數學思想在排列\\組合\\二項式定理中的應用

一、分類討論思想

例1.四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有()

A.150種B.147種

C.144種D.141種

解析:任取4個點共C410=210種取法.四點共面的有三類:(1)每個面上有6個點，則有4×C46=60種取共面的取法;(2)相比較的4個中點共3種;(3)一條棱上的3點與對棱的中點共6種.

例2.某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數的牌但張數不限，此人有多少種不同的出牌方法?

解析:出牌的方法可分為以下幾類:

第一類辦法:5張牌全部分開出，有A55種方法;

第二類辦法:2張2一起出，3張A一起出，有A25種方法;

第三類辦法:2張2一起出，3張A一起出，有A45種方法;

第四類辦法:2張2一起出，3張A分兩次出，有C23A35種方法;

第五類辦法:2張2分開出，3張A一起出，有A35種方法;

第六類辦法:2張2分開出，3張A分兩次出，有C23A45種方法.

因此，共有不同的出牌方法A55+A25+A45+A23A35+A35+C23A45=860種.

二、函數思想

例3.證明:當n≥3時，2n≥2(n+1)，n∈N

解析:構造函數f(x)=(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C1nx+…+Cnnxn，則f(1)=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn=1+n+C2n+…+Cn-2n+n+1=Cnn=2(1+n)+(C2n+…+Cn-2n)=2n

當n=3時，2n=2(1+n)

當n>3時，2n=2(1+n)+(C2n+…)=2n

所以當n≥3時，2n≥2(n+1)，n∈N

三、整體思想

例4.有8本互不相同的書，其中數學書3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數學書恰好排在一起，同時外文書也恰好排在一起的排法共有多少種?

分析:先將數學書和外文書各當作一個整體與其他書進行全排列，有A55種，再將數學書和外文書各自進行全排列，分別有A33和A22種，故一共有A55·A33·A22種。

四、等價轉換思想

例5.一條路上共有11個路燈，為了節約用電，擬關閉其中4個，要求兩端的路燈不能關閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時關閉，那么關閉路燈的方法總數有多少種?

解析:11個燈中關閉4個等價于在7個開啟的路燈中，選4個間隔(不包括兩端外邊的裝置)插入關閉的過程，故有C46=15種.

例6.映射f∶A→B，如果滿足集合B中的任意一個元素在A中都有原象，則稱為滿射，已知集合A中有4個元素，集合B中有3個元素，那么從A到B的不同滿射的個數有多少個?

解析:集合A中的4個元素到集合B中的3個元素的不同滿射個數等價于將4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子都不空的不同放法。由題意可得有3C14C13C22=36個。

五、數形結合思想

例7.在一塊10壟并排的地中，任選2壟分別種植A、B兩種植物，要求A、B兩種植物的間隔不小于6壟，則有多少種不同的選壟方案?

解析:如圖，

用并排一行的10個小矩形表示10壟地，小矩形內加○號表示選中，具體畫出來有6種選取方式，再對每種選取方式，分別種植A、B兩種植物，有A22種種植方法，因此共有6A22=12種選壟方案。

作者單位:貴州省龍里中學