一種基于正交表的工程無混雜試驗設計法

韓 冰，唐 碩

（西北工業大學 航天學院，西安 710072）

一種基于正交表的工程無混雜試驗設計法

韓 冰，唐 碩

（西北工業大學 航天學院，西安 710072）

文章提出了一種靈巧的試驗設計法，它能根據工程實際中因素間的交互作用，在正交表中選擇恰當的列作為主因素列，使所有交互作用列與主因素列無混雜。此外，在設計過程中分別引入動態規劃法和微分進化法對各主因素列進行了均勻性優化，并根據數值實驗結果，得出兩種方法的優化效果隨因素數和因素水平數的變化規律。

正交設計；交互作用；均勻性；動態規劃；微分進化

0 引言

近年來，試驗設計理論在工程實際中得到了廣泛應用。為評價設計表的統計推斷能力，提出了許多優良性準則。其中，以正交性[1]為設計準則的正交設計與以均勻性[2]為準則的均勻設計都獲得了成功。Ma等[3]進一步研究了正交性與均勻性的關系，為正交表的均勻性優化提供了理論依據。

目前，試驗設計技術逐漸應用于飛行仿真中，如選擇多種飛行器方案，分析干擾因素的影響，優化設計參數等。飛行仿真試驗的因素多，因素水平高，因素間交互作用強。于是，設計的分辨力變得十分重要。Box和Hunter[4]對正規設計提出了最大分辨力準則，Ma等[5]進一步提出廣義最小低階混雜（GMA），將該準則推廣到非正規設計情形。Fang等[6]描述了2水平設計的均勻性與混雜的解析關系。最近，Sun等[7]提出了基于GMA準則的一種析因設計。以上設計法均假設主因素間的交互作用未知，而在工程實際中，因素間存在的所有顯著的交互作用往往是已知的。這就迫切的需要一種已知交互作用與主因素無混雜的設計，能夠排除不存在的交互作用對試驗表設計過程的干擾，從而保證在實際無混雜的同時最大限度地減小試驗次數。在正規正交表的構造算法[8]的基礎上，本文提出了一種靈巧的設計程序，能根據用戶輸入的交互因素表，自行選取相應正交表的恰當列作為主因素列，使設計表能分辨出所有的主因素效應與交互效應，并對主因素列進行均勻性優化。

1 交互作用列表設計法

交互作用列表設計法，是在正交表中選取主因素列并計算交互作用列的方法，它必須保證所有主因素列不與任一交互作用列混雜。

1.1 正交表的構造及交互列的定義

本文涉及的正交表均為Ln(Sm)型正規正交表。馬希文[8]詳細描述了它的構造方法，并給出了交互作用列的定義，均為本文采用。此種正交表構造法為：設域Z中的元素為0,1,…s-1，Zk為定義在域Z中的所有k維向量組成的線性空間。按字典順序將Zk中的全體向量推成一個Sk×k的矩陣C，從C中抽取第一個非零元素為1的行，可得到矩陣P0,將P0的列的順序顛倒過來，即得生成矩陣P。設計矩陣F=CPT。將矩陣F的每個元素加1，即得到Ln(Sm)型正規正交表。

生成矩陣P的行向量為F中對應列的生成向量。于是給出交互作用列的定義：設D1,D2是F中兩個不同列，則D1,D2的生成向量形成的線性空間中，所包含的矩陣P中的其它行向量在F中的對應列叫做D1,D2的交互作用列。推廣至n列情形：設 D1,D2,…,Dn是 F中 n個不同列，則 D1,D2,…,Dn的生成向量形成的線性空間中，所包含的P中的所有行向量在F中的對應列，除去所有比D1,D2,…,Dn低階的交互列，得交互作用列。其中，低階交互列包括：D1,D2,…,Dn中各因素兩兩組合的交互效應列（稱2階交互列），3階交互列,…,n-1階交互列。

1.2 交互作用的錄入約定

為表述方便，本文將主因素分為兩類：已經確定列號的主因素稱為舊因素，待選列號的主因素稱為新因素。可將所有交互作用編制成表(下文稱錄入表)，錄入到計算程序中。錄入表的一行稱為一個錄入行，它是一個需計算的交互作用，參與交互作用的所有主因素編號記錄在該行的每一列上。計算程序按行依次讀取，選擇本行的新因素列并計算其交互作用列，同時進行必要的校核，這一過程稱為一個計算循環。為方便計算，對交互表的因素排列順序作如下約定：編號較小的因素的首次錄入先于編號較大的因素；舊因素間的新交互作用，排在含新因素的交互作用前；同一行中舊因素在前，新因素在后。

