論在不同邏輯系統中的排中律

孫明湘

(中南大學公共管理學院哲學系，湖南 長沙，410083)

一

排中律在傳統邏輯中，與同一律、矛盾律、充足理由律一道被稱為思維的基本準則，也稱形式邏輯的基本規律或元規律。它的含義是，兩個互相對立的思想不能都是假的，其中必有一個是真的。或者說，兩個互相對立的思想，不能都加否定，必須肯定其中一個。“兩個互相對立的思想”是指兩個具有矛盾關系或下反對關系的命題，例如，“所有自然數都是整數”與“有些自然數不是整數”，這是一對矛盾關系的命題；“有些自然數是偶數”與“有些自然數不是偶數”這是一對下反對關系的命題。對于它們這兩對具有矛盾關系和下反對關系的命題，不可能都是假的，每一對命題中必有一個是真的。因此，當我們在具體思維中，不能都加否定，必須肯定其中一個。既是思維的基本準則，自然要求在思維過程中被普遍遵循，不得違反。因而說它是普遍有效的，或者說，無論任何人，只要違反排中律，其思維就是混亂的，不合邏輯的，其邏輯錯誤稱模棱兩可或兩不可。這種普效性也稱直觀普效性。隨著現代經典邏輯的誕生，邏輯規律都被公理化、形式化在一個邏輯系統內，稱為系統內定理，具有系統內的普效性。排中律除作為形式系統要遵循的元規律外，還作為系統內的定理而被形式化，比如在命題邏輯中表現為A∨?A，在一階謂詞邏輯中表現為(?x)(F(x)∨?F(x))，其普遍有效性也在系統內被定義為：該公式是普遍有效的，當且僅當，它在任意解釋下都是真的。排中律公式與系統內其他定理也因此統稱為永真式或普遍有效式。定義中的“在任意解釋下為真”是有確定含義的，即在一階邏輯的語義模型理論中的任意解釋下為真。這個語義理論又是建立在下述基本原則或假定基礎上的：①外延性(與內涵性相對，只考慮命題的外延即真值)；②二值性(與多值性相對，只考慮命題的真假二值，排中律即排除真假二值以外的第三中可能)；③個體域非空性(與空集相對，只考慮客觀存在的個體)；④實無窮性(與潛無窮相對，只考慮封閉的無窮集)。在滿足這四個假定條件下，我們說排中律具有直觀普效性或經典邏輯內的普效性。當取消或修改其中任一假定，經典邏輯則擴張或變異為非經典邏輯，在非經典邏輯的不同系統中，排中律的普效性受到挑戰。

二

以下分別給出非經典邏輯中三值邏輯、內涵邏輯、存在邏輯以及直覺主義邏輯幾個邏輯系統對經典邏輯四假定之一的修正而導致排中律失效的實例。

1.多值邏輯是對經典邏輯二值假定的修改，以三值邏輯為例，它認為：一個命題A，不僅具有真假(t，f)二值，而且還有第三個值(u)(u可解釋為不定、未知、可能等)，排中律的表現形式為A∨～A∨uA(也可表示為A∨?A，其否定詞?，既是對A的否定，也是對uA的否定，它與二值邏輯中的否定詞?具有不同的含義)，它表示一個命題要么是真的，要么是假的，要么是不確定的，例如，“或者火星上有生物，或者火星上沒有生物，或者火星上有無生物是不可判定的”，可用真值表判定[1](371)。A∨～A∨uA不是經典邏輯中的永真式，因而不普遍有效。當我們在三值邏輯(Bochvar三值系統)中重新定義永真式，即一個公式是永真式(或普效式)，當且僅當對其變項的所有賦值，都不使該公式有假值。此時 A∨～A∨uA為三值邏輯中的永真式，我們可稱為排四律，意思是排除 t、f、u以外的第四種可能。由于排中律的效用范圍發生變化，作為排中律在三值邏輯中的表現形式在二值邏輯中失效(不是二值邏輯中的永真式)，而它在三值邏輯中仍然是有效的。一旦我們將第三值u看做是或者取真或者取假的值，A∨～A∨uA立即降為二值邏輯的永真式。由此我們可以有排五律，排六律，甚至排n律，在n≥3的多值邏輯系統內，排中律都在其具體的系統內有其表現形式，因而它在系統內又都是普遍有效的。

2.對于修改外延性假定的邏輯系統，也統稱內涵邏輯，它并未取消外延性假定，而是在外延性假定的基礎上又引入像“必然”、“知道”、“相信”、“允許”、“禁止”等語句算子為邏輯常項，以構造模態邏輯、認知邏輯、道義邏輯等具體的內涵邏輯。由于這類命題引入了內涵性算子，其命題與該命題的否定在結構上比外延性語句復雜的多，因此排中律可能失效。例如，在某個知道邏輯系統中，Kap∨Ka?p(Kap表示為a知道p)可理解為排中律在該系統中的表現形式，但它不是該系統中的定理，即排中律在此系統中無效，因為對某個認知主體a，命題“晨星是暮星”與其否定“晨星不是暮星”，他都不知道。當然，在內涵邏輯中并未完全拋棄外延性假定，因此，僅在外延語境(函項性原則、同一替換規則在其中適用的語境)中，排中律仍然有效。例如，在某知道邏輯系統中，Kap∨?Kap，Pap∨Pa?p(Pap表示在a的知識庫中，p是可能的)與Pap∨?Pap、Kap∨Pa?p等都是該系統中的定理；在模態命題邏輯系統內，排中律表現為 ?□p∨□p，◇?p∨□p，◇p∨?□p，◇p∨□?p等，它們也都是系統內定理。但如果涉及到內涵語境，即函項性原則和同一替換規則不適用的語境，排中律則無效，例如，盡管“晨星”和“暮星”事實上都是指同一顆星——金星，但某人a完全可能不知道金星是晨星(Kap假)，但卻知道金星是暮星(?Kap*假)，因此如果使用同一替換規則就導致了排中律 Kap∨?Kap*(p表示“金星=晨星”，p*表示“金星=暮星”)在內涵語境中失效。

