Lyapunov指數在微弱信號檢測中的應用

劉道文,馮浩

(許昌學院教育技術與信息部,河南許昌461000)

利用Duffing混沌振子對系統參數極其敏感而對噪聲免疫的特性,可以檢測出引入系統的待測微弱周期信號[1],其實質就是利用待測微弱周期信號實現混沌控制,使系統的輸出狀態發生躍變。微弱的周期信號可以使處于大尺度周期臨界狀態的檢測系統的相空間狀態由混沌狀態向大尺度周期狀態躍變,從而檢測出微弱信號的存在,這是當前基于混沌理論檢測微弱信號的主要依據,因此,基于混沌理論微弱信號檢測的一個關鍵的內容就是判定系統是處于混沌狀態還是大尺度周期狀態。當前,判定動力系統的狀態主要通過直觀觀察相圖、Melnikov解析計算等方法。直觀觀察相圖法可以簡單、方便的判定系統的狀態,但該方法因缺乏嚴密理論判據而存在一定的主觀性;Melnikov法能計算出系統進入混沌狀態的閥值,但無法準確地計算出系統進入大尺度周期狀態的閥值,文獻[2] 利用Melnikov法計算出系統進入混沌狀態的閥值后,通過實驗法確定系統進入大尺度狀態的閥值。

Lyapunov特性指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標,它表明系統在相空間中相鄰軌道收斂或發散的平均指數率,是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的重要參數,是區分系統處于混沌狀態或非混沌狀態的最直接的特征量之一[3]。本文提出通過Lyapunov指數定量地描述檢測系統由混沌狀態向大尺度周期狀態的變化,為檢測出待測微弱周期信號提供可靠的依據。

1 系統狀態判定方法

噪聲背景中的微弱周期信號會使系統狀態由混沌態向大尺度周期外軌轉換發生相變,這是當前混沌檢測的主要依據,也被認為是根據參數敏感性進行檢測,其原理方程就是Holmes型Duffing方程[4]

式中k—阻尼比;fr—周期策動力。

通過分析Duffing系統的Lyapunov指數,可以清楚的判斷混沌檢測系統瞬間動力學運動狀態,從而確定待測信號的存在,以及較為準確地找到系統狀態轉變與待測信號幅值參數的關系。

表1 Lyapunov指數與系統狀態Tab.1 Lyapunov exponent and the system's state

2 Lyapunov指數算法

2.1 Jocobian法

目前計算Lyapunov指數的數值方法除了定義法外,大體上分為兩大類:Wolf法和Jocobian法。Jocobian法適用于噪聲較大的系統,切空間中小向量的演變接近線性[8],是一種在實際應用中發展起來的計算Lyapunov指數的方法。

考慮下面的微分方程系統

這里J是F的Jocobian矩陣。對于三維連續動力系統[6]

的Jocobian矩陣為

式(3)的解能夠表示為

其中U:e(0)→e(t)是線性算子映射。這個映射U的漸近行為可用指數刻畫為

所以,由式(2)構成的系統的Lyapunov指數可以描述為上述重復過程的平均數[7]。

美的以賒銷或分期收款方式進行結算，納稅義務時間就是合同約定的收款日期。公司可以對短時間內無法收回的貨款采取這樣的結算方式，從而延期確認收入，減少當期應繳納的所得稅。以美的2017年7月發生的銷售業務為例，當期銷售了價值600萬元的商品，假如合同約定付款期限為一年，每季度初支付150萬元，則該筆業務在2017年應確認的收入為300萬元，相應的應納稅額為75萬元。與直接收款的方式相比，采取賒銷或分期收款方式，美的可以遞延繳納的稅額為75萬元，可以利用這筆資金為企業創造更多的收益。

2.2 Duffing系統的Lyapunov指數

對于由式(1)構成的正弦信號檢測系統,用 x+δ x和x表示初始位置不同的兩點,δ x為兩點的偏差,將 x+δ x和x分別代入式(1),并相減可以得到如下的偏差方程