例：若需計算因素 1×2,1×3,1×4,1×2×3,1×2×4,1×3×4 的交互效應，約定錄入表格式形如表1：

1.3 選擇新因素列的原則

新因素列的選擇需要滿足三個原則：

（1）新因素列不能為舊因素列；

（2）新因素列不能為任一交互列；

（3）新因素列不能為任一交互作用的任一低階交互列。

明顯的，違反了第1，2個原則，將發生混雜現象。而違反原則3的設計沒有意義。事實上，我們考慮高階交互作用的影響，是基于一切較之低階交互作用都有顯著影響的情形，或者說，在一般情況下，設計高階交互作用列，必須先設計一切較之低階的交互作用列。

1.4 新因素列的校核

設計表中所有未指定因素和交互作用的列稱為賦閑列。賦閑列是滿足原則的必要非充分條件。必要性是明顯的，非充分性是因為在大多數情況下，并不需要考慮舊因素的所有組合的交互作用，這就使得賦閑列中存在這種 “潛在組合”形成的交互列（下文稱潛在列）。若選取賦閑列中的潛在列作為新因素所在列，將會有違反原則的可能；而將其從可選列中一概除去，會造成很大的浪費，因為并不是所有潛在列均違反原則，而且，在某次計算循環中違反原則的潛在列，并不是在之后的所有計算循環中必定違反原則。校核的實質是將違反原則的潛在列從本次計算循環的可選列中除去，從而達到保留可行的潛在列的目的。潛在列違反原則的情形有兩類，第一類情形是：在錄入行帶有新因素的計算循環中，選定新因素列后，計算所得的交互作用列與某舊因素列混雜。若錄入行中同時含有新因素及某“潛在組合”中的舊因素，或同時含有兩個新因素，均可引發這類情形。此時計算程序需重新選擇賦閑列中的其余列并校核是否發生混雜。值得注意的是，計算程序一次只選定一個新因素列并校核。這就避免了一次校核兩個新因素列的情況。第二類情形是：在錄入行帶有舊因素間的某個新組合的計算循環中，計算所得的交互列與某舊因素列混雜。潛在列違反原則的錯誤事實上發生在之前最后一次選取新因素列的計算循環中。此時計算程序應當退回至發生錯誤的計算循環，并重新選擇其它賦閑列為主因素列。

1.5 交互作用列表設計算法與算例

完整的交互列表設計算法如下：

步驟1.初始化程序：主因素1、2所在列自動選為正交表的列 1、列 2。

步驟2.從錄入表錄入一行，本次計算循環開始。新因素備選列為所有賦閑列。

步驟3.讀入全部舊因素，若舊因素數大于1，則計算它們的交互作用列并校核。若校核失敗，程序轉至記錄的錄入表錄入狀態處并從備選列中剔除記錄的主因素號；校核成功則繼續；

步驟4.讀入新因素后記錄當前錄入表錄入狀態（即：錄入表的行列號，新因素編號，舊因素編號，舊因素列號，舊交互作用列號）；

步驟5.將備選列中列號最小的選定為新因素列，并進行校核。校核成功則記錄選定的主因素列號；校核失敗則將此列剔出備選列并重新選擇。若直至無備選列時仍校核失敗，則中斷程序，并要求增大正交表規模；

步驟6.若本行仍有新因素未錄入，則繼續讀入一個新因素并轉步驟4；否則進行下一步；

步驟7.本次計算循環結束。若錄入表仍未讀完，則轉步驟-2；否則算法結束。

現在給出L81340型正規正交表的交互作用列表設計實例。取表1為錄入表，將其輸入程序后得各主因素列與交互列如表2所示。

依交互列的定義，可以很方便的檢驗計算結果的正確性。

圖1給出了程序設計流程示意圖。

2 設計的均勻性優化法

2.1 均勻性優化與均勻性準則

方開泰[9]對正規正交表進行了如下均勻性優化：將正規正交表的列的水平作置換，得到 (S！)m個同構的正交表，選取均勻性最好的表作為使用表。本文選取中心化L2-偏差（CD2）作為均勻性準則。對于大規模的飛行仿真試驗，對同構正交表逐一搜索的方法計算量巨大，以至無法完成。本文主要采用動態規劃法和微分進化算法對正交表進行優化。

2.2 融合交互作用列表設計的一體化優化方案

對正交表的均勻性優化，本質是對采樣點在試驗區域內的均勻性優化。或者說，是優化主因素所在列，而對交互作用列的優化沒有任何意義。故需將交互作用列表設計與均勻性尋優相結合。

2.2.1 基于動態規劃的一體化優化方案

表1 一個錄入表示例

表2 算例結果

表 3 L27313優化效果對照表

表 4 L81340優化效果對照表

表 5 L64421優化效果對照表

表 6 L125531優化效果對照表

本方案需對交互作用列表設計做以下改進：首先，原設計中因素1,2所在列默認為原正交表的1,2列。改進方案為，因素1所在列仍為原表第1列，而在其余n-1列中順序取出每一列與第1列搭配，并對所選列作水平置換。選取使搭配的均勻性最佳的列的置換作為因素2所在列；其次，原設計中，當讀入新因素時，選取列號最小的備選列作為新因素列。改進方案為，在備選列中順序取出每一列與舊因素列搭配，并對所選列作水平置換。選取使搭配的均勻性最優的列的置換作為新因素所在列；最后，在設計結束后對賦閑列進行優化：在賦閑列中順序取出每一列作水平置換，并與已選主因素列搭配，選取均勻性最好的，而后再在剩余賦閑列中按相同方法挑選出最優列，直至賦閑列全部優化完畢。

