中繼輔助MIMO 系統中基于有限反饋的分布式波束成形

李春國，仲崇顯，楊綠溪

（1.東南大學 水聲信號處理教育部重點實驗室，江蘇 南京 210096；2.東南大學 信息科學與工程學院，江蘇 南京210096)

1 引言

中繼輔助的蜂窩無線通信系統具有擴展小區覆蓋范圍、改善小區邊緣用戶的頻譜效率、克服陰影衰落等優點。中繼通信的思想早在 30多年前就有人提出[1]，其模型是最簡單的3節點模型，其中包括1個信源、1個中繼和1個信宿，且這3個節點都只有1根天線。近年來，研究人員分別從中繼協議、信息論和處理算法的角度研究了中繼通信，例如：針對單輸入單輸出(SISO,single-input sin-gle-output)的無線中繼通信系統，有 3種典型的中繼協議，即放大轉發[2](AF,amplify-and-forward)、解碼轉發[3](DF,decode-and-forward)和壓縮轉發[4](CF,compress-and-forward)，其中AF中繼協議由于不需要解碼直接轉發信號，處理復雜度和功率消耗都很低，所以應用更為廣泛。同時，多輸入多輸出(MIMO)通信系統能夠通過利用空間復用增益、空間分集增益和陣列增益提高通信的有效性和可靠性[5]。將MIMO技術和中繼技術相結合能夠利用二者的優點進一步地提高通信性能[6,7]。文獻[6]研究了中繼輔助MIMO通信的信道容量，并且推導出信道容量的上界函數和下界函數；文獻[7]證明了中繼轉發矩陣的最優結構，并得到了中繼的最優功率分配方案。然而上面的研究成果都是針對單個多天線中繼的通信系統而沒有考慮多個中繼的情況，多中繼協作通信涉及到分布式中繼的協作或協同。多中繼協作通信系統中，當所有節點都配備單根天線時，聯合功率分配或分布式波束成形能夠有效提高通信性能[8,9]。文獻[8]為獲得協作分集度，提出了基于中斷概率最小化準則的功率分配方案。然而，這些研究都是針對多個中繼進行功率分配而沒有考慮多中繼的相位旋轉（即波束成形）問題。實際通信系統中，發送信號和信道都是復數，這使得多中繼的聯合優化不但包括聯合的功率分配而且包括聯合的相位旋轉，即波束成形。

波束成形技術是 MIMO系統中最引人注目的技術之一[10]，該技術是發射機通過利用信道狀態信息對發射信號進行發送預相干疊加，從而實現發射天線分集的目的。在多中繼輔助的通信系統中，針對所有節點都是單天線的情況，出現了多中繼轉發的聯合優化[11]或網絡波束成形[12,13]的研究，這些文獻都把所有的中繼視為一個整體而將接收信號協作地放大，并進行相位旋轉，然后再轉發給信宿。文獻[11]不同于文獻[12,13]的地方是前者利用矩陣分析的方法，而后者利用幾何空間分析的方法。然而，這些文獻都是針對所有節點配備單根天線的情形而沒有考慮多天線的情況。當系統的信源和信宿都配備多根天線，且使用多個分布式中繼進行協作通信時，該系統的協作不能只局限在中繼的層次上，而應該在包括多天線的信源、多個分布式的中繼和多天線的信宿的系統級上進行協作。針對該系統，本文研究了發射天線、分布式中繼和接收天線組成的聯合波束成形。特別地，上面文獻都是假設每個中繼都必須獲取理想的信道狀態信息(CSI,channel state information)，然后由于接收機的信道估計不準確、信道信息的反饋有時延、噪聲污染，使得該假設是不現實的，更為實用的情況是中繼只知道部分CSI，所以本文考慮基于有限反饋的聯合波束成形問題。在沒有中繼的MIMO系統中，基于有限反饋的波束成形問題已趨成熟[15,16]，但是本文要研究的多中繼輔助分布式MIMO系統中基于有限反饋的聯合波束成形問題，它涉及到多個中繼的放大轉發，在設計分布式波束成形的碼本時更為復雜。

本文內容如下：第2節給出聯合波束成形的系統模型，并得到接收端的信噪比；第3節首先推導出接收端 SNR的下界，其次基于該下界得到一個代價函數，并利用該代價函數構建聯合優化整個網絡的波束成形的數學模型；然后，針對該數學模型，推導出分布式波束成形的最優解；最后利用廣義Lloyd算法設計該最優解的碼本，其中更新碼本時本文設計一個專用的迭代算法；第4節給出計算機實驗仿真；第5節是本文的結束語。

