基于最大比合并的超定盲源分離

姚俊良，楊小牛，李建東，付衛紅，李釗，張琰

(1.西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071；2.中國電子科技集團公司 第三十六研究所，浙江 嘉興 314001)

1 引言

在源信號和信道狀態都未知的情況下，僅利用接收的混合信號來獲得源信號的技術，稱為盲源分離(BSS,blind source separation)[1]。近年來，BSS已成功應用到通信信號處理、語音的識別和增強、圖像處理以及腦電信號處理等諸多領域[2～6]。

現有的盲源分離算法通常都假定接收天線個數等于源信號個數，即適定的盲源分離問題。但在許多實際的應用中，源信號個數并不等于接收天線個數（非適定盲源分離包括超定和欠定2種情況）。在這種情況下，混合矩陣不再是方陣，并且不再可逆，因此非適定情況下盲源分離算法的研究有更大的實際意義。而對于欠定盲源分離，如果沒有源信號的額外先驗信息，即使獲得混合矩陣也無法分離出源信號，因此本文的討論僅限于超定的情況。

對于超定盲源分離的研究，目前主要有2大類算法：第1類算法中，Amari、Zhang等人從李群(Lie group)和Stiefel流形出發[7,8]，將適定自然梯度算法推廣到超定情況。這類基于梯度的算法收斂速度較慢，算法穩定性受混合矩陣的影響很大[9]。第2類算法首先通過白化預處理[10,11]將超定分離問題轉化為適定分離，然后再利用傳統的適定盲分離算法，這類算法的缺點是沒有充分利用接收端的天線來獲得分集增益。

在移動通信中，通常采用分集接收、合并處理的方法來獲得分集增益，從而抵抗信道衰落[12]。最大比合并(MRC,maximum ratio combining)是一種較好的合并處理方式，它可以最大化接收信號的信噪比(SNR)，但MRC并沒有考慮到干擾信號。FastICA算法[10]是目前常用的復信號BSS算法之一，它可以消除期望信號中的多用戶干擾，但是算法并不能很好地處理噪聲。

2 信號模型和FastICA算法介紹

2.1 信號模型和假設

FastICA算法是基于獨立分量分析(ICA)的一種盲源分離算法，瞬時線性ICA模型可以表示為

其中，x=(x1,x2,…,xm)T、s=(s1,s2,…,sd)T和 n=(n1,n2,…,nm)T分別表示m×1維的觀測信號向量、d×1維的非高斯源信號向量和m×1維的加性高斯噪聲向量，A表示m×d維的混合矩陣。m、d是接收天線數目和源信號數目(本文主要研究m＞d的情況)，上標T表示轉置，高斯白噪聲n與源信號s的各個分量統計獨立并且方差為2σ。在本文的信號模型中源信號s、混合矩陣A和噪聲信號n都是復信號。

ICA的基本假設是各個源信號分量相互統計獨立并且非高斯，混合矩陣A列滿秩。ICA的目的是在A未知的情況下，通過尋找一個線性變換使得線性變換輸出信號y的各個分量盡可能統計獨立，則y就是源信號s的估計信號。下面介紹一種目前常用的解決ICA問題的算法——FastICA。

2.2 FastICA算法介紹

復信號的 FastICA算法最早由 E.Bingham[10]提出，它有串行算法(S-FastICA,serial FastICA)和并行算法(P-FastICA,parallel FastICA) 2種實現方式，它們都需要對觀測信號進行白化預處理。白化處理過程如下：

S-FastICA算法的輸出可表示為

其中，wi(i=1,2,…,d)表示分離矩陣W的第i個列向量，上標H表示共軛轉置，yi是第i個分離信號，S-FastICA算法的核心迭代步驟如下：

式(5)中上標*表示復數共軛，E[·]表示數學期望。式(6)中B是由已經獲得的分離向量wj(j=1,2,…,i-1)組成的矩陣，當計算w1時，B取元素全為0的m 維列向量 0m×1，式(6)的目的是使 wi與已分離向量wj(j=1,2,…,i-1)相互正交，以保證算法每次分離出不同的信號分量。

并行算法 P-FastICA每次對所有分離向量W=(w1,w2,…,wd)進行迭代，為了保證分離出不同信號分量，算法在每次迭代后要進行對稱正交化，這個正交化可以采用下面公式：

