服務設施選址的博弈分析

孟尚雄

（北京物資學院經濟學院，北京市101149）

服務設施選址的博弈分析

孟尚雄

（北京物資學院經濟學院，北京市101149）

市場除具有網絡特征外，還具有明顯的層次嵌套特征。文章結合這兩個方面的特征，對具有層次嵌套特征的人口、市場空間分布條件下服務設施的選址博弈問題進行了研究。結果發現，兩個企業的服務設施競爭選址靜態博弈，可以不存在納什均衡；在納什均衡存在的情況下，并不能保證雙方市場份額相等；市場層次嵌套特征在一定程度上破壞均衡的存在，內層市場較大的市場份額吸引著對手進入，使外層市場均衡受到破壞；增加服務設施可以擴大市場覆蓋范圍，但由于利潤最大化目標和距離的約束，在給定市場環境下，有些市場區域可能永遠無法覆蓋。

選址問題；納什均衡；聚類分析；層次嵌套

一、引論

經典的選址問題是，對于給定的需求或顧客，廠商如何選擇其新設施的最優位置來獲取最大利潤。當廠商多于一個時，為爭奪給定的需求，它們必然相互競爭搶占有利位置。對競爭選址問題較早的研究包括霍特林（Hotelling）于1929年對競爭穩定性的分析。[1]此后，許多不同領域的學者進一步研究了競爭選址模型，內容涉及空間經濟和工業組織、[2]、[3]數學、[4]運籌學[5]、[6]、[7]等諸多學科。關于這一研究領域的綜述可以參考艾賽特（Eiselt）等的研究。[8]

博弈論是研究競爭選址問題的一個有效工具。安恩（Ahn）等運用博弈論研究了線段和圓周上的競爭選址問題；[9]馬沙諾夫和薩卡古茨（Mazalov &Sakaguchi）研究了平面上的雙頭壟斷模型。[10]然而，現實的經濟活動區域并非規范的點、線或面，人口和市場很少按照簡單幾何體的規律進行空間分布。一個較為貼近現實的選址博弈是高西和克雷德（Ghosh&Craig）的兩個零售商在競爭市場中的選址，[11]他們把市場表示為一個網絡。實際上，市場除具有網絡特征外，還具有明顯的層次嵌套特征。這一點早就被克里斯塔勒（Christaller）[12]和羅煦（L觟sch）[13]研究的中心地理論所證實了。

本文將這兩方面的特征結合在一起，研究了具有層次嵌套特征的人口、市場空間分布條件下的服務設施選址博弈問題。首先，給出一般市場的層次嵌套表示；對層次嵌套市場的市場份額分配進行必要的討論；在此基礎上進一步討論企業和消費者的約束。其次，描述服務設施選址博弈模型，包括收益矩陣的形成和均衡解的討論。最后，對幾種典型博弈模型解的實際意義進行分析。

二、市場特征

1.層次市場。競爭選址模型討論的市場指消費者的空間分布范圍。霍特林模型的市場是線性市場，也就是消費者均勻地分布在一條線段上。同樣，安恩及其他學者的模型假定市場是圓周或平面，消費者在這些幾何體上均勻分布。高西和克雷德的模型假定消費者分布在網絡的節點上。然而，現實中的市場經常帶有層次特征，也就是消費者的空間分布具有底層、高層等多種層次。例如，消費者的空間分布可以在社區、鄉鎮區域、縣級區域、市級區域、省級區域等多級層次上分別或同時討論。這些不同層次的區域都是由消費者所處的基本需求點（如街道、村落）構成的。研究對象不同，所關注的市場層次也不一樣。有時，只關注某一層次的市場就可以，比如對于一些日常生活用品，只要考慮鄉鎮或社區一級的市場就足夠了；而有時，則必須同時考慮多個市場層次，比如對于一些高檔商品，必須同時考慮市級和省級高層市場。為便于進行一般性研究，需要對一個經濟的市場進行分層表示。

假設一個經濟包含N個基本需求點，它們構成的集合為C={C1，C2，…，CN}；每個基本需求點包含若干消費者，消費者數目構成的集合為R= {R1，R2，…，RN}；基本需求點Ci、Cj之間的距離為dij。那么，消費者的空間分布就完全由C、R和d..確定。基于C和d..，可應用聚類分析法產生系統聚類圖，使用這種聚類圖可以較好地描述市場的層次嵌套特征。[14]

