基于支持向量機的數控機床空間誤差辨識與補償

吳雄彪 姚鑫驊 何振亞 傅建中

1.金華職業技術學院,金華,321017 2.浙江大學,杭州,310027

0 引言

在數控機床上實現高精度加工的關鍵是提高機床的空間定位精度。計算機實時誤差補償技術是一種經濟而有效的方法,該方法在不改變機床結構和制造精度基礎上,通過對機床加工過程的誤差源進行分析、建模,實時地預測加工點的空間位置誤差,將該誤差量反饋到數控系統中以進行誤差修正,從而提高機床空間位置精度。誤差補償是提高數控機床加工精度的有效途徑,其實現的關鍵技術之一是如何精確地建立數控機床空間誤差預測模型。

近年來,國內外在數控機床空間誤差檢測與補償方面做了大量的研究工作[1-2]。在機床空間誤差檢測方面,Wang[3]提出了激光矢量分步對角線法以快速測量除旋轉誤差外的其他12項機床元素誤差,包括3個定位誤差、6個直線度誤差和3個垂直度誤差;Du等[4]提出了平面正交光柵多步檢測三軸加工中心的空間位置誤差的方法。在空間誤差建模與預測方面,已有許多方法如三角幾何法、誤差矩陣法、剛體運動學法、多體系統理論法[5]和神經網絡法[6]等,能夠用于空間誤差模型的建立。本文采用激光矢量分步對角線法檢測與辨識空間誤差,進而建立基于支持向量機(support vector machine,SVM)的數控機床空間誤差預測模型,在一臺數控銑床上進行誤差辨識和補償實驗研究,結果表明支持向量機預測模型能有效辨識數控機床的空間誤差。

1 數控機床空間誤差建模

由剛體運動學原理可知,剛體在三維空間有6個自由度,即每一個軸向運動都存在6個誤差;同時,每個軸之間并不垂直,3個軸兩兩就有3個垂直度誤差。因此,對于任一類型的3軸數控機床都有21項誤差元素：①直線定位誤差δx(x)、δy(y)和 δz(z);② 直 線 度誤 差 δy(x)、δz(x)、δx(y)、δz(y)和 δx(z)、δy(z);③轉角誤差 εx(x)、εy(x)、εz(x)、εx(y)、εy(y)、εz(y)、εx(z)、εy(z)和εz(z);④垂直度誤差εxy、εxz和εyz。

根據多體運動理論,分別在床身、工作臺和運動軸上建立坐標系,通過建立齊次坐標變換矩陣,建立刀具和工件之間的誤差方程,最后可得到立式數控銑床的空間誤差模型[7]：

對上面的建模結果進行分析后知,一臺3軸數控機床的誤差可以歸結為在空間3個方向的誤差Δx、Δy和Δz,這3個誤差和機床x、y和z方向的運動有關,如果重新記為Ex(x,y,z)、Ey(x,y,z)和Ez(x,y,z)(其中,下標 x、y、z 為誤差的方向,括號內的 x、y、z為運動方向),則

可以看到,以上9項誤差綜合了各個誤差元素,因此在進行誤差補償時無須求得具體的21項誤差元素,而可以通過用激光分步對角矢量測量方法測量機床工作空間立方體的4條體對角線誤差直接得到這9項誤差,進而建立空間誤差模型[7]。

2 基于支持向量機的空間誤差預測模型

在實際利用激光干涉儀進行數控機床誤差檢測時,只能按一定的坐標位置間隔離散地檢測出各空間誤差的大小。對于測量點間的誤差預測,目前主要通過線性插值或神經網絡(ANN)計算來確定。但由于實際測量的空間誤差數據中或多或少存在一定的噪聲,直接利用這些誤差數據進行線性插值時,等于對噪聲也進行了疊加而不是均化,造成預測值波動較大,泛化性不好,從而影響誤差補償精度。神經網絡方法的優化目標是基于經驗的風險最小化,這只能保證學習樣本點的估計(分類)誤差最小,而不能保證預測的效果達到最優,且神經網絡權系數的調整方法存在局限性,神經網絡容易陷入局部最優并過分依賴學習樣本。而支持向量機基于結構風險最小化原則,較好地解決了小樣本、非線性、高維數、局部極小點等實際問題,已在模式識別、信號處理、函數逼近等領域得到了應用。Suykens等[8]提出了最小二乘支持向量機(LS-SVM)方法,采用最小二乘線性系統作為損失函數,將不等式約束改為等式約束,求解過程變成了解一組等式方程,求解速度相對加快。本文引入 LS-SVM 方法,針對機床空間誤差特性與建模需求進行參數優化,為解決空間誤差預測中存在的問題提供一種可行的有效途徑。

