基于正則形理論的非線性穩(wěn)定因子

鄧集祥 姜 濤 姜傳霏 歐小高

（東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院 吉林 132012）

1 引言

由于得不到非線性動態(tài)電力系統(tǒng)解析解，所以電力系統(tǒng)大擾動下的穩(wěn)定分析無法使用特征分析方法，主要都是利用數(shù)值方法求解。近年來，由于有了電力系統(tǒng)二階近似解[1-6]，所以用解析法分析電力系統(tǒng)的動態(tài)特性，也就是在模態(tài)空間分析電力系統(tǒng)的動態(tài)特性就有了可能。大區(qū)電網(wǎng)的互聯(lián)，系統(tǒng)stressed度增強(qiáng)，系統(tǒng)非線性對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響加大的情況下，即使一個在以往研究中不被重視的較小的擾動，由于系統(tǒng)非線性的加大也可能不允許再被忽略。這時，動態(tài)電力系統(tǒng)的二階近似解[1-6]就起到了從另一側(cè)面更有效地分析系統(tǒng)穩(wěn)定與動態(tài)特性的作用。但組成二階近似解的主要成分仍然是線性化分析中的eλi，即基本元素仍然是模式λi[3-8]，所以只要Re(λi.)＜0，通過近似解分析的結(jié)果系統(tǒng)就將是穩(wěn)定的。即使這時的擾動已大到足以使系統(tǒng)失穩(wěn)，或者擾動持續(xù)的時間也長到足以使系統(tǒng)失穩(wěn)，由這些解或這些解曲線也得不到或看不出系統(tǒng)失穩(wěn)的情況。

本文在研究正則形二階變換[7,9]過程中省略的交叉項和三階項的基礎(chǔ)上，提出了分析大擾動下電力系統(tǒng)穩(wěn)定的阻尼因子和穩(wěn)定域因子的新概念，從而得到解決上述問題的一個新方法。在形成這兩個因子的過程中不僅考慮了每個模式的高階項，而且進(jìn)一步考慮了模式間的非線性相關(guān)作用。阻尼因子是用來描述隨著擾動持續(xù)時間的不同，每個正則形變量幅值變化快慢的情況；穩(wěn)定域因子被用來確定每個正則形變量在不同的擾動持續(xù)時間下的大致穩(wěn)定范圍。即通過阻尼因子和穩(wěn)定域因子可以分析大擾動下電力系統(tǒng)非線性振蕩曲線特征的改變情況，獲得振蕩曲線幅值和周期發(fā)生變化的一些重要信息，進(jìn)而從解析解這一側(cè)面來研究大擾動下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對小擾動下的 stressed系統(tǒng)，通常的特征分析方法無法適應(yīng)其強(qiáng)非線性時，本文提出的方法同樣適用。算例結(jié)果證明了本文所提出的非線性穩(wěn)定因子這一新概念的正確性和在電力系統(tǒng)中應(yīng)用的有效性。

2 二階正則形變換

動態(tài)電力系統(tǒng)可以描述為

式中，X為狀態(tài)變量；X0為f(X)的平衡點。

對式（1）泰勒級數(shù)展開如下：

式中，A為系統(tǒng)一階部分的系數(shù)矩陣，即系統(tǒng)的雅可比矩陣。通過以下的線性變換：

式中，U為A的右特征矢量陣，系統(tǒng)（1）可以轉(zhuǎn)化為以下形式：

式中，JY代表線性部分；F2(Y)代表F(Y)泰勒級數(shù)展開式二階項；F3(Y)代表F(Y)泰勒級數(shù)展開式三階項，H.O.T為F(Y)泰勒級數(shù)展開式四階和四階以上項。

對式（4）中的二階項F2(Y)進(jìn)行坐標(biāo)變換：

在Z非常小的情況下，有

式中，I為N×N單位陣；Dh2(Z)和DF2(Z)分別為h2(Z)和F2(Z)的雅可比矩陣。

把式（5）代入式（4）并應(yīng)用式（6）和式（7）得

為了消去式（7）中的二階項，變換式（4）必須滿足方程

式中，F(xiàn)l為F的第l個元素；λl為A的第l個特征值。

在式（5）的條件下，系統(tǒng)（4）可以轉(zhuǎn)化為

如果令系統(tǒng)第i個模式λi=σi+jΩi，在只考慮振蕩模式的情況下簡化式（12），可得

式中，為zj的共軛。去掉式（13）右端高階項就是通常二階正則形矢量場[6]，而式（13）中的zi則是考慮了二階變換中省略的交叉項和三階項后新的正則形變量。

根據(jù)二階變換式（9）和式（10）可以得到

設(shè)式（15）中的實部為aij，虛部為bij，則有

3 正則形二階變換所省略三階項的坐標(biāo)變換

式中，ri代表模式i的幅值；θi代表模式i的相角。

在僅僅考慮模式i的情況下，式（16）和式（17）可寫為

根據(jù)式（18）可得

將式（20）代入式（18）整理得

4 非線性穩(wěn)定因子的分析

4.1 阻尼因子aij

由于aij代表了二階正則變化中省略的三階交叉項的系數(shù)，所以描述了模式i和模式j(luò)之間的非線性相互作用。進(jìn)而，由于式（14）的第二項和式（15）的相互作用形成對正則形變量zi的影響可以直接通過aij的計算來定量估計。