圖1表示由12個隨機產生的基本需求點形成的系統聚類圖。縱軸為并類距離，反映了在形成各個層次的市場時，消費者之間的平均距離；橫軸為基本需求點，括弧內的數字代表相對應的基本需求點所包含的消費者人數。在這個由12個基本需求點所構成的市場內，12個基本需求點是最基本的市場單位（可以對應社區），A~J等表示9個更高層次的市場區域（可以對應街道、區、鄉鎮等，也可以不對應行政區劃，而對應自然形成的更高層次的市場區域），它們具有不同的層次、不同的大小，并存在不同層次的區域嵌套現象。例如，市場A嵌套在市場B里面，B是比A層次更高的市場；市場F、E、G嵌套在市場H里面，F、G、H的市場層次一個比一個高。J是層次最高的市場，12個基本需求點是層次最低的市場。每個市場的規模由它所包含的消費者數量的多少確定，市場符號旁邊的數字代表市場的規模，如市場B的規模是34，市場A的規模是26。市場B的規模由它所包含的三個基本需求點3、11、9所包含的消費者數11、15、8相加而得。

2.市場份額的分配原則。如果消費者總是選擇最近的服務設施進行消費（就近選擇原則），那么市場的層次嵌套特征對設施的市場份額產生這樣的影響：

（1）嵌套分配。當兩個企業的服務設施所處的市場具有嵌套關系時，建立在低一層次市場的設施會占有高一層次市場設施的市場份額。例如，若企業Q1在市場A建立一個設施，企業Q2在市場B建立一個設施，那么企業Q1的市場份額是26，企業Q2的市場份額是8而不是34。

（2）同層分配。當兩個企業的服務設施處于同一層次的市場時，它們平分市場份額。例如，如果企業Q1和Q2在市場A分別建立一個設施，那么它們各自的市場份額都是13。

（3）無嵌套分配。如果兩個企業服務設施所處的市場不存在嵌套關系，則它們分別得到自己所在市場區域的全部市場份額。例如，若企業Q1在市場A建立一個設施，企業Q2在市場D建立一個設施，那么Q1的市場份額是26，Q2的市場份額是28。

3.成本門限與最低需求。為保證足夠的利潤，除選擇有利的設施位置外，所建立的服務設施還必須覆蓋一定數目的消費者以彌補其經營成本。因此，企業心目中都有一個保留的成本門限，表現在市場上，就是要有一個最低的消費者覆蓋數目，比如RL=20，以彌補其成本門限。也就是說，企業只有能夠覆蓋20個單位以上的消費者時，才有動機建立一個設施來提供服務，這可以看成企業所面對的一種需求約束。圖1中的A、B、D、G、H、J滿足這一需求約束。如果一個企業想同時建立多個設施，我們假定只要平均每個設施滿足需求約束，企業的需求約束就得到滿足。例如，若企業想建立兩個設施，第一個設施覆蓋的需求只有11個單位的消費者，而第二個設施覆蓋了32個單位的消費者，那么對企業來說，盡管第一個設施覆蓋的需求小于RL=20，但由于兩個設施覆蓋的總需求43（11+32）大于2RL=40，即平均每個設施覆蓋的需求21.5（43/2）大于RL=20，企業的需求約束就可以得到滿足。

4.消費者距離約束。對消費者而言，為得到某種服務，必須行走一定距離的路程，不過他們也不想走得太遠去進行消費。因此，消費者有一個能夠容忍的最大的平均距離，比如Tu=8。也就是說，消費者為了得到某種服務，愿意行走的最遠距離平均不會超過8個單位，這可以看成消費者的距離約束。這里之所以考慮平均距離，是因為所研究的消費者是基本需求單位或更高層次市場中所有的消費者，而不是單個消費者。各層次市場消費者的距離約束用平均距離較為合理。

