2009年江蘇中考數學試題錯例分析及啟示

一、錯例剖析

第2題計算(a2)3的結果是( ).

A.a5B.a6C.a8D.3a2

分析:誤選A，產生錯誤的原因是將“冪的乘方，底數不變，指數相乘”誤解為“冪的乘方，底數不變，指數相加”，即與“同底數的冪相乘，底數不變，指數相加”混淆.

第7題如圖，給出下列四組條件:

①AB=DE，BC=EF，AC=DF;

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF;

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F;

④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E.

其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有().

A.1組B.2組C.3組D.4組

分析:誤選D，產生錯誤的原因是受題中所給圖形的誤導，誤認為兩三角形的形狀已確定，都是銳角三角形，故誤認為④也成立.

事實上，本題的設計是值得商榷的，既然題目中給出了要判斷的兩個三角形的形狀，那么問題的討論應該在這個前提下進行，所以許多優等生認為④也成立是情理之中的.這到底是命題者的疏忽，還是命題者故意設計的陷阱，值得研究.

第8題下面是按一定規律排列的一列數:

第1個數:■-1+■;

第2個數:■-1+■1+■1+■;

第3個數:■-1+■1+■1+■1+■1+■;

……

第n個數:■-1+■1+■1+■…1+■.

那么，在第10個數、第11個數、第12個數、第13個數中，最大的數是().

A.第10個數B.第11個數C.第12個數D.第13個數

分析:考生不選或亂選，究其原因是被復雜的運算式子嚇住了，不善于從復雜的式子中尋找出規律，運用規律來作出正確的判斷.也有一些考生盡管做對了，但是通過寫出第10個數、第11個數、第12個數、第13個數的結果后比較而得出答案的，費時費力，影響了后面試題的解答，造成了隱性失分.本題貌似復雜，其實只要認真觀察，就會發現，從第二個數開始，減數中的因數是成對增加的，且增加的每一對數都互為倒數，所以這些數的減數都是■，只要比較被減數即可，即比較■、■、■、■的大小，答案一目了然.

第9題計算(-3)2=.

分析:錯誤答案有32、6、-9等等.填32的考生是沒有明白題目的要求;填6的考生是誤認為32=3×2=6，沒有弄清乘方的意義;填-9的考生是誤認為(-3)2

=-32，混淆了負數的乘方與乘方的相反數的區別.

第10題使■有意義的x的取值范圍是.

分析:錯誤答案有x-1≥0、x>1、x≥-1等.產生錯誤的原因是沒有弄清楚本題考查的知識點有兩個:一是要由算術平方根的被開方數是非負數得到不等式x-1≥0，二是要正確地解不等式x-1≥0得到正確答案x≥1.

第11題江蘇省的面積約為102 600km2，這個數據用科學記數法可表示為km2.

分析:錯誤答案有0.1026×106，10.26×104等.產生錯誤的原因是科學記數法的定義沒有理解透徹.

第13題某縣2008年農民人均年收入為7800元，計劃到2010年，農民人均年收入達到9100元.設人均年收入的平均增長率為x，則可列方程.

分析:錯誤答案有7800(x2+1)=9100、7800(x%+1)2=9100等.前者是對增長率公式記憶有誤所致，后者是沒有弄清未知數x求出后再轉化為百分數，與方程中的x%有本質區別.還有不少考生將方程7800(x+1)2=9100展開變形，甚至求出解來，不僅浪費了寶貴的時間，而且容易出現錯誤，出現了不符合要求的答案.

第14題若3a2-a-2=0，則5+2a-6a2=.

分析:有的考生利用方程算出a的值，再代入求代數式的值，把a的兩個值分別代入計算，比較麻煩，而且容易出錯.若考生能用整體思想來思考，就能迅速得到答案.

第18題如圖，已知EF是梯形ABCD的中位線，△DEF的面積為4cm2，則梯形ABCD的面積為cm2.

分析:部分考生沒有填寫答案或填寫錯誤答案8cm2，其原因是考生在運用梯形面積公式時誤認為梯形面積=■×中位線×高. 有些考生不會用轉化思想解決問題，漫無目的地去思考問題，費時費力，很難得出正解.

第19題(1)-2-(1+■)0+■.

分析:錯誤答案有4、-1等.前者誤認為(1+■)0=0，后者誤認為-2=-2.

