平行光路方向運(yùn)動的光柵多普勒效應(yīng)及其在測微小位移中的應(yīng)用

張 萌,焦文苑,於菪珉,潘永華,高惠濱,丁劍平

(南京大學(xué) 物理系,江蘇南京 210093)

1 引 言

激光雙光柵法測微小位移實驗是面向本科生開設(shè)的大學(xué)物理實驗[1],該實驗利用運(yùn)動光柵的多普勒效應(yīng)產(chǎn)生頻移光,與經(jīng)過另一片靜止光柵的非頻移光平行疊加,形成光拍來精確測定微弱振動的位移[2-3].運(yùn)動光柵沿著圖1中 y方向運(yùn)動(沿垂直光路方向運(yùn)動,簡稱垂直運(yùn)動).

圖1 光柵運(yùn)動示意圖

如果運(yùn)動光柵沿圖1中 x方向,即沿平行光路的方向運(yùn)動(以下簡稱平行運(yùn)動),激光束經(jīng)過后會產(chǎn)生一種新的多普勒頻移現(xiàn)象.本文推導(dǎo)了該現(xiàn)象的產(chǎn)生原理和此情況下測量微弱振動位移的計算公式,并通過實驗對其正確性進(jìn)行了驗證.

2 原 理

2.1 平行運(yùn)動光柵的光多普勒效應(yīng)

下面利用波陣面分析平行運(yùn)動光柵產(chǎn)生光的多普勒頻移的原理.如圖2所示,考慮一正弦相位光柵,光柵在y方向折射率不同導(dǎo)致光波經(jīng)過后沿y方向有不同的相位落后[4].對應(yīng)于光柵的同一位置,其相位落后是相同的.不失一般性,設(shè)t=0時刻有一頻率為ω0,相位φ=0的平面波從光柵左側(cè)正入射,經(jīng)調(diào)制后變?yōu)檎倚偷某錾洳嚸?.A點處光波的相位調(diào)制為φ0.由于光柵并不改變?nèi)肷涔獾臅r間頻率,t=0時刻從A點沿與波陣面垂直方向發(fā)出一頻率為ω0的光波.經(jīng)過時間 t,光柵向前移動了 l=vt的距離,此時垂直入射光柵的平面波相位為經(jīng)過光柵調(diào)制變?yōu)槌錾洳嚸?,并在B處發(fā)出一相位為的光波.此時從A點發(fā)出的光波已向前傳播了時間t,即此時A點的相位落后初始相位ω0t,則 A點相位變?yōu)棣誂=ω0t+φ0.考慮到 C與B同時到達(dá)屏,故有 A和B發(fā)出的衍射光波相位差為:Δφ=φC-φB.另有

圖2 光波相位變化

所以

其中

則衍射光波可表示為

即水平運(yùn)動的相位光柵產(chǎn)生的衍射光相對原來靜止的相位光柵有ωd的頻移.

當(dāng)(1)式中θ滿足光柵方程 d sinθ=nλ時,衍射極大.其中 d為光柵常量,θ為衍射角,n為衍射級次,λ為光波波長.即在特定的θ角方向上可以得到頻移后的光波信號,頻移量由(1)式和光柵方程決定.

再進(jìn)一步分析,當(dāng) v沿 x軸正向時,+n和-n級的衍射光的頻移均相同,為cosθ)v≥0,這是因為所有級次的衍射光的方向均順著運(yùn)動方向,造成光頻增加.顯然,當(dāng) v沿 x軸負(fù)向時,由于所有級次的衍射光的方向均逆著運(yùn)動方向,所以所有級次的衍射光光頻均減小.因此從本質(zhì)上講,這屬于光的多普勒效應(yīng)[4].

2.2 光拍的獲得及微弱振動位移量的檢測

本實驗中,為了在光頻中檢測出多普勒頻移量,使經(jīng)過運(yùn)動光柵的有頻移的光再經(jīng)過一靜止的光柵,如圖3所示.由于通過雙光柵后出射的衍射光包含了不同頻率而又平行的光束,它們平行疊加就形成拍,如圖4所示.此時光電檢測器檢測到光拍信號,其頻率為[1]

圖3 雙光柵形成光拍

圖4 實驗所得光拍信號波形圖

其中λ為He-Ne激光波長,v為光柵振動的瞬時速度,θ為衍射角.

由于 f拍與光頻率無關(guān),當(dāng)光柵密度為常數(shù)時,某一確定級次的光的拍頻 f拍只正比于光柵運(yùn)動速度v.若把光柵粘在周期運(yùn)動的音叉上,則v是周期性變化的,所以 f拍也隨時間周期性變化,微弱振動的位移振幅為

3 實驗裝置及實驗內(nèi)容

3.1 實驗裝置

運(yùn)動光柵平行運(yùn)動測量微小位移的實驗裝置示意圖如圖5所示,將運(yùn)動光柵貼在音叉的一條臂上,音頻信號發(fā)生器通過一耳機(jī)驅(qū)動音叉產(chǎn)生微小振動,從而帶動運(yùn)動光柵平行振動.將靜止光柵固定在運(yùn)動光柵前.激光分別通過兩光柵后形成光拍,用硅光電池接收,并在示波器上顯示光拍信號的波形.同時,另一耳機(jī)貼近音叉放置,作為接收耳機(jī),直接接收音叉振動信號,并轉(zhuǎn)換成電信號,輸入示波器顯示波形用于比較,示波器中顯示的電壓信號的振幅正比于音叉振動的振幅.