式中 c(t)=3x2-5x4。

將式(9)改寫成狀態方程的形式,令 δ x=δ y,則有

將式(10)寫成矢量微分方程形式

因為X(t)為周期函數,所以H(t)是連續的周期性的2×2階實矩陣,其最小周期T=2π,有下式成立

因為H(t)為周期矩陣,所以式(11)為一周期系數線性微分方程。為求出Duffing系統的Lyapunov指數,需要將式(11)轉化為自治系統。

由周期系數線性微分方程理論,設D(t)為式(11)的基本解矩陣,則D(t+T)也是基本解矩陣。因為存在常數矩陣C,使得D(t+T)=D(t)C

當 t=0時,D(0)=I,從而有

又因為D(T)是非退化的,所以存在一個用 lnD(T)表示的矩陣,使得elnD(T)=D(T)。

所以,式(11)的標準基本解矩陣可表示為

其中F(t)是一個非退化的周期矩陣。

對式(11)做線性變換

則周期系統式(11)、式(12)變成自治系統

設矩陣D(T)的兩個特征根為 λ1和 λ2,則兩個Lyapunov指數可表示為

由以上分析可知,可以通過求解D(T)的特征根即可得到式(11)的Lyapunov指數[9]。

3 仿真分析

3.1 臨界狀態仿真

本文將Duffing混沌檢測系統構造成三維系統,系統Lyapunov指數計算時間步長設置為0.01,每次演化的步驟為10,繪制Lyapunov指數譜時,擯棄了前200次不穩定的迭代。指數譜中均存在一定的過渡區域[10],此區域中的Lyapunov指數取值的正負變化呈現不穩定的狀態,為了能夠應用Lyapunov指數準確地判斷系統的狀態,最好選取指數譜中穩定的Lyapunov指數值,本文中選取 n=900點處的Lyapunov指數值。圖2顯示了檢測系統由混沌狀態向大尺度周期狀態躍變時Lyapunov指數譜變化情況。當系統的內置驅動信號幅值fr=0.718 8時,λ1＞0,系統處于混沌狀態。當fr=0.718 9時,λ1＜0,λ3＜0,系統處于大尺度周期狀態。由此可知,fr=0.718 8是系統由混沌狀態向大尺度周期狀態轉變的分叉閥值。

3.2 瞬態仿真

由式(1)構成的Duffing混沌檢測系統,設初值x(0)=1,x′(0)=1,積分時間間隔為 h=0.01,用四階Runge-Kutta積分方程,去除前200次不穩定的迭代。fr的取值的初始值為0.68,終止值為0.76,步長為 0.001,混沌檢測系統各個瞬態的Lyapunov指數如圖3所示。從圖3可以看出,Duffing混沌檢測系統的Lyapunov指數隨fr變化呈對稱分布,對稱軸為 a=(λ1+λ3)/2=-0.25,而對稱位置源于式(1)中的K=0.5,其物理機制可能源于該混沌檢測系統的固有性質[9];Lyapunov指數數值符號的變化可以方便地判斷出系統所處的狀態,同樣可以精確的計算出臨界狀態的系統內置驅動信號的幅值。所以,利用Lyapunov指數可以很準確的判斷混沌檢測系統的狀態,從而提高了利用Duffing混沌檢測系統檢測微弱周期信號的準確性與可靠性。

4 結論

利用Lyapunov指數定量分析混沌檢測系統的動力學特性,可準確地判定檢測系統的瞬間狀態和系統相變的閥值,而且通過不斷的提高fr的精度能夠更加準確地判定系統狀態。利用Lyapunov指數判定Duffing混沌檢測系統狀態,在很大程度上克服了直觀判定相變方法所具有的主觀性,提高了利用Duffing混沌檢測系統檢測微弱信號的可靠性。但Lyapunov指數譜具有一定的過渡區域,在此區域內Lyapunov指數取值的正負變化不穩定,一般選取穩定區間的Lyapunov指數值來作為判定系統狀態的指標。

[1] 周玲,田建生,劉鐵軍.Duffing混沌振子用于微弱信號檢測的研究[J] .系統工程與電子技術,2006,28(10):1477-1479.

[2] 李月,楊寶俊,石要武.色噪聲背景下微弱正弦信號的混沌檢測[J] .物理學報,2003,52(3):1956-1959.

[3] 崔芹.基于混沌理論微弱信號檢測[D] .哈爾濱:哈爾濱工程大學,2008.

[4] 李月,楊寶俊,林紅波,等.基于特定混沌系統微弱諧波信號頻率檢測的理論分析與仿真[J] .物理學報,2005,54(5):1995-1998.

[5] 謝濤,魏學業.混沌振子在微弱信號檢測中的可靠性研究[J] .儀器儀表學報,2005,29(6):1265.

[6] 莊艷麗.基于混沌振子的微弱信號檢測方法研究[D] .成都:成都電子科技大學,2006.

[7] 呂金虎,陸安君.混沌時間序列分析及應用[M] .武漢:武漢大學出版社,2005.

[8] BARANA G,TSUDA I.A new method for computing Lyapunov exponents[J] .Phys.,Lett.,A,1993,175(6):421-427.

[9] 李月,楊寶俊.混沌振子檢測引論[M] .北京:電子工業出版社,2004.

[10] 楊紅英,葉昊,王桂增,等.Duffing振子的Lyapunov指數與Floquet指數研究[J] .儀器儀表學報,2008,29(5):927-931.