第20題某市對九年級學生進行了一次學業水平測試，成績評定分A、B、C、D四個等第.為了解這次數學測試成績情況，相關部門從該市的農村、縣鎮、城市三類群體的學生中共抽取2000名學生的數學成績進行統計分析，相應數據的統計圖表如下:

(1)請將上面表格中缺少的三個數據補充完整;

(2)若該市九年級共有60 000名學生參加測試，試估計該市學生成績合格以上(含合格)的人數.

分析:本題考查的是統計知識，比較簡單，但從閱卷結果來看，錯誤率較高.原因有以下三個方面:(1)審題不清:許多考生解題時錯誤地把60000看成了6000，造成結果為■×6000=5472而失分;(2)計算較繁瑣:部分考生在求所抽取2000名學生的數學成績合格以上(含合格)的人數時，計算過程為280+290

+240+200+132+180+240+130+132，造成運算量大而產生錯誤，又浪費了時間;(3)解題不規范:部分考生在填第(1)題的表格時填錯，而在第(2)題中計算學生成績合格以上(含合格)的人數時，又沒有過程，直接寫1824，造成評分時閱卷老師難以判斷采用什么方法求出此答案而不好給分.

第22題一輛汽車從A地駛往B地，前■路段為普通公路，其余路段為高速公路.已知汽車在普通公路上行駛的速度為60km/h，在高速公路上行駛的速度為100km/h，汽車從A地到B地一共行駛了2.2h.

請你根據以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時間”，提出一個用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程.

分析:主要錯誤有:(1)沒有就該汽車行駛的“路程”或“時間”提出問題，而是提出的其他問題造成失分;(2)提出的問題不能用二元一次方程組求解;(3)提出問題后忘記了求解.究其原因主要是審題不清，目標不明.

第23題如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F兩點在邊BC上，且四邊形AEFD是平行四邊形.

(1)AD與BC有何等量關系?請說明理由;

(2)當AB=DC時，求證:?荀AEFD是矩形.

分析:主要錯誤有:(1)將BC=3AD寫成AD=3BC;(2)沒有遵循考試要求，擅自做主，使用了證明依據28條以外的“夾在兩條平行線間的平行線段相等”直接證得AB=DE，AF=CD，從而得到AF=DE，導致一分都得不到;(3)誤將(2)中結論?荀AEFD寫成?荀ABCD;(4)解題過程、解題格式書寫不規范.產生錯誤的原因是:(1)對證明依據28條規定不夠重視，也不夠熟悉;(2)書寫解題過程過于急躁，欠周密考慮.

第24題如圖，已知二次函數y=x2-2x-1的圖象的頂點為A.二次函數y=ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x2-2x-1的圖象的對稱軸上.

(1)求點A與點C的坐標;

(2)當四邊形AOBC為菱形時，求函數y

=ax2+bx的關系式.

分析:主要錯誤有:(1)用配方法求頂點坐標時出錯;(2)不會利用對稱性和拋物線經過原點求出拋物線與x軸的另一個交點C的坐標;(3)不善于利用菱形的中心對稱性由點A的坐標來求出點B的坐標，而是在菱形的邊或角的關系上做文章;(4)求拋物線的解析式時解方程組出現錯誤.

第25題如圖，在航線l的兩側分別有觀測點A和B，點A到航線l的距離為2km，點B位于點A北偏東60°方向且與A相距10km處.現有一艘輪船從位于點B南偏西76°方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min后該輪船行至點A的正北方向的D處.

(1)求觀測點B到航線l的距離;

(2)求該輪船航行的速度(結果精確到0.1km/h).(參考數據:■≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)

分析:主要錯誤有:(1)求B到航線l的距離即BE的長時，有的考生誤用三角函數關系求錯答案，其實利用“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”很簡便;還有考生對于點到直線的距離意義搞不清導致錯誤;(2)單位不統一導致錯誤，題中時間單位是min，而結果要求速度單位是km∕h;(3)沒有看清結果要求精確到0.1km∕h，而錯寫成40.56km∕h;(4)沒有使用題中提供的數據■≈1.73進行計算，而是直接使用計算器進行計算;(5)解題過程中取近似值沒有按題目要求先多取一位，或是放到解題過程的最后再按要求取近似值.產生錯誤的原因是:(1)平時解題過程的書寫欠規范，過程不夠重視;(2)“標圖”的習慣沒有養成，導致分析有困難;(3)審題不清.

第26題(1)觀察與發現

小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖①);再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②).小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎?請說明理由.

(2)實踐與運用

將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE(如圖③);再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG(如圖④);再展平紙片(如圖⑤).求圖⑤中∠α的大小.