圖5 實驗裝置示意圖

3.2 實驗內(nèi)容

實驗中采用光柵常量為200 mm-1的光柵,測得音叉的共振頻率為346.76 Hz.在音叉共振頻率附近改變驅(qū)動音叉振動的頻率,測得音叉在不同振動頻率下,運(yùn)動光柵運(yùn)動時的半個周期內(nèi)的波形數(shù)N和接收音叉振動信號的耳機(jī)輸出的電壓信號的振幅U.

由半個周期內(nèi)的波形數(shù) N,根據(jù)(3)式可計算出音叉振動的位移,即需要測量的微小位移量.

4 實驗結(jié)果及原理驗證

4.1 定性驗證

利用音叉振動的諧振曲線定性地驗證光柵平行運(yùn)動時的光的頻移公式.

圖6(a)為利用雙光柵(平行運(yùn)動)原理測量得到的音叉諧振曲線.圖6(b)為直接利用接收耳機(jī)輸出的電壓信號(正比于音叉振動的振幅)繪制的音叉諧振曲線.

由圖6可知,利用雙光柵(平行運(yùn)動)原理測得的音叉諧振曲線與用耳機(jī)接收到的振動信號描繪的音叉諧振曲線一致.這說明音叉振動的振幅正比于半個周期內(nèi)的波形數(shù),驗證了運(yùn)動光柵平行運(yùn)動時衍射光的頻移正比于光柵運(yùn)動速度.

圖6 音叉的諧振曲線

4.2 定量驗證

進(jìn)一步通過與光柵垂直運(yùn)動時數(shù)據(jù)比較定量地驗證光柵平行運(yùn)動時的光頻移(1)式.

已知當(dāng)粘在音叉上的運(yùn)動光柵垂直運(yùn)動時,音叉振幅的計算公式[1]為

而由(3)式可知運(yùn)動光柵平行運(yùn)動時音叉振幅為

可見,這2種情況下音叉振幅與半個周期內(nèi)的波形數(shù)均呈線性關(guān)系,線性系數(shù)分別為 k1,k2.理論上兩者比值為

在運(yùn)動光柵垂直和水平運(yùn)動測量微小位移過程中,使用的均為光柵常量為200 mm-1的光柵,均為一級衍射角,He-Ne激光的波長為λ=6.328×10-7m.

在實驗中,測量不同頻率下接收耳機(jī)輸出的電壓信號(正比于音叉的振幅)及半個周期內(nèi)的波形數(shù),進(jìn)行線性擬合,得到斜率,即為比例系數(shù).在運(yùn)動光柵垂直運(yùn)動和水平運(yùn)動時分別進(jìn)行上述測量得到2條直線,如圖7所示.由實驗測得它們的斜率的比值為0.060.實驗值與理論值的偏差為4.8%,驗證了(1)式.

圖7 音叉輸出電壓的振幅和 T/2內(nèi)的波形數(shù)的關(guān)系

5 原理的拓展

其實不僅僅當(dāng)激光經(jīng)過垂直或水平運(yùn)動的光柵上會產(chǎn)生頻移,當(dāng)光柵的運(yùn)動速度與光柵平面法向有任意夾角α?xí)r,衍射光相對于入射光均會產(chǎn)生頻移現(xiàn)象.

如圖8所示,當(dāng)光柵的速度和光柵平面的法向有α的夾角時,對應(yīng)于同一級次的衍射光,在波陣面上發(fā)出的點有v t的位移,造成的相位差為將α=90°代入(6)式,得 :

即運(yùn)動光柵沿垂直方向運(yùn)動時的相位差公式.將α=0°代入(6)式 ,得 :

圖8 原理的拓展

即運(yùn)動光柵沿平行方向運(yùn)動時的相位差公式.

可見,激光垂直入射到運(yùn)動光柵上,當(dāng)運(yùn)動光柵的速度和光柵平面的法向有任意夾角時,均會產(chǎn)生頻移現(xiàn)象,進(jìn)而可以用來測量微小位移量.

6 結(jié)束語

本文驗證了運(yùn)動光柵平行光路運(yùn)動時,衍射光相對于入射光可以產(chǎn)生頻率的變化.從理論上推導(dǎo)了頻移公式,利用這個原理測量了微小位移.通過與運(yùn)動光柵垂直方向運(yùn)動的實驗相比較,驗證了理論的正確性.對此理論還做了進(jìn)一步的拓展,激光垂直入射到運(yùn)動光柵上,當(dāng)運(yùn)動光柵的速度和光柵平面的法向有任意夾角時,均會產(chǎn)生頻移現(xiàn)象,從原理上講是光的多普勒效應(yīng).

[1] 潘元勝,馮璧華,于瑤.大學(xué)物理實驗(第二冊修訂版)[M].南京:南京大學(xué)出版社,2004:159-164.

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