專題復(fù)習(xí):函數(shù)

[編者按]我刊2009年9月~10月合刊、11月~12月合刊的數(shù)學(xué)欄目已為同學(xué)們復(fù)習(xí)了如下內(nèi)容:數(shù)與式，方程(組)，不等式(組)，三角形、四邊形，全等形和相似形，圓，概率與統(tǒng)計.“函數(shù)”部分歷來是中考復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容，本期的“重點輔導(dǎo)”欄目和你一起對此進行梳理和解析.

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.其地位和作用主要體現(xiàn)在如下兩個方面:函數(shù)是最有效的與變化過程相關(guān)的數(shù)學(xué)刻畫與表示，其本身的應(yīng)用已極為廣泛;初中數(shù)學(xué)的大多數(shù)問題，如方程問題、不等式問題、幾何量的關(guān)系問題，特別是與運動相關(guān)的幾何問題，都或明或暗與函數(shù)有關(guān)，可以說函數(shù)是“代數(shù)”的靈魂.

同學(xué)們在復(fù)習(xí)“函數(shù)”時，應(yīng)整體把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，形成良好的知識結(jié)構(gòu)圖.現(xiàn)將知識結(jié)構(gòu)框圖列出:

要在理解的基礎(chǔ)上熟記這四種函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，正確熟練地掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式、用描點法畫函數(shù)圖象、用配方法求拋物線的頂點坐標及對稱軸，要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想研究解決有關(guān)函數(shù)的問題.

從考查同學(xué)們的學(xué)習(xí)水平來看，中考中函數(shù)的考查可以歸納為以下幾方面:

一、直接考查函數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)

函數(shù)有關(guān)概念和性質(zhì)是中考中重要的考查內(nèi)容，對其考查都借助函數(shù)的圖象來呈現(xiàn).

例1(2007金華)一次函數(shù)y1=kx+b與y2

=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論①k<0;②a>0;③當x<3時，y1

A.0B.1C.2D.3

分析:借助圖象考查函數(shù)性質(zhì)是中考的常見考法.對一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的性質(zhì)要有透徹的理解，要明白k及b的幾何意義，即k>0(k<0)函數(shù)增(減)且函數(shù)圖象經(jīng)過一、三(二、四)象限，b是一次函數(shù)與y軸交點的縱坐標.應(yīng)選B.

例2(2007常州)若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-2(a，b為常數(shù))的圖象如下，則a的值為().

A.-2B.-■

C.1 D.■

分析:本題考查了函數(shù)兩種表達形式之間的聯(lián)系，實質(zhì)上是考查函數(shù)圖象與函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系.從圖象上來看，函數(shù)圖象經(jīng)過原點，所以a2-2=0，再根據(jù)函數(shù)圖象開口向上得a=■，選D.

例3如圖，A、B是雙曲線y=■的一個分支上的兩點，且點B(a，b)在點A的右側(cè)，則b的取值范圍是.

分析:此題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，由反比例函數(shù)圖象知k>0，再根據(jù)性質(zhì)得b<2.

例4(2009包頭)如圖，已知一次函數(shù)y=x+1的圖象與反比例函數(shù)y=■的圖象在第一象限相交于點A，與x軸相交于點C，AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為1，則AC的長為 (保留根號).

分析:此題考查的重點是點與函數(shù)圖象的關(guān)系，這里的點是以隱蔽的方式給出的.此題綜合了三個知識點，即勾股定理、解方程組、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義.解決此題的關(guān)鍵是利用k的幾何意義求出k=2.

略解:由y=x+1，y=■得x=1，y=2，x=-2，y=-1.(舍去)得AC=2■.

二、靈活考查函數(shù)關(guān)系式的建立和轉(zhuǎn)化能力

對函數(shù)的三種表達形式(函數(shù)關(guān)系式、圖象、表格)的理解及相互轉(zhuǎn)化，是中考必考的內(nèi)容，其考法豐富多彩，靈活多樣.

a.考查對函數(shù)圖象的理解

例5(2007鎮(zhèn)江)一杯水越來越?jīng)觯瑒t可以表示這杯水的水溫T(℃)與時間t(分)的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是().

分析:此題考查了同學(xué)們對函數(shù)圖象意義的理解，水越來越?jīng)霰砻魉臏囟入S著時間的推移越來越低，選D.解決此類問題需根據(jù)具體背景，從整體上把握兩個變量之間的關(guān)系，并借助函數(shù)圖象解釋或驗證兩個變量之間的變化關(guān)系.

例6(2009黃岡)小高從家門口騎車去單位上班，先走平路到達點A，再走上坡路到達點B，最后走下坡路到達工作單位，所用的時間與路程的關(guān)系如圖所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上班時一致，那么他從單位到家門口需要的時間是().