分析:第(1)題的解法比較靈活，有的考生寫得很復雜，浪費了時間.如果考生知道折紙的實質，就會用軸對稱的知識來解決，如(1)中的∠BAD=∠CAD，AD與EF垂直，(2)的圖③中有∠AEB=∠FEB=45°，圖④中有∠DEG=∠D′EG，解決問題就會輕而易舉.關鍵還是審題、標圖，弄清怎么折疊的，哪些角相等.最后還有解題格式，不少考生書寫存在問題，比如AD與EF的交點加一個字母 ，有考生寫小寫字母m等等.

第27題某加油站五月份營銷一種油品的銷售利潤y(萬元)與銷售量x(萬升)之間函數關系的圖象如圖中折線所示，該加油站截止到13日調價時的銷售利潤為4萬元，截止到15日進油時的銷售利潤為5.5萬元.(銷售利潤=(售價-成本價)×銷售量)

請你根據圖象及加油站五月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題:

(1)求銷售量x為多少時，銷售利潤為4萬元;

(2)分別求出線段AB與BC所對應的函數關系式;

(3)我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大?(直接寫出答案)

分析:主要錯誤有:第(1)題:①審圖不清，誤認為當銷售利潤為4萬元，銷售量為4÷(5.5-4.5)=4(萬升)，造成答案正確過程錯誤，或誤認為當銷售利潤為4萬元，銷售量為4÷(5.5-4)=■(萬升)，造成答案錯誤.②主觀臆斷，直接用線段OA的解析式是y=x來求y=4時x的值，其實線段OA的解析式是未知的，需要考生來求.③單位混亂，解題過程中，升與萬升、元與萬元混淆不清.

第(2)題:①張冠李戴，在求線段AB與BC所對應的函數關系式時，將B、C兩點的坐標對應的解析式誤認為線段AB的函數關系式，將A、B兩點的坐標對應的解析式誤認為線段BC的函數關系式.②方法不當，不善于利用銷售量、每萬升銷售利潤、銷售總利潤的關系來求出B的橫坐標，而是想通過幾何圖形的性質來獲解，其實從13日到15日，銷售總利潤是(5.5-4)萬元，每萬升的銷售利潤為(5.5-4)萬元，所以13日到15日的銷售量便唾手可得，B點的橫坐標就不難得到了.同樣求C點的縱坐標時，必須利用上述關系來求出15日到31日的銷售利潤，其中銷售量是(10-5)萬升，即5萬升，而這5萬升中，每萬升銷售利潤是不相同的，原來的1萬升的每萬升銷售利潤是1.5(=5.5-4)萬元，后來進的4萬升的每萬升銷售利潤是1(=5.5-4.5)萬元，所以銷售這5萬升油的利潤是1×1.5+4×(5.5-4.5)=5.5(萬元).而C點的縱坐標是銷售10萬升油的利潤，而銷售10萬升油的利潤為5.5+5.5=11(萬元)，所以點C的坐標為(10，11).

第(3)題:①審題不細，把“在OA、AB、BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大”理解為“在OA、AB、BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤最大”，而誤答為線段BC.②答非所問，求出線段OA、AB、BC對應的利潤率而沒有作出正確的判斷.

本題在設計中，重復使用了數據4、5.5，既干擾了部分考生的思考，也使部分考生的錯誤答案“合法化”了，不能不說是美中不足.

第28題如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D(3，0)和點E(0，4).動點C從點M(5，0)出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動.設運動時間為t秒.

(1)請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標;

(2)以點C為圓心、■t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，連接PA、PB.

①當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍;

②當△PAB為等腰三角形時，求t的值.