在超定情況下(m＞d)，FastICA算法通過白化可以降低信號維數和噪聲，提高算法的分離性能。然而傳統的FastICA算法沒有充分利用接收天線的信息來獲得分集增益，并且為了保證每次分離出不同的源信號，串行算法采用的壓縮影射(deflation) 會引入誤差累積，使得源信號恢復質量逐漸惡化。并行算法采用的對稱正交化會增大分離信號中的殘留干擾，導致算法性能下降。

3 MRC-FastICA算法

3.1 算法具體過程

針對傳統FastICA算法存在的上述問題，本文提出一種基于最大比合并的 FastICA算法(MRC-FastICA)。算法的基本結構如圖 1所示，包括下面4個實現步驟。

1) 觀測信號分組

天線的接收信號為x=[x1,x2,…,xm]，分組的目的是將x分為k組：{x1,x2,…,xk}，其中xi(i=1,2,…,k)是由d個天線陣元的接收信號組成的向量。為了保證xi的混合矩陣列滿秩，并且算法可以獲得盡可能多的分集增益，分組需要遵循以下3個原則：①每個分組信號xi不能包含多個相同天線陣元接收的信號，因此k的理論最大值為；②這 k個分組信號包含了所有天線接收的信號，即x=x1∪x2∪…∪xk； ③不同分組信號xi、xj(i≠j)包含的分量盡可能不完全相同。

2) 源分離

d維觀測向量xi的每個分量都是由d個源信號混合而成，因此對xi可以利用適定BSS算法進行信號分離。本文中BSS算法采用S-FastICA，對所有i=1,2,…,k對應的xi進行分離后，可以得到k組源信號的估計

3) 分離信號歸類

這一步完成對k組估計信號的歸類：將屬于同一源信號的估計信號歸為一類。由于FastICA算法存在順序不確定性，因此不能簡單地根據分離次序來歸類信號。考慮到源信號之間相互獨立，本文利用相關性作為信號歸類的依據。

用向量 yl(l=1,2,…,d)來存儲與1,l有相同源信號的估計信號，其初始值如果

4) 最大比合并

如果在步驟3)得到的yl是第j個源信號的估計，則有如下信號模型：

其中，s-j表示源信號s中除了sj的剩余信號組成的信號向量，b、C 為未知的 k×1、k×(d-1)維系數矩陣。最大比合并的目的就是尋找一個合并向量vl，使得合并輸出的信號?l（即源信號sj的最終估計值）信干噪比（SINR）最大。合并輸出信號為的SINRl為

圖1 MRC-FastICA算法結構

式(11)是標準的廣義Rayleigh商形式，從文獻[13]可知，使其最大化的權值向量為

其中，Ryl=Rs?j+Ri+n?是第l組歸類信號(式(9))的自相關矩陣，最佳系數

式(12)得到的權值向量vl-opt雖然是最佳的，但它需要知道向量b，在本文中b是無法獲得的。通過分析發現，式(12)與最大化目標函數(13)所得的收斂解vl[14,15]僅相差一個常系數。

目標函數J(vl)的最大化可以采用梯度法。

其中，μ是步長因子，p表示迭代次數，文獻[14]給出式(14)中?vlJ(vl)的表達式如下：

當μ值的選擇合適，梯度法(14)可以保證算法收斂，但它存在收斂速度慢的缺點。為了提高收斂速度，在本文的算法中，先采用超指數算法[17]得到一個 vl的初始值，然后利用梯度法(14)迭代直至收斂。超指數算法的核心迭代公式如下：

其中，

1) 令p=1，隨機選取一個k維的單位模值合并向量vl(p)，可得

2) 利用式(16)對 vl(p)進行迭代，得到 vl(p+1)和(p+1)。

3) 如果(式 13)目標函數 J(vl(p+1))＞J(vl(p))，令p=p+1，返回2)繼續迭代；否則令p=p+1執行4)。

4) 利用式(14)對vl(p)進行迭代，得到vl(p+1)。

5) 如果式(14)中?vlJ(vl(p))大于設定的門限值β，則算法還沒有收斂，令p=p+1，返回4)繼續迭代，否則算法收斂，第l個估計信號為

3.2 算法總結

綜上所述，MRC-FastICA算法執行的具體過程如下。

1) 觀測信號分組：從m個天線陣元的觀測信號中隨機選擇d個，組成d維的觀測信號向量xi。重復執行k次，形成k組d維觀測信號向量：{x1,x2,…,xk}。

2) 源分離：利用S-FastICA算法對xi(i=1,2,…,k)進行分離，可以得到 k組源信號的估計

4) 最大比合并：利用MRC算法對yl進行合并，得到估計信號?l。對l從1到d重復執行，可以得到所有源信號的估計：

下面對MRC-FastICA算法進行討論。

1) 如果信源數 d已知，可以直接利用MRC-FastICA算法進行信號分離。而在實際的情況下，源信號個數有可能是未知的，首先需要估計 d的值。估計方法包括：子空間方法[18]和基于信息論準則的方法[19]。

