數學教育與學生理性精神的培養

殷堰工

（蘇州市教育科學研究院，江蘇 蘇州 215004）

“數學在人類歷史中的地位絕不亞于語言、藝術和宗教，今天數學正對科學和社會產生著翻天覆地的影響”[1]26。數學不僅促進了科學技術的發展，而且促進了人類的思想解放，提高了人的精神水平。美國數學家克萊因曾指出：數學是一種理性的精神，它使人類的思維得以運用到最完善的程度。數學教育對于提高國民的理性精神具有獨特作用。

一、理性精神是數學中重要的人文精神

（一）對理性精神的解讀

理性精神主要是指依靠思維能力對感性材料進行抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理的理性認識活動并用以尋找事物的本質、規律及內部聯系的精神。“每個人都有認識世界的天賦，都可以認識世界；堅持以理性（或理智）或以理性為基礎的思維方法作為判斷真假、是非的標準。這兩個基本點是理性精神的內涵”[2]。其實質是追求真理，實事求是，獨立思考，積極反思，勇于懷疑和批判，不斷創新，堅信科學能引領人類實現自我超越和發展，從必然王國走向自由王國。

（二）數學中的理性精神

算術求解和思辨求解是解決數學問題的兩種基本方法。其中，算術求解是將解決問題的方法歸納成一定的步驟，總結出一套算法并按照一定的程序去求解。盡管在數學求解時有的解題者不一定充分理解某種算法的內在聯系和意義，但運用算法卻能解決問題的事實，增強了人的自信心，使人從中獲得樂趣。然而，現代數學更強調思辨因素，需要人們建立事物之間的內在聯系，達到對事物內在本質的認識和解決問題的目的，所采用的數學化方法是一種具有普適性的思想方法，表現在用數學方法將實際材料組織起來，充滿了思辨的色彩，更新了數學的方式，拓展了數學的認知領域，成為科學思想方法范例，從而使數學的理性精神得到凸顯。

“數學的發展歷史表明,一個國家的繁榮與數學的發達程度具有較強的相關性”[3]。“在廣泛的科學應用領域，誕生了許多應用公理化理論體系的論著，數學的觸角已伸向包括社會科學在內的各個領域”[4]。在數學學科里，為求高次方程的解，創造了矩陣；為解決三大幾何作圖難題，創立了圓錐曲線理論。這些對數學理性精神的追求，既滿足了人類探求未知的心理需求，更使數學學科不斷向前邁進。即便是對某一個數學問題的解決過程，也需要解題者長時間的冷靜思考與嘗試，得到的解題法則乃是理性探索精神的產物，理性探索成了數學不變的追求。

二、理性精神的培養是數學教育的核心任務

數學為人類精神文明提供了一種獨特的思維方式以及客觀公正、實事求是的理性精神。“從教育的視角看，數學教育是連接科學教育與人文教育的橋梁。從其人文意義上講，數學教育不僅是一項探索真理的事業，同時還造就一種獨特的人格氣質”[5]。因此，“數學教育的核心任務是發展理性思維、培育理性精神”[6]。

（一）數學課程呼喚理性精神的回歸

1.數學的學科價值體現了理性精神

在數學眾多的價值中，值得關注的是其課程價值。首先，從數學本質來考察，“數學是演算的科學”，其“演”是演繹，需要猜想、想象與嚴謹的概念、邏輯、推理、證明等；“算”是計算或算法，離不開數量、符號、運算等。其次，從2002年高考數學評價報告中首次提出“深化數學理性思維的考查”的建議以來，每年的高考都注重體現對理性思維的考查，強調思維的科學性、嚴謹性、抽象性。這表明，數學學習能夠充分培養學生的理性思維能力，而理性思維能力是形成理性精神的核心。

數學教學是具有濃重思辨形態的數學創造過程的教學。在這個過程中，需要從一大堆雜亂無章的數據中整理規律、挖掘事物的本質，需要提出問題，準確地定義和區分問題，思考問題的全部可能情況及與此相關的信息，從而規劃問題的求解。同時，需要在諸多求解方案中選擇最可能的假設，并對假設進行實驗和檢驗，探求問題結論及問題存在的依據，找到最佳解決方案，并將結論推廣到因素相同的新情況之中。這一過程不僅能培養人的創造性思維，而且能培養人的科學態度和理性精神。此外，理性精神的許多重要元素，如公正性、獨立性、合理性、數量化、標準化等常常體現在數學思想之中。用數學思想本身所承載的理性精神去統帥數學知識與技能的教學，可使數學教學有魂，學生的數學素養生根。

