例談導數在高中數學中的應用

導數在高考中的地位相當重要。其考點包括:導數的概念及幾何意義、以導數為工具研究函數的單調性、極值、最值、導數的應用等。

從命題的發展趨勢看，導數高考將進一步圍繞三個層次來考。(1)考查導數的概念，求導公式和法則;

(2)導數的簡單運用，包括求函數的極值，求函數的單調區間，證明函數的增減性等;

(3)綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容與傳統內容中有關不等式和函數的單調性等有機地結合在一起，設計綜合試題。下面通過例題談談導數在這些問題當中的應用。

一、導數在求函數的極值、最值、單調性的應用

導數為我們研究函數的性質(單調性、極值、最值)提供了一個非常便捷的工具和方法。

例1 已經函數f(x)=(xR)，其中aR。

(I)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程;

(II)當a≠0時，求函數f(x)的單調區間與極值。

分析 此題先求原函數的導數再令導數為0解出相應的極值點，然后根據極值的定義判定該點是否為極值點。本題還要注意對a的討論。

解 略

二、導數在不等式中的應用

例2 設a≤0，f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。

(I)令F(x)=xf′(x)，討論F(x)在(0，+∞)內的單調性并求極值;

(II)求證:當x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1。

分析 此題要證明的不等式x>ln2x-2alnx+1是由已知函數

f(x)>0變形而來。所以證明此不等式，我們無需構造新的函數，只需要通過研究已知函數f(x)=x-1-ln2x+2alnx的單調性，就可以使結論獲證。

解 (I)略

(II)對f(x)求導得:f′(x)=1-+，x>0，

故F(x)=xf′(x)=x-2lnx+2a，x>0，

于是F′(x)=1-=，因為x>0，所以，當x=2時，F′(x)=0。

因為a≥0，所以F(x)的極小值F(2)=2-2ln2+2a>0。

不難求得，對一切x(0，+∞)，恒有F(x)=xf′(x)>0。

從而當x>0時，恒有f′(x)>0，故f(x)在(0，+∞)內單調增加。

所以當x>1時，f(x)>f(1)=0，即x-1-ln2x+2alnx>0。

故當x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1。

三、導數在實際問題中的應用

導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面:(1)與幾何有關的最值問題;(2)與物理學有關的最值問題;(3)與利潤及其成本有關的最值問題;(4)效率最值問題。

例3 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S。

(I)求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域:

(II)求面積S的最大值。

分析 先建立直角坐標系，設出橢圓的方程，表示出梯形面積的函數關系，利用導數的有關知識解決問題。

解 依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標系O-xy(如圖)，則點C的橫坐標為x，點C的縱坐標y滿足方程+=1(y≥0)，

解得y=2(0

S=(2x+2r)#8226;2

=2(x+r)#8226;，其定義域為{x|0

記f(x)=4(x+r)2(r2-x2)，0

令f′(x)=0，得x=r。因為當00;當

□責任編輯:周瑜芽