2) MRC-FastICA算法的分離信號依然存在順序模糊性，對于復信號，還存在相位模糊性，這對很多實際系統(特別是無線通信系統)的后續處理是非常不利的，這個問題可以通過利用其他先驗信息設計半盲算法來解決[20]。

3.3 算法示例及定性分析

下面通過一個簡單示例來描述 MRC-FastICA算法的執行過程。

例：圖1中源信號數d=2、接收天線數m=3，因此觀測信號向量。

如果算法的分組數 k=2，按照分組原則，2組適定混合的觀測信號向量可表示為

利用傳統的串行S-FastICA算法對x1、x2進行適定盲源分離，得到2組源信號的估計如下(這里不考慮觀測信號的預白化)：

如果對式(21)的2組分離信號進行歸類后得到：其中，y1和y2分別為對應于s1和s2的歸類信號，對y1、y2分別進行最大比合并，可得到源信號的最終估計值：

定性分析：從式(22)可以看出，屬于源信號 s1的 2個估計信號為1,1和2,2，這 2個信號有不同的SINR性能，這主要是以下2個原因造成的：①1,1和2,2分別屬于觀測信號x1和x2的分離信號，而x1、x2的混合系數 A1和 A2不同將會使1,1和2,2的 SINR性能不同；② 從式(21)可知，1,1是 x1的第 1個分離信號，2,2是x2的第 2個分離信號(S-FastICA算法存在順序模糊性)，而由于S-FastICA算法存在誤差累積，不同的分離次序會導致不同的分離性能，因此1,1和2,2的 SINR 性能不同。

從上面的討論可知，MRC-FastICA算法是對具有不同SINR性能的多個分離信號(對應于同一源信號)進行最大比合并，來得到最終的分離信號。移動通信中經常采用多條具有獨立衰落特性的路徑來傳輸相同的信息，并在接收端對接收到的信號進行適當合并來獲得分集增益，從而抵抗信道衰落。同樣本文算法通過對多個具有不同SINR性能的分離信號進行最大比合并，也可以獲得分集增益。

4 仿真實驗和結果分析

實驗中源信號個數d=4，并且4個獨立源信號為同頻數字調制信號，分別為2個16PSK信號，2個QPSK信號。接收端是m陣元的等距線陣，因此混合矩陣的第i個列向量為

其中，da表示等距線陣相鄰天線之間距離，它的值取為信號波長的一半，c是光速，ωi、θi分別是第i個信源的角頻率和入射角度，θi在[0,π]內服從均勻分布，MRC算法中的門限值β=10-4，式(14)的步長因子μ=1，算法采用的樣本數為1 000。

實驗1 在m=8和SNR=20dB時，仿真了4種算法的分離效果，這4種算法分別是S-FastICA算法[10]、P-FastICA 算法[10]、基于相對梯度的 EASI算法[11]和本文提出的MRC-FastICA算法。圖2是一次實驗的仿真結果，分別畫出了源信號、混合信號以及4種算法得到的分離信號的星座圖。

在本次實驗中，源信號入射角 θ=[θ1,θ2,θ3,θ4]和混合矩陣 A=[a(θ1);a(θ2);a(θ3);a(θ4)]分別為：

圖2 源信號、分離信號以及4種算法得到的分離信號星座圖

圖 2(c)是 S-FastICA算法的分離信號星座圖，從中可以看出，算法存在誤差累積，分離的信號質量越來越差；圖2(d)、圖2(e)分別給出了P-FastICA和 EASI算法的分離信號星座圖，可以看出P-FastICA和EASI算法的性能基本相同，這2種算法在每次迭代中都對分離矩陣進行了正交化處理(前者是對每次迭代得到的分離矩陣進行對稱正交化，后者是在算法中加入了正交化約束)，這個正交化處理會增大分離信號中的殘留干擾，導致算法分離性能下降；圖2(f)是MRC-FastICA的分組數k=4時的分離結果，從圖中可以看出其分離性能最好，這是因為當k=4時，MRC-FastICA算法可以充分利用接收天線的信息來獲得分集增益，降低了串行算法誤差累積的影響。與并行算法相比，本文算法避免了正交化處理帶來的互干擾，因此它的分離效果最好。上述4種算法都存在順序模糊性問題，因此分離信號與源信號之間的對應關系不完全一致，這可以通過設計半盲算法來解決。

