導數應用常見錯誤例析

導數作為一種工具，在解決函數的單調性、極值、最值以及曲線的切線等方面有廣泛的應用。為了提高解導數應用題的正確率，根據多年的教學經驗，對導數的應用中常見的錯誤作以剖析，希望在對學生導數部分的復習時有所借鑒。

一、定義理解不準確

例1:已知函數■，則

■

誤解:■原式=■-1

剖析:在導數的定義中，不論■選擇那種形式，相應■中也必須選擇對應的形式，即上述用導數定義求解的過程中，■中的增量為3■，則分母也應為3■。

二、導數的幾何意義應用有誤

例2:求曲線■，過點A(0，-32)作曲線■的切線，求曲線的切線方程。

誤解: ■

曲線的切線的斜率為:■

曲線的切線的方程為:■

剖析:本題錯在對導數的幾何意義理解有誤，切線的斜率應是在切點處的導數，而點A(0，-32)不在曲線上。故本題應先設切點，在求斜率而后才能寫出切線方程。

三、將極值與最值混為一談

例3:求函數■在-3，3上的最大值與最小值

誤解:■

令■得:■或■。

經驗證:■1均為極值點，即■為極大值。■為極小值，

∴■， ■。

剖析:本題把極值當成最值從而產生誤解。極值只是在■附近的最值，而非在某個區間上的最值。要求■在某個區間上的最值，還應將極值與區間端點的函數值比較，最大的為最大值，最小的為最小值。

四、求單調區間而忽視定義域

例4:求函數■的單調區間。

誤解:■‘令■’解得:■。

令■，解得:■。

∴函數■的單調增區間為■，

單調減區間為■。

剖析:在解與函數有關的問題時，應先求其定義域，然后在其定義域內研究有關問題。而本題的錯誤恰在忽視了定義域。顯然當■>■時，2-3■<0函數無意義。

五、“駐點”等同于“極值點”

對于滿足■的點■稱為駐點，■只是點■為極值點的必要而非充分條件，具體的講，■要為極值點不僅■而且在■兩側導數值還應異號。

例5:函數■的極值點為 ( )

A. ■=1 B.■=-1

C. ■=1或■=0或■=-1D.■=0

誤解■

由■+6■得極值點為:■=0和■=±1。

剖析:這三點都是導數為零的點，但不全是極值點。

正解:■知

當■時，■，當■時，■;

當■(0，1)時，■>0，當■(1，+∞)時，■<0。

故，■在■上單調遞減，在■上單調遞增。

∴■=0為極小值點，故應選D。

(作者單位 陜西省清澗中學) 責任編輯楊博