用概率論方法證明數學分析中的一些不等式

概率論是對隨機現象統計規律演繹的研究，隨機現象的普遍性使得概率論具有極其廣泛的應用。不等式的證明是數學中常見的問題，也始終是數學中的難點。本課題主要探討用概率論方法證明數學分析中的一些不等式的問題，從而使得證明過程大大簡化，另外還討論了概率論方法的其他應用，如求數列極限、級數和、廣義積分的問題。

一、基礎理論

設Rn為n維空間，D為Rn內的非空子集。

定義1.1 若連接D內任意兩點x與y的任意線段{αx+(1-α)y/0≤α≤1}都含于D，則稱D為Rn內的凸區域。

定義1.2設實值函數f(x)定義于Rn的凸區域內，若對任意的x，y∈D及λ∈[0，1]，恒有:

≤ (1)

則稱f(x)為D內的凹函數;反之，若將式(1)中的“≤”換為“≥”，則稱f(x)為D內的凸函數。

引理1.1 設函數y=f(x)在某區域內的二階導數f ″(x)>0，則y=f(x)在此區間內是下凸的;若f ″(x)<0，則函數y=f(x)在此區間內是上凸的。

引理1.2 設ξ為隨機變量，若f(x)為連續下凸的函數，則有f(Eξ)≤Ef(ξ);若f(x)為連續的上凸函數，則f(Eξ)≥Ef(ξ)。

引理1.3 (Cauchy-Schwarz不等式)若(ξ，η)是一個二維隨機變量，又Eξ2<∞，Eη2<∞，則有|E(ξη)|2≤Eξ2Eη2。

引理1.4 設ξ為隨機變量，g(x)為一元可測函數，則Eg(x)=g(x)dfξ(x)。特別地，若ξ是連續型隨機變量，其概率密度為f(x)，則Eg(x)=g(x)f(x)dx;若是離散型隨機變量，其分布為，則Eg。

二、若干不等式的證明

例1 求證:設≥，則

≤(2)

證明:建立隨機模型，設隨機變量ξ的分布為P(ξ=ai)

對于至少有一個的情形，式(2)顯然成立;

對于所有的情形，定義函數，顯然f(x)為上凸函數，故由引理1.2，有/nb=E[f(x)]≤，兩邊同時取e為底的指數，即得式(2)。

例2 求證: 若f(x)與g(x)在[a，b]上連續，則

[dx]2≤[dx][dx]

證明:設隨機變量ξ的概率分布F(x)及其概率密度函數P(x)分別為

(3)

則:Ef 2(ξ)dx=dx

dx=dx

Ef(ξ)g(ξ)dx= dx

由引理1.3知，

|Ef(ξ)g(ξ)|2≤

把以上各式代入，得

dx≤dx

即得

[dx]2≤[dx][dx]

例3 設f(x)與g(x)為[a，b]上的正值連續函數，則

{dx}≤dxdx

證明:設隨機變量ξ的概率分布F(x)及其概率密度函數P(x)如式(3)，則

E[f(ξ)+g(ξ)]2dx=dx

Ef 2(ξ)dx=dx

dx=dx

由于f(x)，g(x)是[a，b]上的正值連續函數，所以

E[f(ξ)g(ξ)]≥0

又由引理1.3知，E[f(ξ)g(ξ)]≤

從而

E[f(ξ)+g(ξ)]=Ef 2(ξ)+Eg 2(ξ)=2Ef(ξ)+g(ξ)≤[Ef 2(ξ)][Eg 2(x)]

將各相應值代入，即證得三角不等式成立。

例4 求證:若φ(x)為區間[a，b]上的下凸函數，則對 中任意一組值x1，x2……xn有φ≤[]/n。

證明:對任意給定的實數x1，x2……xn構造一離散型隨機變量ξ，其分布為P(ξ=ai)

由引理1.4得

φ(Eξ)=φφ[]

Eφ(ξ)=φ[φ]/n

又由引理1.2得

φ[]≤[φ]/n

特別地，當φ(下凸函數)時，有

≤

例5求證:若f(x)，P(x)均在[a，b]上可積，且≤≤則當φ為[a，b]上的下凸函數時，

φ≤。

證明:構造一連續型隨機變量ξ，其密度函數為

令η=f(ξ)，由引理1.4知，

E(η)=

E[φ(η)]φdx

=φ=

再由引理1.2知，當(x)為[a，b]上的下凸函數時，有

φ≤

世界上任何事物都存在著作用與反作用，數學這門學科也不例外.初等代數、數學分析等是概率論這門學科的基礎;反之，概率論又反作用于數學分析、初等代數等。下面把概率論方法推廣到數列求極限、級數求和、廣義積分求值中。

三、數列求極限

數學分析中的數列極限問題的證明和計算有的比較繁瑣，若用概率論的方法去解決，可達到事半功倍的效果。

例6 求。

解:構造隨機變量ξ服從λ=5的泊松分布，即

ξ

則

所以

由級數收斂的必要性可知，

實際上，形如的極限均可構造λ的泊松分布來求值，在利用級數收斂的必要性去判斷即可。

四、級數求和

例7 求。

解:構造隨機變量ξ服從的幾何分布即

ξ

則:Eξ2=(Eξ2)+Dξ=9+6=15

另有Eξ2=

所以

五、求廣義積分

大多數情況下，廣義積分被積函數的原函數不能用初等函數表示，因而直接進行積分運算比較困難，而用標準正態分布的有關理論則顯得簡潔明快。

由標準正態分布，有dx

例8 求dx。

解:dxdx==

用概率論的方法證明不等式，關鍵在于構造概率分布函數、密度函數。本文中只涉及一維連續型隨機變量的積分不等式證明，如果構造適當的二維連續型隨機變量，可以用概率論方法證明許多與二重積分相關的不等式。另外，對于一些凸函數有關的復雜不等式的證明，構造合理適當的隨機模型，證明過程會變得簡潔易懂。我們可以看到，用概率論方法解決數學分析中的一些問題確實存在很大的優越性。

(作者單位:廣東省中山市技師學院)