2.2.2 基于微分進化的一體化優化方案

本方案需對交互作用列表設計做以下改進：首先，在不考慮交互作用的情況下，對原正交表進行編碼并優化。正交表的編碼方案為：對表的每列的所有S!種水平的排列（即水平置換方案），按從小到大的順序依次編碼為0,1…,S!。排列的大小定義如下：一個排列的“值”對應于一個s位十進制數，它的第k位恰為在排列中位于第k個的數，排列的大小以該值的大小表征。依上述編碼方式，m列的正交表可編碼為一個m位S!進制數。本文選擇最大進化代數為1000，種群規模為水平數的5倍，交叉因子為1，交叉概率為0.1，依微分進化算法[10]尋優。尋優結束后開始交互作用列表設計，當讀入新因素時，令各備選列（不作水平置換）與舊因素列搭配，選取均勻性最優的備選列為新因素列。

2.3 優化效果對比實驗

現在分別使用兩種優化算法對L27313,L81340,L64421,L125531進行優化設計，要求考慮主因素1與2，1與3的交互作用。表5—8給出了不同主因素總數下的優化結果的均勻性以及程序耗時（本程序在AMD（主頻2.01G）微機上運行，運行環境為32位Microsoft Windows操作系統）

通過對比以上實驗結果，得出如下結論：首先，通過對照各表結果，可發現當主因素只有參與交互的三因素時，原設計表的均勻性偏差很小，此時優化效果微弱(CD2值在小數點后15位才有所降低)。當因素總數增多時，原表均勻性降低（這印證了設計的均勻性與分辨力的關系），而兩種算法的優化效果逐漸增強。微分進化所得結果的均勻性更好，計算時間也更多。隨著正交表水平與設計維數（生成矩陣P列數）的增加，微分進化與動態規劃的耗時比先增加，后減少；其次，對比表3與表4，可發現當正交表水平數一定，而設計維數變大時，動態規劃的效果有所下降，而微分進化幾乎不受影響；而對比表3與表6，可發現當正交表設計維數不變，而水平數增大時，兩種優化算法的效果均明顯增強。表5為一個特例，此時動態規劃所得某些結果的均勻性偏差稍稍高于原設計表，而微分進化所得結果則優于原表。這突出反映了基于動態規劃法的優化方案無法收斂至全局最優，這是因為它在優化的每一個階段，只保留了最優值，而失掉了有潛力的次優值。值得注意的是，在大多數情況下，動態規劃法能快速穩定的優化原表，而微分進化優化結果有隨機性。以上各表中“微分進化”的優化數據均為多次獨立執行優化程序所得的最好結果。

3 結束語

數值實驗的結論表明，本文提出的靈巧設計，能分辨出工程中的各主效應和交互效應。大樣本強耦合的正交設計的均勻性快速全局尋優較為困難，本文給出的優化方案均實現了不同程度的優化。對程序代碼段的測試表明，均勻性指標值的計算耗時隨正交表規模的增大而顯著增加，這是制約優化算法快速性的主要因素。

[1]田口玄一著，魏錫祿等譯.實驗設計法[M].北京：機械工業出版社，1987.

[2]方開泰.均勻設計與均勻設計表[M].北京：科學出版社，1994.

[3]C.X.Ma,K.T.Fang,Dennis K.J.Lin.A Note on Uniformity and Orthogonality[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2003,（113）.

[4]G..E.P.Box,J.S.Hunter.The 2k-p Fractional Factorial Designs[J].Technometrics,1961,（3）.

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[7]Fasheng Sun,Min-Qian Liu,Wenrui Hao.An Algorithmic Approach to Finding Factorial Designs with Generalized Minimum Aberration[J].Journal of Complexity,2009,（25）.

[8]馬希文.正交設計的數學理論[M].北京：人民教育出版社，1981.

[9]方開泰，馬長興.正交與均勻試驗設計[M].北京：科學出版社，2001.

[10]Rainer Storn,Kenneth Prince.Differential Evolution-A Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces[J].Journal of Global Optimization,1997,（11）.

（責任編輯/易永生）

TP311.1

A

1002－6487（2010）17-0164-03

韓 冰（1983-），男，江蘇南京人，博士研究生，研究方向：飛行仿真。

唐 碩（1963-），男，四川達州人，教授，博士生導師，研究方向：飛行仿真。