實驗2 從第3節中算法的分析過程可知，對多組分離信號的正確歸類是最大比合并的基礎，本文利用信號的相關性來進行信號歸類，并仿真了在不同 SNR情況下，算法正確歸類概率隨樣本數的變化。實驗中衡量歸類正確的方法是：如果歸類信號中所有分量兩兩之間都滿足步驟 3)所提出的歸類原則(相關函數模值矩陣中對應元素最大)，并且在每次歸類結束后，所有分離信號都被歸到某一類中，則認為本次歸類正確。

圖3給出了m=8時的仿真曲線，仿真中MRCFastICA算法分組數k=4，仿真結果是1 000次獨立仿真后統計得到的。從圖3可以看出，隨著SNR和樣本數的增加，算法正確歸類的概率也呈增大趨勢。當SNR=10dB，正確歸類概率在樣本數大于400時基本保持在0.9左右。當SNR=20dB時，正確歸類概率在樣本數大于200時保持穩定，達到0.96左右。

圖3 分離信號正確歸類概率與樣本數之間的關系

實驗 3 本實驗仿真了分離信號的輸出 SINR(signal-to-interference- plus-noise ratio)性能，仿真結果是500次獨立仿真后進行平均得到的。下面給出仿真中分離信號SINR的表達式。

若第i個分離信號的最終分離向量為fi，，則第i個分離信號為

它的SINR可以表示為

其中，Ps為源信號功率，max(gi)是向量gi的最大元素、sum(gi)是向量gi所有元素之和。分母第1項、第2項分別表示分離信號中干擾分量和噪聲分量的功率。

圖4給出了當m=8，SNR=20dB時，4種算法分離信號SINR隨分離信號次序變化的曲線。其中MRC-FastICA算法的分離信號次序是按照 x1的分離次序來排列的，算法的分組數 k=4。從圖中可以看出，S-FastICA算法由于誤差累積的影響，分離性能隨著分離次序的增大逐漸下降，圖中S-FastICA算法第一個分離信號SINR高于輸入SNR(20dB)，這是因為在本實驗中，接收天線陣元數(m=8)大于信源個數(d=4)，這種情況下算法采用的預白化可以降低噪聲的影響；P-FastICA算法和EASI算法由于正交化約束使得整體分離性能下降，這與實驗1的結果是吻合的。MRC-FastICA算法由于獲得了分集增益，因此大大降低了誤差累積的影響，算法的整體性能最好。圖5給出了4種算法的SINR性能隨SNR的變化曲線。從圖中可以看出，隨著SNR的增加，4種算法的各個分離信號SINR都隨SNR的增加而增大。由于可以獲得分集增益，MRC-FastICA算法的性能要優于其他3種算法。

圖4 分離信號SINR與分離信號次序

圖6給出了分組數k取不同值時MRC-FastICA算法得到的分離信號SINR性能曲線。從圖中可以看出，k值越大，MRC-FastICA算法的性能越好。這是因為k值越大，算法利用的天線組合越多，分集增益也就越大。當k=1時，算法沒有利用到多余天線來提供分集，而且也沒有利用多余天線來降低噪聲，因此算法性能要劣于傳統S-FastICA算法。

圖 7所示為當接收天線數 m取不同值時，MRC-FastICA算法(k=4)得到的分離信號SINR性能曲線。從圖中可以看出，m值越大，算法性能越好。這是因為接收天線數越多，算法可利用的觀測信號信息越多，分集增益也就越大。

圖5 分離信號SINR性能隨SNR的變化曲線

圖6 分組數對MRC-FastICA算法分離性能的影響

圖7 接收天線數對MRC-FastICA分離性能的影響

5 結束語

本文提出一種基于最大比合并的超定盲源分離算法，該算法利用 S-FastICA來消除期望信號中其他用戶的干擾，為 MRC提供同一源信號的多個分集信號，并利用 MRC得到最終的分離信號。仿真實驗和分析表明，所提算法通過對不同觀測信號組合的分離信號進行最大比合并，可以獲得分集增益，并且隨著分組數和接收天線數的增大，分集增益也增加。該分集增益不僅可以降低 S-FastICA中誤差累積的影響，而且避免了串行算法由于正交化處理帶來的殘留干擾，算法有更好的SINR性能。

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