旱地生態(tài)學(xué)問題弱解的估計

吳軍優(yōu)，李若霞，臧 慧，王艷明

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)系，河南 駐馬店 463000）

在旱地生態(tài)學(xué)問題的研究中，生態(tài)學(xué)家在［1］中提出了如下微分方程的生態(tài)學(xué)模型：

Ω奐R2，Ω為具有光滑邊界的區(qū)域，β，γ，σ，μ，δ，ρ，p均為正常數(shù)，n表示植物量密度，w表示地下水的密度，源項p表示降雨量。通過對該模型建立解的正則性估計，能夠使生態(tài)學(xué)家給沙漠化現(xiàn)象以理論解釋。這里我們對n，w在x，y方向分別提周期邊界條件。

下面用Ci（i=1～23）表示各種不同的正常數(shù)

定理：（弱解的正則性）設(shè)n0，w0∈H2（Ω）則對系統(tǒng)（1.1）-（1.3）的非負(fù)弱解有：

其中C1，C2是僅與β，γ，σ，μ，δ，ρ，p，T及初值有關(guān)的常數(shù)。

證明：對方程（1.1）運(yùn)用極值原理及能量方法有：

對方程（1.2）運(yùn)用能量方法及Gronwall不等式有：

對方程（1.1）關(guān)于t求導(dǎo)并運(yùn)用能量方法有：

對（1.2）關(guān)于t求導(dǎo)并運(yùn)用能量方法及Sobolev不等式有：

由（4）、（5）兩式Gronwall不等式得：

由方程（1.1）（1.2）得：

由Stokes方程正則性結(jié)果得：

定理即證。

［1］J.von Hardenberg，E.Meron，M.Shachak，etc.，Diversity of Vegetation Patterns and Desertification［J］.Physical Review letters，2001，87（19）.

［2］R.lefever，O.lejeune，P.couteron，In mathematical models for biological pattern［J］.IMA，2000，121（2）：83～112.