LS-SVM的空間誤差預測問題描述為求解如下問題：

式中,xi為坐標輸入量;yi為預測目標值;ξi為殘差變量,ξi∈ R;φ(?)為核空間映射函數,φ(?)：Rn→Rnh;ω為權矢量,ω∈ Rnh;γ為可調參數;b為偏差量。

引入拉格朗日函數：

式中,αi為拉格朗日乘子。

根據極值存在的必要條件,得到如下方程組：

式(5)消去 ω和ξ,得到

根據Mercer條件[8],使用核函數K(x,xi),LS-SVM回歸估計可表示為如下形式：

其中,α、b由式(6)求解出。核函數K(x i,x j)為滿足Mercer條件的任意對稱函數,常采用徑向基函數(RBF)核函數：K(x i,x j)=exp[-(x ixj)2/(2σ2)],它只有一個待定參數σ,其值越大,收斂速度越快。對于采用徑向基核函數的LSSVM,主要參數是正則化參數γ和核函數寬度σ,這兩個參數在很大程度上決定了LS-SVM的學習和泛化能力。

3 空間誤差檢測與補償實驗

在一臺3軸立式小型數控銑床上進行空間誤差檢測及補償實驗(圖1)。機床測量空間范圍為200 mm×200 mm×120 mm。采用激光分步對角矢量測量方法,應用激光多普勒位移測量系統(LDDM),對機床工作空間立方體的4條體對角線進行分步矢量測量,從而得到比傳統的對角線測量多 3倍的數據,為誤差的分離提供足夠的數據。

圖1 激光分步對角矢量測量實驗

如圖2所示,機床共有4條體對角線,分別為PPP/NNN 、NPP/PNN 、PNP/NPN 、PPN/NNP。其中,P表示沿坐標軸正方向運動;N表示沿坐標軸負方向運動。

圖2 空間體對角線定義

以體對角線PPP為例(圖2),測量步驟如下：把機床工作空間x、y和z軸分成n等份,安裝在主軸上的移動光靶(平面反射鏡)從起始點開始,沿x方向移動一個步距后暫停,暫停過程中采集數據;然后沿y方向移動一個步距后暫停,采集數據;最后在z軸方向移動一個步距后暫停,采集數據。重復上述步驟一直移動到體對角線的另一端點。

通過LS-SVM方法進行數控機床的體對角線誤差建模,選用 RBF核函數,其中,參數γ=56.2,σ2=0.2。采用LS-SVM 方法對樣本數據進行訓練、建模,即可得空間誤差預測模型。圖3、圖4所示為補償前體對角線誤差實測值及神經網絡(ANN)、LS-SVM預測值。圖5、圖6所示為補償后機床體對角線誤差的變化。可見,各條對角線的誤差在補償后最大值都減小到了10μm以內,補償效果顯著。為了進一步定量評價神經網絡與LS-SVM兩種預測方法的精度,常使用平均絕對百分比誤差(MAPE)這個性能指標,其定義為

圖3 補償前正向體對角線誤差實測值及神經網絡、LS-SVM預測值

式中,li、l?i分別為實測值與預測值。

圖5 補償后正向體對角線誤差

圖6 補償后反向體對角線誤差

表1所示為兩種方法的比較結果,可以看出,LS-SVM方法的建模精度較神經網絡有所提高,在建模速度上則具有顯著優勢。

表1 LS-SVM建模與神經網絡建模方法比較

4 結論

對數控機床空間誤差進行預測與補償可有效地提高數控機床的位置精度。本文提出基于支持向量機的數控機床空間誤差辨識與補償方法,通過訓練學習,優化最小二乘支持向量機參數,可有效獲得數控機床空間誤差的預測模型。補償實驗結果表明,支持向量機空間誤差預測模型補償精度高、建模速度快,通過其補償可有效地提高數控機床的精度。

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[8] Suykens J A K,van Gestel T,de Brebanter J,et al.Least Squares Support Vector Machines[M].Singapore：World Scientific Pub.Co.,2002.