淺談數學課堂教學中的研究性學習

課堂教學中研究性學習活動的實施有兩個最顯著的特征:其一是教學內容問題化(即以問題為中心組織教學);其二是教學進程探索化(即強調學生主動探究問題、發現問題和解決問題).基于以上認識并結合自己具體教學實踐，略談己見.

一、開展研究性學習應重視培養學生歸納、類比和化歸的科學思維模式

歸納與類比是合情推理的主要形式之一，它是人們根據自己的經驗、知識、直觀與感覺得出的一種可能性結論的推理，它是合乎情理的猜測與猜想.因此，在數學結論的發現或提出新命題的進程中，我們常常要進行歸納、類比與化歸的教學設計，以培養學生科學的思維模式.

例如，在等差數列前n項和公式推導的教學中，可作如下設計.教師首先提出問題:計算1+2+3+…+100=?根據學生現有的水平，易知:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050.

這是許多學生小學時就知道的高斯求和的故事，接著教師進一步提出問題:上面的計算結果是等差數列1，2，3，…，100，…前100項的和，那么，對于一個一般等差數列{an}，其前n項和Sn=a1+a2+…+an能否用上面的方法求和Sn?

在這樣的啟發下，學生類比以上方法易將問題轉化為:Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…(從特殊到一般)

教師繼續提出問題:(1)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…是否成立?(2)按照上面的匹配方法，可分多少組?如何確定?對于問題(1)，學生易回答其成立，而對問題(2)經過教師的啟發、引導，學生繼續應用由具體到抽象的思考方式可得出:

當n為偶數時:Sn=a1+an2#8226;n;

當n為奇數時，n-1為偶數，Sn=a1+an2#8226;(n-1)+an+12，此時教師繼續提出問題:上述兩種情況能否統一?

這是一個已轉化為學生現有知識水平的問題，學生不難得出結論:Sn=n(a1+an)2(n∈N*).

學生在欣喜品味勝利成果時，教師繼續創設問題情境，提出問題:從上述式子的結構看，它像我們所熟悉的哪個數學公式?學生經過思索回答:很像梯形的面積公式，此時，教師可引導學生類比平面幾何中梯形面積公式進行記憶.最后教師布置任務，將公式Sn=n(a1+an)2分別用a1，公差d及n表示.

這樣的教學過程，既培養了學生動腦、動手的行為習慣，同時也使教師的“教”有效地轉化成了學生的“學”.

二、研究性學習的設計應注重問題的有序性、新穎性和探究性

“問題是數學的心臟”，按照學生數學思維活動的順序性設計教學過程，使學生拾階而上，步步登高，關鍵是能否設計出一個好的問題并構成一系列小問題，通過一系列小問題的不斷解決，最終導致教學任務的完成.例如，在“反函數”的教學過程中，傳統教學方法著眼于學生的接受性學習，片面注重對知識與技能的訓練.這就會出現以灌輸式教學為主，學生單一接受為主的情況，這樣的教學方法留給學生許多思維的盲點與疑慮點:

(1)為什么會想到研究反函數?為什么x=f-1(y)要改成y=f-1(x)?

(2)函數y=f(x)與y=f-1(x)有何區別?函數何時存在反函數?

(3)互為反函數的圖像為何關于y=x對稱?

若運用研究性學習，“反函數”教學過程可作如下設計:先復習函數的定義，從實例中強調進一步研究函數中的一個深層次問題:怎樣從已知的函數中，找出隱藏在它里面的一個新函數.如去某超市買洗潔精，單價3元/升，容積x升，其總價y=3x，若你說出“要買多少元的洗潔精時”，y就成了自變量，x就是y的函數:x=y/3，y∈R*，x∈R*.這樣讓學生體驗找一個隱藏的函數，即反函數的探索活動，加強了學生的過程體驗.而對為什么x=f-1(y)要改寫成y=f-1(x)的問題，也可作這樣的處理:求出y=3x的反函數x=y/3(y∈R*)后，讓學生走上講臺板演，在同一個以橫軸為自變量軸的直角坐標系中畫出互為反函數的兩函數圖像時，學生畫不出來.說明圖像也是函數的另一表達方式，函數圖像的兩個坐標軸是有次序的.而從函數的三要素來看，函數x=y/3(y為自變量y=3x)與是同一個函數.因此，只有把x=f-1(y)改寫為y=f-1(x)，才能在同一坐標系中分別作出函數與其反函數的圖像.至于函數何時存在反函數，也可以通過實例啟發學生探索得到一個函數存在反函數的三個條件.在學生探究問題的過程中，只有通過知識的變式與演化，知識間的橫向、縱向聯系，求解問題中對實質的把握，才會使學生的認識得到升華，從而實現對所學知識的主動構建與掌握，同時也會使教與學的雙邊活動在輕松自如中達到目標.

(責任編輯 金 鈴)