例談用向量解決有關立體幾何問題

向量作為一種數學工具引入新教材，為立體幾何教學注入了新的活力，使幾何問題代數化，當掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強有力的工具后，不僅會降低學習的難度，而且增強了可操作性，為我們的學習提供了嶄新的視角，豐富了思維結構，消除了學習立體幾何知識所產生的畏懼心理，有利于對立體幾何知識的牢固掌握。下面通過一些典型例題從幾個方面具體探討向量在立幾問題中的作用，以感受向量幾何的魅力。

一、解決平行與垂直問題

(1)證明平行的方法:證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線;證明線面平行可證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，也可證明平面內一個向量與已知直線的方向向量共線，還可利用共面向量定理證明;證明面面平行只需證明兩平面的法向量共線。

(2)證明垂直的方法:證明線線垂直只需證明兩條直線的方向向量垂直;證明線面垂直可證明直線的方向向量與平面的法向量共線;也可證明直線與平面內的兩個不共線的向量垂直;證明面面垂直只需證明兩個平面的法向量垂直。

例1 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，點D是AB的中點。

(Ⅰ)求證:AC⊥BC1;(Ⅱ)求證:AC1∥平面CDB1。

證明 ∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖1，以C為坐標原點，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D(，2，0)。

(1)∵=(-3，0，0)，=(0，-4，4)，∴#8226;=0，∴AC⊥BC1。

(2)設CB1與C1B的交點為E，則E(0，2，2)。∵=(-，0，2)，=(-3，0，4)，∴==，∴DE∥AC1。∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1。

二、求兩條異面直線所成的角

具體求法:設，分別是直線a，b的方向向量。異面直線所成的角θ=arccos 。

例2 如圖2，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。求異面直線AB與CD所成角的大小。

解以O為原點，建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，

D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，

E(，，0)，=(-1，0，1)，

=(-1，-，0)。

∴cos==。

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos。

三、求直線與平面所成角的大小

具體求法:設是斜線l的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角是α=arcsin 。

例3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求A1B與平面ABD所成角的大小。

解 如圖3，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，

設|CA|=a則A(a，0，0)，B(0，a，0)，

C(0，0，0)，D(0，0，1)，A1(a，0，2)，

E(，，1)。G是△ABD的重心，故G(，，)。

=(，-，)，

=(-，-，-)。

點E在平面ABD上的射影是點G，所以⊥。

所以#8226;=0，即-+-=0。解得a=2。

=(2，-2，2)，=(，-，)，

cos<，>==。

故A1B與平面ABD所成角為arccos。

綜上所述，用向量法解立體幾何問題時，無需挖空心思去找各種關系，只要能建立空間直角坐標系，寫出相應的向量再計算，就能由計算結果得出結論。◆(作者單位:南昌市第二十一中學)

□責任編輯:周瑜芽