于是，帶有需求約束和距離約束的系統聚類圖就把市場的基本環境展現了出來，用En（C，R，d..|RL，Tu）表示系統聚類圖所展示的市場基本環境。

三、服務設施選址博弈模型

考慮兩個企業Q1、Q2在市場環境En（C，R，d..|RL，Tu）中建立服務設施為消費者提供服務，以謀求利潤最大化。具體假設如下：

第一，它們建立一個服務設施的成本相同，并且提供相同的服務。

第二，消費者選擇最近的設施進行消費，即遵循就近選擇原則，從而低層次市場區域所建立的設施會占有高層次市場區域所建立設施的市場份額。

第三，每一層次的市場只有一個最優位置，在這個位置上每個企業最多建立一個設施，但可以有多個企業在這個位置上建立設施。

第四，在同一個市場位置建立的設施平均分配這一市場份額。

第五，市場受需求約束（消費者最低覆蓋數RL）和距離約束（消費者愿意行走的最遠距離Tu）的限制。如果RL=20，Tu=8，那么在圖1表示的市場環境En（C，R，d..|RL，Tu）中，只有A、B、D、G、H五個市場區域滿足這些條件，這也是所有可供兩個企業選擇的區域。本文假定企業Q1、Q2同時采取選址行動，下面對它們建立不同數目設施的幾種靜態博弈進行討論。

1.（1，1）博弈。假定企業Q1、Q2打算在給定的市場環境中各自建立一個服務設施，即（1，1）博弈。企業Q1、Q2的收益矩陣由各自的市場份額來表示，具體份額大小如表1所示。其中市場份額的分配按照前面所述的嵌套分配、同層分配、無嵌套分配等三種市場份額分配原則進行。

不難看出，此時的博弈存在兩個納什均衡：Q1選擇在市場B建立設施，Q2選擇在市場H建立設施；或Q1與Q2互相調換位置。它們所獲得的市場份額分別為34、38個單位，所覆蓋的總的市場份額為72個單位。

2.（2，1）博弈。假定企業Q1打算在給定的市場環境中建立兩個服務設施，按照前面的假定，只要這兩個設施能夠覆蓋的消費者不少于2RL=40個單位，平均每個設施覆蓋的消費者就能夠達到RL=20個單位，企業的需求約束就能夠得到滿足。假定企業Q2打算建立一個服務設施，其條件與前面相同。那么，企業Q1、Q2的收益矩陣如表2所示，對應的博弈存在三個納什均衡：

（1）Q1選擇在市場B、D建立兩個服務設施，獲得62個單位的市場份額；Q2選擇在市場H建立一個服務設施，獲得38個單位的市場份額。它們所覆蓋的市場總份額為100個單位。

（2）Q1選擇在市場B、H建立兩個服務設施，獲得72個單位的市場份額；Q2選擇在市場D建立一個服務設施，獲得28個單位的市場份額。它們所覆蓋的市場總份額為100個單位。

（3）Q1選擇在市場D、H建立兩個服務設施，獲得66個單位的市場份額；Q2選擇在市場B建立一個服務設施，獲得34個單位的市場份額。它們所覆蓋的市場總份額為100個單位。

3.（3，1）博弈。假定企業Q1打算在給定的市場環境中建立三個服務設施，只要能夠覆蓋的消費者個數不少于3RL=60，就滿足需求約束。假定企業Q2打算建立一個服務設施，其他條件不變。那么，企業Q1、Q2的收益矩陣如表3所示。很明顯，表3所示的博弈沒有納什均衡。

4.（2，2）博弈。假定企業Q1和Q2都打算在給定的市場環境中建立兩個服務設施，按照前面的假定，只要這兩個設施覆蓋的消費者個數不少于2RL=40個單位，平均每個設施能夠覆蓋的消費者個數不少于RL=20個單位，企業的需求約束就能夠得到滿足。那么，進行同樣的分析可知，對應的博弈也沒有納什均衡。

四、結論

理論上還可用類似的方法分析（3，2）博弈、（3，3）博弈等。但從上述情況已經可以得到一些有意義的結論。

表1 兩個企業均建立一個設施的收益矩陣

表2 一個企業建立一個設施另一個企業建立兩個設施的收益矩陣

表3 一個企業建立一個設施另一個企業建立三個設施的收益矩陣

1.對于靜態選址博弈，不能保證納什均衡的存在，比如上述的（3，1）博弈和（2，2）博弈。市場環境和企業成本、收益、選址行為都影響均衡的存在，市場的層次嵌套特征在一定程度上會破壞均衡的存在，內層市場較大的市場份額（如B中的A，還有H中的G）吸引著對手的進入，使外層市場均衡受到破壞。

