透過一份試卷看數學思想的應用

經歷了2009年中考以后，3班的同學們感觸頗多.考后的一天，數學興趣小組的同學又聚在一起，圍繞2009年江蘇中考數學試卷與數學思想方法展開熱烈的討論.

W同學首先發言，談的是整體思想.2009年江蘇中考試卷第18題是填空的壓軸題，題目為:

如圖，已知EF是梯形ABCD的中位線，△DEF的面積為4cm2，則梯形ABCD的面積為 cm2.

梯形面積等于中位線乘高，乍一看已知條件只有一個，即△DEF的面積為4cm2，似乎條件不足，而整體化思想啟示:△DEF的底邊EF是梯形的中位線，其高是梯形高的一半，這就是說梯形中位線與高的乘積的■為4，所以梯形面積為16.

對于第14題:若3a2-a-2=0，則5+2a-6a2= .

由3a2-a-2=0易得a=1，a=-■.代入計算，原式=1.而整體化思想啟示:a

-3a2=-2，原式=5+2(a-3a2)=1.解法更簡明.

H同學說:我著重談談轉化思想.

第25題，如圖，在航線l的兩側分別有觀測點A和B，點A到航線l的距離為2km，點B位于點A北偏東60°方向且與A相距10km處，現有一艘輪船從位于點B南偏西76°方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min后該輪船行至點A的正北方向的D處.

(1)求觀測點B到航線l的距離;

(2)求該輪船航行的速度(結果精確到0.1km/h).(參考數據:■≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)

結合題意，過A作BE的垂線，交BE的延長線于F，轉化到

Rt△ABF中，AB=10，∠BAF=30°，得BF=5;又EF=AD=2，得BE即B到l的距離為3.又DE=AF=5■，在Rt△CBE中，CE=BE·tan76°，CD

=CE-DE≈3×4.01-5×1.73=3.38.這是5分鐘的航程，顯見每小時航行3.38×12≈40.6(km)，即為所求速度.

對于第27題:某加油站五月份營銷一種油品的銷售利潤y(萬元)與銷售量x(萬升)之間函數關系的圖象如圖中折線所示，該加油站截止到13日調價時的銷售利潤為4萬元，截止到15日進油時的銷售利潤為5.5萬元.(銷售利潤=(售價-成本價)×銷售量)

請你根據圖象及加油站五月份該油品的所有銷售記錄提供的信息，解答下列問題:

(1)求銷售量x為多少時，銷售利潤為4萬元;

(2)分別求出線段AB與BC所對應的函數關系式;

(3)我們把銷售每升油所獲得的利潤稱為利潤率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的銷售信息中，哪一段的利潤率最大?(直接寫出答案)

問題關鍵就是求A、B、C三點的坐標.利用小學就熟知的結論:■=數量，每升獲利1元，獲利4萬元，售出油4萬升，解決了第1小題，求出A(4，4);同理，13日到15日，獲利1.5萬元，由于每升獲利1.5元，售出油1萬升，故B(5，5.5);15日到月底又售出5萬升，其中4萬升進價為4.5元/升，共獲利4+1.5

=5.5萬元，得C(10，11).坐標確定后，第2、3小題即可解決.我不禁自問:作為倒數第2題會這么簡單嗎?全卷做完后又重新思考本題后，才松了口氣.

K同學說:輪到我來說啦，我認為數形結合是數學的基本思想.請看第24題:如圖，已知二次函數y=x2-2x-1的圖象的頂點為A.二次函數y=ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x2-2x-1的圖象的對稱軸上.

(1)求點A與點C的坐標;

(2) 當四邊形AOBC為菱形時，求函數y=ax2+bx的關系式.

二次函數y=ax2+bx的頂點在二次函數y=x2-2x-1的對稱軸上，說明這兩個二次函數的對稱軸相同，都是x=1.利用拋物線的對稱性，可得C(2，0).四邊形AOBC為菱形，其對角線互相垂直、平分，得A、B關于x軸對稱，易得A(1，-2)，則B(1，2).設所求函數關系式為y=a(x-h)2+k=a(x-1)2+2，

O(0，0)在圖象上，所以a+2=0，得a=-2，二次函數為y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.當然利用B、C兩點在圖象上求待定系數a、b也可.不過一般情況下，求一個待定系數總比求兩個待定系數要簡便.

第28題:如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D(3，0)和點E(0，4).動點C從點M(5，0)出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動.設運動時間為t秒.

(1)請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標;

(2)以點C為圓心、■t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，連接PA、PB.