2.數學證明體現了理性精神的教育價值

“數學證明的理性精神的教育價值，只有在學生的探索活動中才能得到整合和發揮。離開了理性探索活動，數學證明的教學就喪失了價值。傳統的證明教學，把證明孤立于探索活動之外，把證明看成一個結果，這不僅不利于知識的學習，而且也無助于理性精神的發展，因此，在教學中應該把證明看成是一個過程，一種活動，看成是探索活動中的一個重要環節”[2]。具體說，重視提出問題、提出猜想、驗證猜想的過程，充分發揮觀察、聯想、類比、歸納、實驗、反思等手段的作用。在此基礎上尋求演繹的證明，并通過嘗試證明的過程，對已有的猜想作出反饋，據此進行合理調控，以達到對證明的準確理解和把握，使理性思維真正得到發展。

3.數學應用是理性精神運用的歸宿

用抽象概括的數學知識來認識現實生活，是一個理性探索的過程。“數學的知識是其思想、精神的載體，數學的應用是多層次的。從表層意義上來講是知識的應用，數學教學以知識的傳授為最基本的要求；從深層意義上來講是思想、精神、方法的運用，反映出深蘊其中的文化價值，影響人們的思維方式、智力發展、審美情趣、倫理道德，這也是數學教育隱性價值的重要體現”[5]。這個隱性價值的功能不僅在于推進數學知識的應用，更重要的是為人類文明傳承著一種獨特的思維方式和理性精神。

（二）數學課程改革需要理性精神

數學課程改革中諸如“基礎與創新”、“標準與多元”等基本問題的認識，都需要我們堅持理性精神。

1.用理性精神正確理解“基礎與創新”的問題

《數學課程標準》明確提出了培養學生創新精神的要求，這需要摒棄過去那種由死記硬背、機械訓練而得到的基礎，其設定的“新基礎”包括了三個層面：一是精神層面的，即“科學精神”與“人文精神”的培養，表現為培養學生追求真理、實事求是的科學精神，自由及自主、獨立思考、反思和懷疑批判的理性精神以及熱愛數學的情感；二是知識與技能層面的，讓學生掌握必備的、有價值的基礎知識和有利于他們終身學習、可持續發展的基本能力和技能；三是行為習慣和方法層面的，培養學生良好的學習習慣以及自主學習的方法。可見，“新基礎”是基于“創新”這個根本的，體現了鮮明的時代特色和理性精神。

2.用理性精神全面理解“標準與多元”的問題

課改倡導多元化理念，如尊重學生的差異性、多樣性及特殊性，滿足不同學生的學習需要等。教師既要根據學生的個體差異尊重他們的選擇，又要根據一定的“標準”加以引導。這種“標準”既要體現某種真理及人類的共識，又要體現教育的規范與導向作用，具有“法則性質”的“課程標準”正是這樣的成果。課改中“標準與多元”的統一，是基于“標準”的，是在“多元”基礎上的標準，“多元”也是有“標準”的多元。課改需要“多元化”，更需要基于規律、真理的標準和規則，這一追求是理性精神的最好體現。

三、數學教育是培養學生理性精神的一種有效手段

（一）數學教育改革為理性精神培養創造了條件

數學教育改革為數學理性精神培養創造了條件，表現在這樣四個方面：一是基于《數學課程標準》的教材的適用性，主要包括重視現代數學在教學中的知識結構；突出數學思想方法[7]，充分展示數學思維的特點；重視對學生情感、態度、價值觀的培養，給學生有意義的學習創造條件；注重自主探索與合作交流，給學生一個創造性的思維發展空間；有利于不同層次的學生學習，體現“人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”的“大眾數學”思想。二是教師角色的轉變，主要為“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者”，教師是教學活動中“平等的首席”的理念。三是數學教學觀念與教學方式的轉變，有聯系地開展數學教育活動，給學生理性思維的展示，并啟發學生數學再創造的思維方法。四是對學生的評價不僅有對嚴謹數學的評價，而且有非形式化數學的評價，把評價學生的思辨能力和創造性思維等納入對學生的評價之中。

（二）培養學生理性精神的教學策略

1.鼓勵質疑問難，培養學生批判性精神

古希臘亞里斯多德說過：“思維自疑問開始。”當學生面對紛繁復雜的現實世界時，能否用質疑的眼光審視？能否有批判的精神去研究？理性精神的培養于數學教學的意義在哪里？這些現實問題都需要我們認真思考，并在教學中不斷加以解決。