2 系統模型

如圖1所示，本文考慮一個分布式中繼輔助的MIMO通信系統，它包括一個配備M根天線的信源（例如基站端）、K個單天線的分布式中繼站和一個配備N根天線的信宿(例如用戶端)，多個協作式的中繼采用放大轉發協議。在第一個時隙內，信源把數據流進行發射波束成形后廣播給所有的中繼；在第二個時隙內，多個中繼分布式地協作處理各自的接收信號，并轉發給信宿，其中任何中繼間都不能交換各自的接收信號，也不能交換各自的 CSI。由于路徑損耗及嚴重的陰影衰落等影響，信源和信宿間的通信已確定為中繼轉發的兩跳通信。

第一個時隙內，所有中繼各自的接收信號組成的列向量是

其中，x∈C1×1表示信源的發送信號，列向量 d1∈CM×1表示信源的發射天線波束成形，H∈CK×M是第一1跳的信道響應（信源到所有中繼）， n∈CK×1是第1一跳信道的噪聲服從分布每個中繼要重新轉發的信號組成的列向量是

其中，Dr=diag(dr)表示對角陣Dr的對角元是dr的元素，列向量表示多中繼的分布式發射波束成形矢量，由于中繼間不能交換各自的接收信號且每個中繼都配備單天線，所以轉發矩陣Dr必須是對角陣。考慮到第二跳的信道噪聲和信宿的接收合并，信宿的輸出信號為

其中，列向量 z∈CN×1表示信宿的接收機，(·)H表示取共軛轉置， H ∈CN×K是第二跳的信道響應（所2有中繼到信宿），n∈CN×1是第二跳信道的噪聲2式(1)右側的第一項是輸出的有用信號，He是兩跳級聯系統的等效信道，式(1)右側的第二項是兩跳信道的所有噪聲。針對式(1)，信宿的接收信噪比為

利用式(2)～式(4)，信宿接收的瞬時信噪比可表示為

式(5)能夠表征系統的信道容量或錯誤概率的性能，所以本文的任務是通過優化信源的發射波束成形d1和分布式中繼的協作式波束成形Dr最大化式(5)。基于式(5)，整個系統的吞吐量可表示為，由于lb(·)前面的系數不影響后面的優化設計，所以該系數可忽略[7]。然而使用SNR的準確表達式作為優化的代價函數使得優化問題十分復雜，下節要具體解決該問題。

3 多天線波束成形和分布式波束成形

本節研究多天線的信源和分布式中繼的聯合波束成形。首先推導了信宿接收信噪比的下界；然后基于該下界得出波束形成的數學問題，并推導了多中繼輔助的分布式波束形成的最優表達式；最后設計一個算法得到分布式波束成形的碼本。

3.1 信宿接收信噪比的下界及聯合波束成形問題的數學模型

利用式(5)中的分母和Cauchy-Schwarz不等式，所有噪聲功率可表示為

利用式(6)，可得式(5)中SNR的下界

本文使用式(7)中的 SNRlb作為要優化的代價函數，同時滿足如下2個約束條件

其中，1P、2P分別表示信源和所有中繼的功率約束，很多文獻(例如文獻[11])都采用“對所有中繼進行總的功率約束”的研究情形，tr(·)表示矩陣的跡，IK表示K×K的單位陣。利用式(7)～式(9)，得到接收信噪比最大化問題的數學模型：

式(10)是帶有2個不等式約束的最大化問題，要解決該問題仍然很困難，下面將給出具體解決方案。

3.2 協作式中繼的分布式波束成形

由于信源很難獲得第二跳的信道狀態信息，同時所有的中繼都是固定的，本文假設信源無法獲得第二跳的信道信息而能夠獲得第一跳信道的全部信息，所以式(10)中的d1基于H1的最優形式為

其中，V1來自于對H1進行奇異值分解(SVD,singular value decomposition)，V1(:,1)表示取酉陣的第一列。針對給定的d1，式(10)變成

由式(11)可見，分母中的第一項和分子都含有Dr而分母中的第二項是常數。為了使得分母中每一項都含有Dr，要使用Dr表示常數。

由于式(11)中的代價函數關于Dr的二階導數是半正定的，即該代價函數關于Dr是凸函數，所以凸的代價函數的最大值一定位于其約束的邊界上[13]。為修正式(11)中的代價函數，首先給出如下定理。