分析:本題作為壓軸題，考查考生綜合運用知識的能力，某一個知識點的缺陷或某一個計算失誤都有可能造成失分. 第(1)題可以說是送分題，只要稍微動一下腦筋，是很容易解決的，但有很多考生認為最后一題是壓軸題，一定“很難”，看都不看就直接放棄了.考生的典型錯誤表現在以下幾個方面:轉化思想應用不靈活:求點P的坐標時部分考生不知過P點作x軸的垂線段PE，構造△PDE∽△EDO，從而失分.另外，第(2)題中的第①題很多考生不善于用運動的觀點來分析轉化，在用含有t的代數式表示PA、PB的長度時，不能過P點作x軸的垂線段PQ，構造Rt△PAQ和Rt△PBQ，再利用勾股定理轉化為方程來解決.數形結合理解不深刻:當點C在點D左側時，部分考生不知過C點作CF⊥射線DE于F，得△CDF∽△EDO，則■=■.解得CF=■.此時，求t的范圍問題就轉化為直線與圓的位置關系相關知識的應用問題，從而由CF≤■t，即■≤■t，解得t≤■.有些考生誤認為圓與射線有公共點就是圓與射線相切. 分類討論運用不到位:第(2)題中的第②題不會用分類討論及數形結合的思想加以分析解決，有的考生不會分類，造成分類不當，有的考生解方程錯誤導致漏解或答案不正確.在△PAB為等腰三角形時求t值，需要分PA=AB，PB=AB，PA=PB三種情況討論:當PA=AB時，可得9t2-72t+80=0，解得t1=■，t2=■;當PA=AB時，有PC⊥AB，可得5-t=3-■t，解得t3=5;當PA=AB時，可得7t2-8t-80=0，解得t4=4，t5=-■(不合題意，舍去). 所以本題有四解:t1=■，t2=■，t3=5，t4=4.

二、復習啟示

1.要重視基礎知識的學習.從這份中考試卷來看，送分題很多，只要數學基本功扎實，得及格分數還是很容易的，但許多考生在這些基礎題面前仍然顯得力不從心，錯誤百出，得分并不令人滿意，這不能不引起我們的反思.我們的數學學習不能一味地求難求新，在基本要求還沒有掌握的情況下就進行高難度的訓練，什么“綜合訓練”、“思維拓展”等等，這其實是本末倒置.從近年來的中考試題來看，“題在書外，根在書內”，我們可以從課本中找到原型，它們或是課本例題、習題，或是其變式題，或是源于課本并適度拓展的引申題.因此，我們的數學學習必須真正回到課本中去，回到基礎中去，通過對課本知識的學習、梳理，形成網絡，明確初中階段必須掌握的知識點有多少，對課本中必須掌握的基礎知識、基本技能有一個明確的目標.要重視對基礎題的練習與反思，不可片面追求偏題、怪題、難題，更不能刻意去補充學習課標和教材要求之外的知識與方法;要及時總結經驗教訓，避免重蹈覆轍，比如試卷的第23題，很多考生因沒有遵循考試要求，擅自作主，使用了證明依據28條以外的“夾在兩條平行線間的平行線段相等”而導致一分都得不到，我們要吸取這方面的教訓.

2.要重視學習習慣的培養. 許多考生在解決基本題時，容易掉以輕心，沒有認真分析就動筆解答，結果造成易題易錯、知識混淆、目標不清、答非所問、主觀臆斷、張冠李戴等錯誤，其中絕大多數是非知識性的錯誤，問題出在解題的不良習慣上. 很多尖子生考出的成績與中等生差距不是很大，原因與考生的答題方法和書寫習慣有很大關系.如第25題中的第(2)小題，很多考生在計算的過程中直接使用近似值計算或直接使用計算器計算，使得計算結果與標準答案出入很大而導致失分.因此，在平時的學習中，要重視細節，重視良好學習習慣的培養.在解題時，不管題目多么簡單，都要認真審題，反復讀題，善于找出題目中的關鍵字眼，從而作出正確的判斷;要重視解題格式的規范、證明依據的規范化使用等. 初中數學的知識點多而雜，如果在學習中不能將知識系統化、條理化，往往會“一招出錯，全盤皆輸”. 在學習中要注意準確區別一些似是而非的概念，從本質上發現數學知識之間的區別與聯系;要對初中階段所學的知識加以分類、整理、綜合，形成一個知識結構系統，力求在記憶系統中儲存一個“數學知識結構”，在考試前要重新回顧一下有關知識，做到知識清晰，求解準確.

3.要重視基本經驗的積累.在我們的數學學習中，要重視對基本活動經驗的總結與提煉，不斷積累基本活動經驗，用以指導新的活動(包括解題活動)，從而不斷提高自己的思維水平.中考中的許多問題(如本卷第3、13、27題等)都有多種解題方案，如何在較短的時間內作出決策，靠的是基本活動經驗.如果我們在平時的學習中能通過典型問題去探索，去思考，那么在遇到這類問題時就會借助于已有的經驗，選擇最佳方案來處理. 數學建模是數學學習中需要解決的重點問題，特別應加強對社會熱點問題、生產生活中的實際問題的研究，要熟悉數學應用問題的背景和數學建模的方法，積累基本活動經驗，進而提升數學素養，提高解決數學問題的能力.