A.12分鐘B.15分鐘

C.25分鐘D.27分鐘

分析:此題從定量的角度考查了同學(xué)們對函數(shù)圖象的認識.解決此題的關(guān)鍵是弄清楚回程中走平路、上坡路、下坡路對應(yīng)的速度不變，走上坡路、下坡路的路程發(fā)生了變化.選B.

b.考查利用圖象表達函數(shù)關(guān)系的能力

例7(2009懷化)小敏家距學(xué)校1200米，某天小敏從家里出發(fā)騎自行車上學(xué)，開始她以V1的速度勻速騎行了600米，遇到交通堵塞，耽擱了3分鐘，然后以V2的速度勻速前進一直到學(xué)校(V1

分析:本題以同學(xué)們的生活問題為背景，考查將實際問題轉(zhuǎn)化為圖象的能力.解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)V1

例8(2009重慶)如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動點P從點B出發(fā)，沿路線作B→C→D勻速運動，那么△ABP的面積S與點P運動的路程x之間的函數(shù)圖象大致是().

分析:解決此題的關(guān)鍵是通過點的運動，尋找運動中的不變量，進而建立函數(shù)式，再把函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖象.注意點是要對BC、CD段進行分類討論.在BC段的函數(shù)關(guān)系式是S=x，在CD段的函數(shù)關(guān)系式是S=1+■=■(x+1)，應(yīng)選B.

c.考查函數(shù)表達形式之間的轉(zhuǎn)化能力

例9(2007常州)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表:

二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸為x=，x=2對應(yīng)的函數(shù)值y=.

分析:本題以表格的形式將函數(shù)與自變量的對應(yīng)關(guān)系呈現(xiàn)出來，重點考查同學(xué)們利用平面上的點之間的對應(yīng)關(guān)系確定函數(shù)關(guān)系式的能力，同時也考查了二次函數(shù)的重要性質(zhì)——“對稱性”.解決此題的關(guān)鍵是明確縱坐標相同的點為“對稱點”，由對稱點很容易找到對稱軸x=1，由對稱軸找到橫坐標為2的點的對稱點為(0，-8)，得y=-8.

例10(2007紹興)紹興黃酒是中國名酒之一.某黃酒廠的瓶酒車間先將散裝黃酒灌裝成瓶裝黃酒，再將瓶裝黃酒裝箱出車間，該車間有灌裝、裝箱生產(chǎn)線共26條，每條灌裝、裝箱生產(chǎn)線的生產(chǎn)流量分別如圖1、2所示. 某日8:00～11:00，車間內(nèi)的生產(chǎn)線全部投入生產(chǎn)，圖3表示該時段內(nèi)未裝箱的瓶裝黃酒存量變化情況，則灌裝生產(chǎn)線有 條.

分析:本題以三個函數(shù)圖象呈現(xiàn)三種具體要求，對同學(xué)們的讀圖、識圖能力，根據(jù)函數(shù)解析式進行轉(zhuǎn)化的能力，以及運用一次函數(shù)的知識解決實際問題的能力都進行了重點考查.從圖3中發(fā)現(xiàn)瓶裝黃酒每小時增加100瓶，由此設(shè)灌裝生產(chǎn)線為x條，則得方程650x-750(26-x)=100，解之得x=14，即灌裝生產(chǎn)線有14條.

三、綜合考查函數(shù)、方程與不等式之間的聯(lián)系

函數(shù)與方程、不等式之間存在內(nèi)在聯(lián)系，求函數(shù)圖象上點的坐標、根據(jù)已知條件求函數(shù)的解析式、確定函數(shù)的取值范圍等等都要用到方程或不等式的知識，也都是基本的考試內(nèi)容.

例11(2009武漢)如圖，直線y=kx+b經(jīng)過

A(2，1)，B(-1，-2)兩點，則不等式■x>kx+b>-2的解集為.

分析:本題以一次函數(shù)圖象為載體，以讀圖、識圖為前提，通過直線的位置關(guān)系，獲得不等式的解集，較好地體現(xiàn)了一次函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)系.填-1

例12(2008南京)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表:

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;

(2)當x為何值時，y有最小值，最小值是多少?

(3)若A(m，y1)，B(m+1，y2)兩點都在該函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大小.

分析:本題主要考查點:(1)考查了待定系數(shù)法，(2)考查了二次函數(shù)的最值問題，(3)考查了函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系，利用作差法來比較y1與y2的大小，或利用函數(shù)的性質(zhì)來比較.

略解:易得(1)二次函數(shù)關(guān)系式為y=x2-4x+5.

(2)因為y=x2-4x+5=(x-2)2+1，所以當x=2時，y有最小值，最小值是1.

(3)因為A(m，y1)，B(m+1，y2)兩點都在函數(shù)y=x2-4x+5的圖象上，

所以，y1=m2-4m+5，y2=m2-2m+2.

y2-y1=(m2-2m+2)-(m2-4m+5)=2m-3.

所以，當2m-3<0，即m<■時，y1>y2;

當2m-3=0，即m=■時，y1=y2;

當2m-3>0，即m>■時，y1

四、靈活運用函數(shù)知識及思想方法解決問題

a.解決幾何中的最值問題

例13(2007常州改編)已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF.

(1)設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積;

(2)求出△FCG的面積的最大值和最小值.

分析:此題以幾何、函數(shù)知識為背景，重點考查了同學(xué)們的邏輯推理與合情推理能力. 從當年考生的答題情況來看，此題是比較難的.