定理1 不等式約束的凸的最大化問題等價于相應等式約束的凸的最大化問題，即：式(11)的函數最大值一定位于其約束條件的邊界處[13]。

根據定理1，式(11)中的問題等價為

利用定理1和式(12)，問題(11)可重新表述為

針對問題式(13)，下面的定理2將給出Dr的最優解。

定理2 多中繼最優的協作式轉發處理Dr=diag(dr)是

其中，

式(17)是Choleskey分解，vmax{·}表示最大特征值對應的歸一化特征向量， L-1表示取逆，diag表示取對角元構成一對角陣。

證明 為簡化表述，定義如下參量：

首先式(13)的分子是信號功率，其表達式

其次，式(13)中的分母表達式

由于n1中每個分量之間都是獨立的，式(19)可進一步寫成

同時，式(13)中的約束條件可寫成

利用式(20)和式(21)，式(13)中代價函數的分母可表示為

利用式(19)和(22)，得到式(13)的另一個等效的表達式

針對式(23)可發現，其中的代價函數是廣義特征值的問題，其解是廣義特征向量的形式。 證畢。

3.3 分布式波束成形的碼本設計

式(14)～式(17)給出了協作式中繼的最優分布式波束成形，但是該最優解必須獲知全部的CSI，為了降低反饋開銷，可采用碼本的方式對最優的分布式波束成形進行量化。設計完成后的碼本分別存儲在每個中繼和信宿端，信宿根據信道估計得到系統的全部CSI，然后根據碼本選擇準則選擇其中最好的一個分布式波束成形的碼字，并把該碼字對應的標號廣播給所有中繼；中繼根據該標號從碼本中找到相應碼字，并找到其中對應的碼字分量；結合接收到的功率放大因子確定轉發系數，在下一個時隙轉發給信宿。所以，如何設計分布式波束成形的碼本成為很重要的問題。

首先采用廣義Lloyd算法分2步迭代設計碼本，具體的實現算法如下。

算法1 碼本設計算法

步驟1 初始化一組聯合波束成形的碼本{wj,j=1,…,2B}，并隨機產生L次信道實現其中，B是反饋比特數，Hi,1和Hi,2Hi,1表示第i次兩跳的信道實現，Lh是信道實現次數，例如 Lh=10 000；

步驟2 針對給定的碼本{wj, j=1,…,2B}，把信道空間劃分成2B個信道子空間，劃分準則如下：

步驟3 針對2B個信道子空間分別對每個聯合波束成形的碼字通過新設計的算法進行更新。

跳到步驟2繼續迭代直至滿足收斂精度要求。

針對上面的步驟 3，研究如何更新碼本。假設第(=1, ,2B)

式(25)是帶有Lj個約數條件的最大化問題，這些約束條件使得最終的解不一定存在。所以，忽略式(25)中分母的第一項，可以將式(25)近似為如下：

由式(26)中的代價函數可知，x的幅度對于目標函數沒有任何的影響，所以，可先得到沒有滿足式(26)中的約束條件的 wj。碼本設計完成后，中繼在使用碼字的時候，要選擇最優的碼字wj來確定波束成形的相位，然后根據當前信道衰落系數計算出wj的幅度以滿足功率約束；同時，將式(26)中代價函數的每一項都取對數，所以，更新碼字的問題可描述為

式(27)的解析表達式通常難以獲得，所以本文通過設計下面一個迭代算法數值求解式(27)，如下所示。

算法2 碼字更新算法

1) 初始化k=0,x0=0,α=1；

End

3) 令 wj=xk+1。

其中，算法2中的數值0.45和0.75都是數值優化講義中的經驗值。由于式(27)中的求和表達式中的每一項關于x都是凹函數，這等價于凸的最小化問題；同時算法2屬于梯度下降法，所以該算法的收斂性可以得到保證。碼本設計完成后，將每個碼字的能量歸一化。使用碼本時，信宿根據所有的信道狀態信息，選擇其中一個碼字 wj最大化式(11)中的代價函數，然后根據式(11)計算出該碼字對應的中繼轉發功率ξ，然后將ξ反饋給所有中繼，同時將wj對應的標號也反饋給所有中繼；每個中繼根據碼字標號找到相應碼字，進而得到自己對應的碼字分量，乘以接收信號再放大后，在下一個時隙轉發給信宿。雖然該算法的復雜度較高，但是該算法不是在線使用的，而是在離線條件下進行碼本設計，所以復雜度并不是碼本設計算法的主要考慮因素。

4 結果與分析

下面通過計算機仿真給出了所設計的分布式波束成形碼本在不同反饋量和不同天線配置下的吞吐量性能。定義

圖2給出了信源天線數是4，中繼數是4，信宿接收天線數是4，ρ1=ρ2=20dB 的情況下，不同的反饋比特數B對應的系統吞吐量累積分布函數(CDF,cumulative and distribution function) 曲線圖。由圖可見，當B從1增加到2、5時，遍歷容量明顯增大，當B=5時，獲得大約0.6bit/s/Hz的增益。可見，所設計碼本在反饋開銷比較小的情況下得到很明顯的吞吐量增益。