3.如果取消個體域非空的假定，即個體域為空集，則排中律失效。羅素給出的實例是“當今的法國國王是禿子(p)”和“當今的法國國王不是禿子(?p*)”都是假的，因為當今的法國根本就沒有國王。但他認為這一排中律失效的疑難是可以化解的。他在他的摹狀詞理論或存在邏輯[2](34-40)中論述道：“當今的法國國王不是禿子(?p*)”是對“當今的法國國王是禿子(p)”的錯誤否定，而正確的否定應該是“并非當今的法國國王是禿子(?p)”，它等值于這樣一個命題：“或者當今的法國國王不存在，或者當今的法國國王不只一個，或者當今的法國國王不是禿子”，在這種情況下，排中律并不失效，因為“當今的法國國王是禿子(p)”與“并非當今的法國國王是禿子(?p)”，這兩個命題不能都假，當p假時，?p一定真。

4.真正對排中律構成挑戰的是將經典邏輯中的實無窮假定修改為潛無窮的直覺主義邏輯[3](273)。實無窮假定是將無窮視為實際存在的、已經構造完成的、可以認識的整體。正因為如此，我們才可以說，對于全域中的任一對象或者具有某性質，或者不具有某性質。或者說，任一命題及其否定不能都假，必有一真。而直覺主義邏輯中的潛無窮假定卻否認無窮是完成的、固定的實體，認為無窮是潛在的，處在不斷構造過程中的、開放的、發展中的整體。另外，直覺主義邏輯對命題的真值做了不同于經典邏輯中對命題真值的符合論解釋，它認為一個命題是真的，是指該命題有一個可構造性的證明(簡稱可證)。例如，給出命題“存在一個自然數是奇素數”的可證性，就是在潛無窮的自然數中實際找到或能保證找到一個奇素數。排中律A∨?A，在直覺主義邏輯中即A可證或?A可證。但在直覺主義邏輯潛無窮假定下，A與其否定命題?A都可能不可證，即排中律失效(或A∨?A不是直覺主義邏輯中的定理)。例如，命題 A“所有人都會死”與?A“有些人不會死”都不可證。因為，在潛無窮的人的集合中，我們無法斷定所有人具有或不具有“會死”的性質。具體說，欲證 A真，由于不能直接證明(若全稱命題A的主項是一歸納集合，可以運用數學歸納法證明其有性質p)，試用反證法，先假定A假，即證?A真，也即證明“有些人不會死”，但在潛無窮域中，此命題亦不可證。由此A與?A都不可證，排中律無效。由此我們還可推論出反證法(經典邏輯中的否定消去規則?－：若?A→B∧?B則A)在直覺主義邏輯中不成立。

三

以上論述說明，在經典邏輯中普遍有效的排中律，在非經典邏輯中未必有效。因為經典邏輯是建立在上述四個假定或基本原則之上的。修改其中任一假定的非經典邏輯都可能導致排中律在其中失效。正如馬克思主義哲學所說的：任何真理都是相對的，都有一定的適用范圍和條件，離開這一定的范圍或條件，真理也就向謬誤轉化。任何真理當然也包括邏輯真理(邏輯中的重言式或普遍有效式即為邏輯真理)。作為邏輯真理的排中律也是如此。還需要強調的是，非經典邏輯不論是在經典邏輯基礎上的擴張或是變異，都只是對經典邏輯的局部修正，而不可能是根本修正。排中律也只是在某些非經典邏輯中不是普效式，或者說只是能找到反例的可滿足式。仍以直覺主義邏輯為例，它所倡導和積極從事的直覺主義數學是對構造性數學的重大貢獻，它從構造性觀點出發，認為排中律雖然沒有被證明為真，但也沒有被證明會導致荒謬；它是一個不導致荒謬的命題。相反，誰要是說排中律荒謬，他便陷入荒謬，即布勞維爾的“排中律荒謬的荒謬(??(A∨?A))”。但布勞維爾絕對否定非構造性數學則是錯誤的。構造性數學和非構造性數學是數學的兩個方面，都是關于世界的形式方面的認識，布氏片面強調構造性，比如導致他接受潛無窮立場和拒絕對無窮集合使用排中律，結果不得不舍棄古典數學中的大部分寶藏。這是對數學的很大傷害。正如真理具有相對性也具有絕對性一樣，排中律的有效性除了上述所分析的相對性外，也具有絕對性，即在它所適用的范圍內，“任意兩個對立的思想(一個思想與其否定)都不能為假，必有一真”這一排中律的內容又是無條件的。這種用自然語言描述的，非形式化的，作為思維基本規律的排中律，還廣泛應用于元邏輯的研究(通常以有窮性作為研究方法或工具)，例如，在討論一邏輯系統的完全性時，其古典完全性指對于任一公式A而言，或者A是可證的，或者?A是可證的。其語義完全性是指對于任一公式A，如果A是普遍有效的，則A是該系統中可證的；如果A不是普遍有效的，則?A是可滿足的。顯然，這都是對排中律的具體應用。總之，排中律的普效性是相對性與絕對性的辨證統一。

[1]S.C.克林.元數學導論·下冊[M].北京: 科學出版社,1984.

[2]陳波.邏輯哲學[M].北京: 北京大學出版社,2005.

[3]張家龍.數理邏輯發展史[M].北京: 社會科學文獻出版社,1993.