2.在納什均衡存在的情況下，均衡可以有多個，博弈雙方的均衡收益也可以不相等。在（1，1）博弈的情況下，B、H是均衡位置，它們給博弈雙方帶來的收益分別是38和34。

3.由于成本的約束，服務設施不能保證全社會的需求都得到滿足。企業至少能夠覆蓋20個單位的消費者才會考慮建立設施，市場單位1和（1，1）博弈情況下的市場區域C、D無法覆蓋。

4.如果成本不是問題（或者有足夠高的利潤吸引企業進入），市場覆蓋范圍可以擴大到一定的程度。但由于利潤最大化目標和距離約束的存在，不能保證覆蓋全部市場。在（1，1）博弈的情況下，設施建立在B、H，市場區域C、D無法覆蓋。但如果能夠增加成本多建一個設施，比如在（2，1）博弈情況下增設D，市場區域C、D就能夠被覆蓋。而對于市場單位1，在現有市場環境下，永遠不能覆蓋。

＊本文系北京市教委“偏覆蓋選址模型與算法”（項目編號：KM200810037003）的部分研究成果。

[1]H.Hotelling.Stability in Competition [J].Economic Journal，1929，39：41-57.

[2]S.P.Anderson.Equilibrium Existence in A Linear Model of Spatial Competition[J].Economica，1988，55：479-491.

[3]A.Okabe，M.Aoyagy.Existence of Equilibrium Configurations of Competitive FirmsonAnInfiniteTwo-dimensional Space[J].Journal of Urban Economics，1991，29：349-370.

[4]S.L.Hakimi.LocationwithSpatial Interactions：CompetitiveLocationand Games[A]//R.L.Francis，P.B.Mirchandani（Eds.）.Discrete Location Theory[M].New York：Wiley，1990：439-478.

[5]H.A.Eiselt，G.Laporte.Competitive Spatial Models[J].European Journal of Operational Research，1989，39：231-242.

[6]M.Labbe，S.L.Hakimi.Market and Locational Equilibrium for Two Competitors [J].Operations Research，1991，39：749-756.

[7]R.L.Tobin，T.L.Friesz，T.Miller.ExistenceTheoryforSpatiallyCompetitive Network Facility Location Models[J].Annals of Operations Research，1989，18：267-276.

[8]H.A.Eiselt，G.Laporte，J.F.Thisse. Competitive Location Models：A Framework and Bibliography[J].Transportation Science，1993，27：44-54.

[9]H.K.Ahn，S.W.Cheng，O.Cheong，M.Golin，R.Oostrum.Competitive Facility Location：the Voronoi Game[J].Theoretical Computer Science，2004，310：457-467.

[10]V.Mazalov，M.Sakaguchi.Location Game on the Plane[J].International Game Theory Review，2003，5（1）：13-25.

[11]A.Ghosh，C.S.Craig.ALocation Allocation Model for Facility Planning in A Competitive Environment[J].Geographical Analysis，1984，16（1）：39-51.

[12]W.Christaller.Central Places in Southern Germany[M].New Jersey：Prentice-Hall，1933：58-80.

[13]A.L觟sch.The Economics of Location[M].New Haven：Yale University Press，1940：124-137.

[14]孟尚雄.均衡選址方法研究[J].中國流通經濟，2005（9）：41-44.

責任編輯：陳靜

Abstract：A study about the competitive location by Hotelling in 1929 was on a linear market.Other studies on this subject are on plane,circle,or network markets.This paper addresses the subject on a general market with nested hierarchies.For static models with two firms,it is shown that there is no Nash equilibrium sometimes;even if the equilibria existing,the market shares for two firms may not be equal;the nested hierarchies of markets,to an extent,lead to the non-existence of Nash equilibria because the more shares within inner markets,which motivate the other players in the games to enter,make unstable outer markets;increasing the number of facilities may extend the coverage of marketing areas,but there are some areas which may not be covered under a given marketing environment due to the objectives of profit maximization and the distance constraints on consumers.

Key words:location problems；Nash equilibrium；cluster analysis；nested hierarchies

Location Games for Service Facilities

MENGShang-xiong
（Beijing Wuzi University，Beijing101149，China）

F061.5

A

1007－8266（2010）09－0049－04

孟尚雄（1963-），男，山西省代縣人，北京物資學院經濟學院副教授，首都經濟貿易大學統計學院博士生，主要研究方向為空間統計、空間經濟和選址理論。