基于鞍點逼近的陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析

金雅娟 張義民 張艷林

東北大學,沈陽,110004

0 引言

金屬切削過程中,刀具在切除金屬的同時,其本身也逐漸被磨損,當磨損發展到一定程度時,刀具便會失去切削能力。因此,對金屬切削過程的摩擦、磨損進行研究,具有重要的經濟意義[1-3]。金屬切削刀具的可靠性是指刀具在規定的切削條件下和規定的時間內完成規定的切削工作的能力[4],該項性能直接影響生產過程中產品的質量、工作效率及整個系統功能的正常發揮,因而是衡量切削刀具性能優劣的重要指標之一,具有重大的研究意義。樊寧等[5]提出了利用 Monte-Carlo方法同切削實驗相結合的方法計算Al2 O3基陶瓷刀具磨損壽命的經典可靠度與模糊可靠度。許崇海等[6]基于模糊數學和可靠性數學的基本理論,闡述了刀具模糊可靠性的基本概念和評價方法,建立了陶瓷刀具模糊可靠性與刀具材料力學性能的關系。

鞍點逼近是作漸近分析的一個非常有用的工具,最早起源于復變函數,由Daniels[7]于1954年首先提出。它的一個很大的特點就是在小樣本情況下,逼近效果依然很精確。鞍點逼近理論的重要性已體現在經濟統計學中的各個方面[8-10]。文獻[11-12]應用鞍點逼近技術在概率不確定性方面作了大量的研究。本文將鞍點逼近理論應用在陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析中。

1 鞍點逼近理論

設X為隨機變量,X為隨機變量向量,fX(x)表示隨機變量X的概率密度函數,MX(t)表示隨機變量X的矩母函數,則有

那么隨機變量X的累積母函數(CGF)可由下式表示[11]：

隨機變量X的累積母函數有如下兩個性質[11]：

(1)假設X1,X 2,…,X n為相互獨立的隨機變量,并且用KXi(t)(i=1,2,…,n)表示它們的累積母函數,那么的累積母函數可由下式表示：

(2)假設隨機變量 X的累積母函數為K X(t),那么Y=aX+b的累積母函數表示為

式中,a、b為常數。

極限狀態方程Y=g(X)的概率密度函數(PDF)可以通過下式求得[7]：

式中,KY(?)為Y=g(X)的累積母函數;K″Y(?)為Y=g(X)的累積母函數的二階導數;ts為鞍點,ts的值為K′Y(t)=y 的解。

Lugannani等[13]給出了計算Y=g(X)累積分布函數(CDF)的精確公式：

式中,Φ(?)、φ(?)分別表示標準正態分布函數的累積分布函數和概率密度函數。

2 陶瓷刀具磨損壽命可靠性分析

2.1 陶瓷刀具磨損壽命

陶瓷刀具的磨損機理主要有磨粒磨損、黏結磨損、化學反應與擴散磨損、氧化磨損等。對于Al2O3基陶瓷,由于其化學穩定性好,摩擦因數小,所以在幾種磨損機理中,化學反應與擴散磨損的影響較小,可不考慮;黏結磨損和氧化磨損分別涉及由磨損副材料組合所決定的活化能以及材料的氧化活化能,由于活化能只是材料力學性能的隱函數,故在本文中這兩種磨損機理不予考慮;而對于磨粒磨損,由于其磨損機理簡單,磨損形貌清晰且較易測量,在切削用量較小的情況下,磨粒磨損所占的比例較大,因而可用磨粒磨損來衡量陶瓷刀具磨損性能的優劣[5]。對于磨粒磨損,材料的斷裂韌度和硬度對材料的耐磨性有很大的影響,Evans等[14]和 Wayne等[15]證明,其磨損率w s為

式中,KIC為斷裂韌度;H為硬度;C為與摩擦條件有關的系數,由于本文主要研究不同組分系的Al2O3基復相陶瓷刀具的磨損壽命問題,而暫不考慮工件材料對刀具磨損的影響,所以在本文中C作為常數。

確定了磨鈍標準M即可確定磨損體積V,根據式(10),刀具的磨損壽命N為[5]