①當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍;

②當△PAB為等腰三角形時，求t的值.

第一問是鋪墊，一般都能求出.全卷的難點就在第二問，我先談談題①，求⊙C與射線DE有公共點時t值的范圍.由題設知MC=t，隨時間t的增加，C點向左移動，MC在增大，⊙C的半徑■也在增大.當A到達D點時，⊙C與射線DE交于D.C點繼續向左運動時，⊙C與射線DE仍相交，因此A點的橫坐標小于或等于3.即xA=5-t-■=5-■t≤3，解得t≥■.隨t值的增加，交點是否始終存在?我考慮了特殊情況:當C到達原點O時，⊙C的半徑為■，O到DE的距離是■，由于■>■，⊙C與DE相交.它給我的啟發是只有⊙C的半徑大于或等于C到DE的距離時，才有交點.

過C作CF⊥DE于F，CF=CD·sin∠CDF，而在Rt△EOD中，sin∠CDE=■，又CD

=t-2，所以CF=■(t-2).于是■(t-2)

≤■，解得t≤■，結論是■≤t≤■.由圖形變化的啟示，探求數所滿足的規律，這是解題的關鍵.

小清說:我來分析題②，△PAB為等腰三角形，有三種可能，即分別以P、A、B為頂角的頂點.

當P為頂角的頂點時，AB為底，得PC⊥AB，有xP=xC，3-■t=5-t，解得t=5;

當B為頂角的頂點時，BP=BA.過P作PK⊥x軸，在Rt△PBK中，BP 2=(■t)2

+[(5-■)-(3-■t)]2=■t2+(2+■)2，BA2=t2，得■t2+(2+■)2=t2，化簡得7t2

-8t-80=0，解得t1=4，t2=-■(舍去);

當A為頂角的頂點時，有AP=AB，解得t1=■，t2=■.

S同學說:同學們都講了幾種常用的數學思想，我來談談需要同時運用幾種數學思想的綜合題吧.選擇題最后一題即第8題:下面是按一定規律排列的一列數:

第1個數:■-1+■;

第2個數:■-1+■1+■1+■;

第3個數:■-1+■1+■1+■1+■1+■;

……

第n個數:■-1+■1+■1+■…1+■.

那么，在第10個數、第11個數、第12個數、第13個數中，最大的數是( ).

A.第10個數B.第11個數C.第12個數D.第13個數

從何下手?遵循在操作中探索的原則，通過實際計算第1個數為■-(1

-■)=■-■=0，第2個數為■-(1-■)(1+■)(1-■)=■-■×■×■=■

-■，第3個數為■-(1-■)(1+■)(1-■)(1+■)(1-■)=■-■×■×■×■×■=■-■.是否減數都是■呢?第4個數的減數是第3個數的減數乘上(1

+■)(1-■)=■·■=1，該數為■-■.由特殊情況歸納得:這一列數的減數都是■，于是等10、11、12、13個數依次為■-■、■-■、■-■、■-■，其中最大的數是■-■，即第10個數最大.

第26題:(1)觀察與發現

小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖①);再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②).小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎?請說明理由.

(2)實踐與運用

將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE(如圖③);再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG(如圖④);再展平紙片(如圖⑤).求圖⑤中∠α的大小.

實際用紙折一下，肯定有啟發.對折疊問題的研究表明:折前、折后這兩個全等圖形以折痕為對稱軸組成軸對稱圖形，所以對于(1)，由∠BAD=∠CAD，得AD是∠BAC的平分線;A與D重合，說明EF是AD的垂直平分線，即EF⊥AD，顯見△AEF為等腰三角形.

對于(2)，由∠AEB=∠FEB=45°，∠BFE=∠A=90°，又EG為折痕，∠BEG=∠DEG=■(90°+45°)=67.5°，∠α=∠BEG-∠BEF=67.5°-45°=22.5°.

一般的探索型試題通常要用探求的結論去解題，探求實際上是指出解題的方向.而本題(2)實踐與運用與(1)的結論△AEF為等腰三角形卻沒有聯系，所以我懷疑是否搞錯了，我用紙折了折，肯定結果是正確的.(請你折一折!)

聽完同學們的發言，Z老師說:大家平時在學習知識時注重對數學思想方法的探究，在中考中就能充分地運用，從而盡快找到簡捷的解題思路，這真應了一句俗話:“磨刀不誤砍柴功!”中考結束后還能來重新審視這份試題，沒有把中考看成數學學習的最終目標，是一個很好的學習習慣.