4.2 穩(wěn)定域因子Ri

如果式（16）中aiM(M≠i)與aii相比較小，即除模式i以外其他模式間相互作用很弱（也就是模式i不與其他模式發(fā)生一階諧振和一階準(zhǔn)諧振[6]）時，正則形變量zi的幅值為

式中，Ri給出了正則形變量zi的大致穩(wěn)定范圍，當(dāng)ri＞Ri時（正則形變量zi的幅值超過Ri），由式（18）知ir˙＞0。顯然，這時系統(tǒng)將失穩(wěn)。即使特征分析指出系統(tǒng)在平衡點是穩(wěn)定的，也就是說，即使所有模式的實部都小于零，系統(tǒng)振蕩也將是發(fā)散的。

5 算例分析

圖1 五機(jī)系統(tǒng)Fig.1 Five-generator system

表1 低頻振蕩模式Tab.1 Inertial modes

表2 非線性穩(wěn)定因子Tab.2 Nonlinear stability factor

為驗證上述計算分析的正確性，針對這些不同的故障清除時間進(jìn)行時域仿真，結(jié)果如圖 2～圖 7所示。其中圖2、圖4和圖6是依據(jù)式（20）所得的z1和z2振蕩曲線，圖3、圖 5和圖7是發(fā)電機(jī)G2、G3、G4轉(zhuǎn)子角曲線（G1作為參考機(jī)）。

（1）當(dāng)故障清除時間tc=0.01s時，仿真結(jié)果列于圖2和圖3。由圖2可以看出，正則形變量z1和正則形變量z2的幅值都是衰減的，且z2比z1幅值衰減得更快。由圖3可以看出，此時發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角也都是衰減的，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這和①的結(jié)論是相同的。

圖2 正則形變量z1和z2的振蕩曲線（tc=0.01s）Fig.2 Oscillations curves of z1 and z2（tc=0.01s）

圖3 發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角曲線(tc=0.01s)Fig.3 Rotor angles curves of the generators (tc=0.01s)

（2）當(dāng)故障清除時間tc=0.09s時，仿真結(jié)果列于圖4和圖5。比較圖2和圖4可以看出，tc=0.09s時z2的幅值衰減比tc=0.01s時變慢，z1幅值的衰減也變慢，但沒有z2幅值衰減變慢得快，在這種情況下很難區(qū)分z1和z2哪個更加穩(wěn)定。

圖4 正則形變量z1和z2的振蕩曲線（tc=0.09s）Fig.4 Oscillations curves of z1 and z2（tc=0.09s）

圖5 發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角度曲線(tc=0.09s)Fig.5 Rotor angles curves of the generators (tc=0.09s)

（3）當(dāng)故障清除時間tc=0.11s時，仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖6可以看出，z2的幅值增大，從而導(dǎo)致發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角振蕩發(fā)散（見圖7），系統(tǒng)失穩(wěn)。這和上面（3）的結(jié)論是相同的。

圖6 正則形變量z1和z2的振蕩曲線（tc=0.11s）Fig.6 Oscillations curves of z1 and z2（tc=0.11s）

圖7 發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角曲線(tc=0.11s)Fig.7 Rotor angles curves of the generators (tc=0.11s)

6 結(jié)論

本文在正則形二階變換基礎(chǔ)上，充分考慮和利用正則形二階變換過程中省略的交叉項和省略的三階項，提出了分析大擾動下電力系統(tǒng)穩(wěn)定的非線性穩(wěn)定因子的新概念，即提出了阻尼因子和穩(wěn)定域因子的新概念。通過阻尼因子可分析大擾動下正則形變量幅值的改變情況，通過穩(wěn)定域因子可獲得大擾動下正則形變量大致穩(wěn)定的區(qū)域，進(jìn)而判斷大擾動下系統(tǒng)動態(tài)特性和穩(wěn)定情況。對小擾動下的stressed系統(tǒng)，通常的特征分析方法無法適應(yīng)其強(qiáng)非線性時，本文提出的方法同樣適用。這些穩(wěn)定信息從以往的分析理論和方法中是得不到的，這就從另一側(cè)面為系統(tǒng)的穩(wěn)定分析提供了一條可行途徑。電力系統(tǒng)算例仿真結(jié)果證明了本文所提出非線性穩(wěn)定因子這一新概念的正確性和在電力系統(tǒng)中應(yīng)用的有效性。

由于實際大規(guī)模電力系統(tǒng)的復(fù)雜性，本文所提出的數(shù)學(xué)模型只是某種程度的近似。求解電力系統(tǒng)更高階解析解，以及解決其在大規(guī)模電力系統(tǒng)中應(yīng)用的維數(shù)災(zāi)問題將是下一步研究的重點。

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