其中,C1為與切削過程有關的常數,不考慮工件材料的影響,對于不同的Al2O3基陶瓷刀具材料,只要切削過程所使用的各工藝參數一致,則C1保持不變。

2.2 基本隨機參數均值與標準差的確定

以某種Al2O3基復相陶瓷刀具為例進行說明。許崇海等[16]已分別測得某種Al2O3基復相陶瓷刀具斷裂韌度和硬度的若干試驗值,并利用回歸方法求得了兩項力學性能的概率分布函數分別為三參數的Weibull分布函數：

三參數Weibull分布的均值和方差分別為[17]

則由式(14)、式(15)可分別計算出斷裂韌度K IC和硬度H的均值和標準差。

當極限狀態方程中含有非正態變量時,可以用一個與原函數等效的正態分布代替,所選用的這個正態分布與原函數的等效條件是：在任一設計點處應滿足分布函數值相等和概率密度函數值相等[17]。

設與原函數等效的正態分布的均值和標準差分別為μ′Xi和σ′Xi,則[17]

式中,fXi(?)、FXi(?)分別為原函數的概率密度函數及分布函數;φXi(?)、Ψ(?)分別為與原函數等效的正態分布的概率密度函數及分布函數。

所以

根據式(20)及式(21)可求得等效正態分布的均值和標準差為

一般采用迭代法計算等效正態分布的均值和標準差,迭代數次即可收斂。

2.3 刀具磨損壽命可靠性分析模型

刀具的磨損壽命只反映刀具個體性能的優劣,不能反映刀具的可靠性問題,因此不能有效地應用于實際。刀具可靠性通常指刀具在規定的時間內、在規定的條件下,完成規定的切削工作的能力[4]。要計算刀具的磨損壽命可靠性,首先必須確定一定的標準,這個標準稱為壽命閾值,通常壽命閾值是給定的。假定在一定的切削條件下,得到某種刀具的平均磨損壽命值 N1,在本文中,將平均磨損壽命 N1作為該種切削條件下的判斷標準[18]。可靠性分析計算的任務就是求出刀具的壽命大于壽命閾值N1的概率,或者,給出一定的概率(可靠性要求),求解壽命閾值N 1,即

式中,R為可靠度;f(x)為磨損壽命的概率密度函數;g(X)為狀態函數,可表示系統的兩種狀態。

為了簡化求解過程,將狀態方程轉化為如下形式：

為了求出狀態函數的累積母函數,首先將其作線性化處理,根據泰勒公式,在隨機變量的均值處將g(X)線性展開,并取展開公式的前兩項,則

根據上述隨機變量X的兩個性質,以及經過泰勒展開線性化的狀態函數g(X),狀態函數式

(25)的累積母函數可由下式表示：

3 數值算例

根據許崇海等[19]利用回歸方法求得的某種Al2O3基復相陶瓷刀具斷裂韌度和硬度兩項力學性能的三參數Weibull分布函數,利用本文提到的三參數Weibull分布均值和方差的求解方法得到斷裂韌度K IC、硬度H的均值和標準差分別為(μKIC,σKIC)=(6.03,0.3838),(μH,σH)=(92.326,0.4767),利用等效正態分布法,經過三次迭代運算,得到等效正態分布的斷裂韌度K IC和硬度 H 的均值和標準差分別為(μ′KIC,σ′KIC)=(6.3129,0.3377)和 (μ′H, μ′H)=(92.1852,0.2402)。根據樊寧等[5]提供的數據,取對數平均磨損壽命ln N1的平均值7.275為磨損壽命閾值,取ln C1為3.623。利用本文提出的鞍點逼近理論分析了陶瓷刀具的磨損壽命可靠性,并與用Monte-Carlo方法得到的結果進行了對比,結果如圖1、圖2所示。

圖1 概率密度函數比較曲線

在Monte-Carlo仿真計算中,根據文獻[5]提供的資料,隨機生成了20 000組斷裂韌度K IC、硬度 H樣本值,求得了 g(X)=N-N 1=C1K3/4ICH1/2-N1＞0時的概率。由圖1、圖2可以看出,由鞍點逼近法求得的Al2O3基陶瓷刀具的磨損壽命的狀態函數的概率密度函數曲線和累積分布函數曲線與用Monte-Carlo方法求得的結果基本上一致,并且尾部擬合較好,誤差很小,可靠性分析結果基本上一致。