比如“劉翔100米欄跑了12秒，推出他跑400米用了48秒”是對還是錯？為什么是錯的？錯在哪里？對這些問題教師必須加以分析和引導。這是生活現象與數學本質不一致造成的；數學是對模式的研究，必須在一定的條件下求解問題。這個例子有助于學生對數學本質的理解和批判性精神的培養。又如“某地今年水稻畝產量1000斤，每年增長10%，20年后畝產量是多少？算出來是6658斤，似乎不可能，為什么？”通過討論、分析，答案是：前提不真導致結論荒謬。該問題的關鍵并不在于求證答案，而是其思維的價值，它反證了糧食的增長不可能是幾何級數，這是思維層面的反證法例子，數學的思辨性在此有了很好的詮釋。

數學教育家張奠宙教授在文獻中提出了關于“對頂角相等”教學的一個生動案例［8］，這是平面幾何開頭的第一個定理，定理本身非常直觀，無人質疑。其實，主題不是“對頂角相等”的知識本身及如何證明，關鍵是：“這樣明顯的命題要不要證明？”中國古代沒有這樣的命題，而且使用“等量減等量其差相等”的公理加以證明。兩相對照，才知道古希臘理性精神的偉大。從“顯然正確而不必證明”到“崇尚理性需要證明”，是一次思想上的飛躍，可以說震撼了許多學生的“靈魂”，可惜的是，現行教材沒有這樣寫，課堂上教師也沒有這樣教。

下面是聽課中發現的學生不迷信權威，大膽質疑的一個案例：

教師的因勢利導：追問“標準答案”的解答過程“錯在哪里”，學生批判性精神的培養得到深化，良好的思維品質得到提升。

2.運用數學史料，引導學生認識理性精神

數學家的理性精神是數學家進行數學研究的靈魂和動力，是數學家的成才軌跡中理性的自覺流露，是數學家認識世界的理智能力的表現。教學中有意識滲透這方面的內容有利于學生認識理性精神。如初一“游戲公平嗎？”的教學，通過“擲硬幣”的游戲，探索“正面朝上”和“反面朝上”的概率。教學活動使學生經歷了“提出問題-進行試驗-分析數據-形成推斷”的理性思考過程，讓部分學生在探究過程中對缺乏求實態度、摻和主觀臆斷的行為進行了反思，介紹了數學家浦豐為求得正確結果無數次實驗的事例，為學生形成科學的態度、認識理性精神起到了積極的引導作用。

數學是在追求真理、追求更加科學合理的解答中不斷發展進步的。如希伯斯推翻老師畢達哥拉斯“萬物皆數”的論斷，用反證法證明了無理數的存在，被反對派扔進大海淹死；羅巴切夫斯基勇敢地打破歐氏幾何唯一的、必然的先驗真理的神話，在不為常人所理解的情況下，創立了非歐幾何。這些勇于懷疑、敢于否定的批判精神，勇于創新、為真理而獻身的無畏精神蘊含著極其豐富的教育價值，是學生認識理性精神的豐富教學資源。

3.強化“論理”環節，訓練學生理性探索精神

著名數學教育家G·波利亞認為，掌握數學意味著除掌握邏輯分析方法外，還必須掌握探索性思維能力。數學教學不能僅限于一些演算規則和解題技巧的教學，其中最本質的還是對學生理性思維方法的培養。下面的案例說明了這一點：

這樣的教學活動，不僅有利于學生形成勇于探索的精神，而且使學生的理性思維探索能力得到了訓練和培養。

教育家加里寧說過：數學是訓練思維的體操。數學學科在發展學生思維尤其是理性思維方面具有特有的優勢，必須高度重視精神與文化層面的數學教學，以充分展示的數學理性光芒來提升學生數學學習的層次，實現理性精神的傳承，為學生的終身發展奠基。

［1］L·A·斯蒂恩.今日數學［M］.馬繼芳，譯.上海：上海科技出版社，1982.

［2］張乃達.數學證明和理性精神——也談數學證明的教學價值［J］.中學數學教與學，2003（6）：4-8.

［3］王光明，王梓坤.數學教育中的理性精神［J］.教育理論與實踐，2006（12）：41-44.

［4］殷堰工.數學，伸向社會科學［J］.中國青年科技，1994（6）：27-28.

［5］曹一鳴.數學教育價值觀的嬗變與重構［J］.教育研究，2005（12）：72-75.

［6］李昌官.讓數學教學閃耀理性的光芒［J］.數學通報，2006（7）：4-7.

［7］殷堰工.數學思想方法及其教學［J］.蘇州職業大學學報，2008（4）：116-118.

［8］張奠宙，柴進.欣賞數學的真善美［J］.中學數學教學參考，2010（1-2）：3-7.