解決此題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)該幾何圖形中蘊含的對稱性.同學(xué)們在幾何學(xué)習(xí)中要善于感知圖形的整體性質(zhì).

略解: (1)作FM⊥DC，M為垂足，連接GE，

∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE.

∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE.

∴∠AEH=∠MGF.

在△AHE和△MFG中，又有∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴△AHE≌△MFG.

∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2.

因此S△FCG=■×2×(6-x)=6-x.

(2)由于點G在邊DC上，因此菱形的邊長至少為DH=4.

當菱形的邊長為4時，點E在AB邊上且滿足AE=2■，此時，當點逐漸向右運動至點B時，HE的長(即菱形的邊長)將逐漸變大，最大值為HE=2■.

此時，DG=2■，故0≤x≤2■.

而函數(shù)S△FCG=6-x的值隨著x的增大而減小，

因此，當x=2■時，S△FCG取得最小值為6-2■;當x=0時，S△FCG取得最大值為6.

b.解決生活中的應(yīng)用問題

生活中的某些變量之間的關(guān)系，單憑文字描述不足以說清其變化的基本規(guī)律，而函數(shù)是刻畫變量問題最為有效的數(shù)學(xué)工具，因此，借助函數(shù)模型能更清楚地認識變量之間的關(guān)系.

例14(2007廈門)某種爆竹點燃后，其上升高度h(米)和時間t(秒)符合關(guān)系式h=v0t+■gt2(0

(1)這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米?

(2)在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.

分析:此題的背景貼合生活實際，又與二次函數(shù)知識相結(jié)合，充分體現(xiàn)了應(yīng)用函數(shù)解決生活中的現(xiàn)象和問題的指導(dǎo)思想.解決第(2)題的關(guān)鍵是確定對稱軸的位置.

略解:(1)-5t2+20t=15(0

(2)h=20t-5t2=-5(t-2)2+20.

當t=2時，爆竹達到最高點，所以在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，爆竹是上升的.

例15(2009煙臺) 某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺.為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明:這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺.

(1)假設(shè)每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫自變量的取值范圍);

(2)商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元?

(3)每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高?最高利潤是多少?

分析:此題是典型的以銷售為背景的二次函數(shù)應(yīng)用題.解決此類問題時應(yīng)注意以下三點:(1)耐心讀懂文字;(2)弄清問題背景;(3)分清數(shù)量關(guān)系，建立模型.

解:(1)根據(jù)題意，得y=(2400-2000-x)(8+4×■)，

即y=-■x2+24x+3200.

(2)由題意，得-■x2+24x+3200=4800.

整理，得x2-300x+20000=0.解這個方程，得x1=100，x2=200.

要使百姓得到實惠，取x=200.所以，每臺冰箱應(yīng)降價200元.

(3)對于y=-■x2+24x+3200.

當x=-■=150時，

y最大值=(2400-2000-150)(8+4×■)=250×20=5000.

例16(2009青島)某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進行了調(diào)查.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價y1(元)與銷售月份x(月)滿足關(guān)系式y(tǒng)1=-■x+36，而其每千克成本y2(元)與銷售月份x(月)滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)試確定b、c的值;

(2)求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤y(元)與銷售月份x(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)“五·一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大?最大利潤是多少?

分析:此題與上例的本質(zhì)相同，給出的情景不同.本題給出了函數(shù)關(guān)系式與圖象兩種形式，要處理的信息較復(fù)雜.最值問題需結(jié)合實際，利用函數(shù)的性質(zhì)來解決，這是此題的新穎之處.

略解:(1)由題意:

25=■×32+3b+c，24=■×42+4b+c.解得b=-■，c=■.

(2)y=y1-y2

=-■x+36-(■x2-■x+■)

=-■x2+■x+■.

(3)y=-■x2+■x+■=-■(x2-12x+36)+■+■=-■(x-6)2+11.

∵a=-■<0，∴拋物線開口向下.

在對稱軸x=6左側(cè)y隨x的增大而增大.

由題意x<5，所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大.

最大利潤=-■(4-6)2+11=■(元).

以上對近幾年來中考中的函數(shù)試題進行了分析，同學(xué)們從中應(yīng)該了解函數(shù)考查的主要目標了.從命題的角度來看:第一類試題是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)各種形式(關(guān)系式、圖象、列表)之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)換;第二類試題主要是數(shù)學(xué)建模問題(以生活中的實際問題或幾何問題為背景);第三類試題主要利用函數(shù)作為“橋梁”溝通數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，有較強的綜合性.試題涉及的思想方法主要是“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換.

從命題趨勢來看，考查目標不會有所變化.函數(shù)的基本性質(zhì)與基本概念的考查主要是采用填空或選擇題的形式;中檔題中主要考查函數(shù)基本性質(zhì)及函數(shù)關(guān)系式的建立;在壓軸題中函數(shù)試題有兩類:(1)與實際問題有關(guān)，這是新課程倡導(dǎo)的理念之一;(2)以函數(shù)作為主干，加強數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，綜合考查同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.