圖2 累積分布函數比較曲線

4 結論

(1)利用等效正態分布法將服從Weibull分布的斷裂韌度K IC和硬度 H等效正態化,進而應用鞍點逼近技術分析了Al2O3基陶瓷刀具的磨損壽命可靠性。

(2)應用鞍點逼近理論分析刀具的磨損壽命可靠性,得到狀態函數的累積分布函數的同時,在沒有進行累積分布函數求導的情況下,得到了狀態函數的概率密度函數曲線。

(3)由于鞍點逼近理論不僅應用了隨機參數的均值和標準差,并且將狀態函數的完整信息也應用到了刀具磨損壽命可靠性分析中,所以得到了精度頗高的隨機響應的概率密度函數和累積分布函數,這一點也通過與Monte-Carlo數值分析方法對比得到了驗證。

[1] 肖茂華,何寧,李亮,等.陶瓷刀具高速切削鎳基高溫合金溝槽磨損實驗研究[J].中國機械工程,2008,19(10)：1188-1192.

[2] 宋新玉,趙軍,姜俊玲.加工Inconel718時陶瓷刀具的磨損機理[J].中國機械工程,2009,20(7)：763-767.

[3] 邵芳,劉戰強,萬熠,等.基于熱力學的 LT55陶瓷刀具加工45鋼擴散與氧化磨損[J].中國機械工程,2009,20(1)：74-78.

[4] 李兆前.金屬切削刀具可靠性的研究[D].濟南：山東工業大學,1993.

[5] 樊寧,艾興,鄧建新.陶瓷刀具的磨損壽命可靠性[J].機械工程學報,2002,38(4)：30-35.

[6] 許崇海,艾興,李兆前,等.陶瓷刀具模糊可靠性及其與刀具材料力學性能的關系[J].山東工業大學學報,1998,28(6)：515-520.

[7] Daniels H E.Saddlepoint Approximations in Statistics[J].Ann.Math.Statist.,1954,25：631-50.

[8] Wang S.General Saddlepoint Approximations in the Bootstrap[J].Statist.Probab.Lett.,1992,13(1)：61-66.

[9] Reid N.Saddlepoint Methods and Statistical Inference(with discussion)[J].Statist.Sci.,1988,3：213-238.

[10] Gouits C,Casella G.Explaining the Saddle Approximation[J].Am.Statist.,1999,53(3)：216-224.

[11] Huang Beiqing,Du Xiaoping.Probabilistic Uncertainty Analysis by Mean-value First Order Saddlepoint Approximation[J].Reliability Engineering and System Safety,2008,93：325-336.

[12] Du Xiaoping.Saddlepoint Approximation for Sequential Optimization and Reliability Analysis[J].Journal of Mechanical Design,2008,130：1-11.

[13] Lugannani R,Rice S O.Saddlepoint Approximation for the Distribution of the Sum of Independent Random Variables[J].Adv.Appl.Probab.,1980,12：475-90.

[14] Evans A G,Wilshaw T R.Quasi-static Solid Particle Damage in Brittle Solids(I)：Observations A-nalysis and Implications[J].Acta Metal,1976,24(10)：939-956.

[15] Wayne S F,Buljan S T.Microstructure and Wear Resistance of Silicon Nitride Composites[M].New York：Elsevier Press,1994.

[16] 許崇海,黃傳真,鄧建新,等.氧化鋁基陶瓷刀具切削可靠性研究—力學性能的隨機特性分析[J].機械設計與制造,1996,20(6)：13-15.

[17] 張義民.汽車零部件可靠性設計[M].北京：北京理工大學出版社,2000.

[18] 樊寧,高子輝,艾興.陶瓷刀具的破損壽命及其可靠性[J].中國機械工程,2004,15(23)：2134-2137.

[19] 許崇海,艾興,黃傳真.氧化鋁基陶陶瓷刀具切削可靠性研究——基于磨損的刀具可靠性[J].工具技術,1998,32(1)：4-7.