圖2 M=K=N=4，ρ1=ρ2=20dB 時不同反饋量的CDF曲線

圖3和圖4給出了2個分布式中繼的情況，無論信宿的接收天線數，系統的遍歷容量在反饋比特數B=5時都非常接近理想情況下的性能。可見所提分布式波束成形方案在所設計碼本的反饋下具有明顯的性能增益。

圖3 M=4,K=2,N=4和 ρ1=ρ2=20dB 時不同反饋量的CDF曲線

通過對比圖2～圖4可以看出，當信源和信宿都配置4根天線且有4個中繼輔助通信時，反饋B=5時能夠獲得大約 10.2bit/s/Hz的遍歷容量(對應著CDF=50%的橫坐標數值)；如果把中繼個數從4減少到 2，那么此時的系統遍歷容量降低到大約9.3bit/s/Hz；如果在該條件下繼續減少信宿上的天線數目(從4減少到2)，那么此時的系統容量降低到大約 8.6bit/s/Hz。由此可得，系統的天線數和分布式中繼的個數明顯影響系統的遍歷容量。與此同時，發送信噪比對系統吞吐量的也具有明顯的影響，具體的信息論分析可參考文獻[6]。

圖4 M=4,K=2,N=2和 ρ1=ρ2=20dB 時不同反饋量的CDF曲線

5 結束語

本文對多中繼輔助 MIMO通信系統中基于有限反饋的分布式波束成形問題進行了研究。首先推導了接收信噪比的下界，并基于該下界建立了聯合波束成形的數學模型。然后針對該數學模型，推導了分布式波束成形的最優表達式。最后，基于該表達式設計了一個算法對碼碼字進行更新，最終得到所需的碼本。利用該碼本可以在反饋量很小的情況下得到明顯的系統增益。

[1] VAN DER MEULEN E C.Three terminal communication channels[J].Adv Appl Prob,1971,3(1): 120-154.

[2] TIMUS B.A coverage analysis of amplify-and-forward relay schemes in outdoor urban environment[A].IEEE ICWMC’06[C].2006.56-56.

[3] LANEMAN J N,WORNELL G W.Energy-efficient antenna sharing and relay for wireless networks[A].IEEE WCNC’00[C].2000.7-12.

[4] KRAMER G,GASTPAR M,GUPTA P.Cooperative strategies and capacity theorems for relay networks[J].IEEE Trans Inf Theory,2005,51(9): 3037-3063.

[5] PAULRAJ A,NABAR R,GORE D.Introduction to Space-time Wireless Communications[M].Cambridge,UK: Cambridge University Press,2003.

[6] WANG B,ZHANG J,H?ST-MADSEN A.On the capacity of MIMO relay channels[J].IEEE Trans Inf Theory Jan,2005,51(1): 29-43.

[7] TANG X,HUA Y.Optimal design of non-regenerative MIMO wireless relays[J].IEEE Trans Wireless Commun,2007,6(4): 1398-1407.

[8] ZHAO Y,ADVE R,LIM T J.Improving amplify-and-forward relay networks: optimal power allocation versus selectioin[J].IEEE Trans on Wireless Comm,2007,6(8): 3114-3123.

[9] HASNA M O,ALOUINI M.Optimal power allocation for relayed transmissions over Rayleigh fading channels[J].IEEE Trans Wireless Comm,2004,3(6): 1999-2004.

[10] LOVE D J,HEATH J R W.Equal gain transmission in multiple-input multiple-output wireless systems[J].IEEE Trans Comm,2003,51(7):1102-1110.

[11] YI Z,KIM I.Joint optimization of relay-precoders and decoders with partial channel side information in cooperative networks[J].IEEE J Sel Areas Commun,2007,25(2): 447-458.

[12] JING Y,JAFARKHANI H.Network beamforming using relays with perfect channel information[A].IEEE ICASSP’07[C].2007,3:III-473-III-476.

[13] JING Y,JAFARKHANI H.Network beamforming using relays with perfect channel information[J].IEEE Trans Inf Theory,2009,55(6):2499-2517.

[14] BOYD S,VANDENBERGHE L.Introduction to Convex Optimization[M].Cambridge,UK: Cambridge University Press,2004.

[15] LOVE D J,HEATH J R W.Grassmannian beamforming for multiple-input multiple-output wireless systems[J].IEEE Trans Inf Theory,2003,49(10): 2735-2747.

[16] ZHOU S,LI B.BER criterion and codebook construction for finite-rate precoded spatial multiplexing with linear receivers[J].IEEE Trans Signal Processing,2006,54(5): 1653-1665.