所以最難求的是N點的坐標. 憑借做題的經(jīng)驗，當遇到直線與圓錐曲線的交點有關的問題時，我們一般會先設出直線AB的方程，由已知可得直線AB的斜率一定存在，所以設直線AB的方程為y=kx+，點A(x1，y1)，點B(x2，y2).然后再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得x2-2pkx-p2=0，由韋達定理得x1+x2=2pk，x1·x2=-p2.很多同學做到這里不知道下一步該做什么，如果注意到N點是拋物線分別過點A、B的兩條切線的交點，而點A、B都在拋物線上，由導數(shù)的幾何意義可知:函數(shù)y=x2在點x=x1處的導數(shù)就是切線NA的斜率， 即kNA=y′|=，且切線又過了點A(x1，y1)，從而求出切線NA的方程是y=x-.同理可求切線NB的方程是，y=x-，再將方程聯(lián)立便可得N點坐標為N(，)，即N(pk，-).進一步得=(pk，0)，=(0，).所以，·=0，由向量垂直的充要條件可得MN⊥OF.

啟示:本題在拋物線、平面向量、導數(shù)的交匯點處設計試題，全面考查直線與圓錐曲線的位置關系，有較強的綜合性.本題難的地方在于動點多，而問題中的點會隨著動點的變化而變化，它們之間的紐帶是兩條切線.在求這兩條切線的時候，我們利用了導數(shù)的幾何意義來求切線的斜率，使得問題得以解決.在解決有關圓錐曲線的切線問題時，常借助導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，這也是近年來高考中常用到的方法，而解決直線平行問題常用向量共線的充要條件，解決直線垂直問題常用向量垂直的充要條件.解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結合，而解析幾何中的位置關系問題更是涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向量、導數(shù)等知識.請同學們注意圓錐曲線的定義在解題中的應用，注意解析幾何所研究的問題背景和平面幾何的一些性質，注意借助向量和導數(shù)這兩個工具，注意運用函數(shù)與方程的思想，做到數(shù)形結合，要在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.

變式: 在上例中若增加一個條件:Q是線段AB的中點，求證:∥.

思路點撥:由已知，Q是線段AB的中點，所以Q(，)，即Q(，).由上例知x1+x2=2pk，x1·x2=-p2，所以Q(pk，).而N(，)，即N(pk，-). 從而，=(0，pk2+p).而且=(0，)，所以NQ=(2k2+2)，由向量共線的充要條件知∥.