利用數學建模課堂教學培養學生思維能力

王明剛，許 華

（南京師范大學泰州學院 數學系，江蘇 泰州 225300）

利用數學建模課堂教學培養學生思維能力

王明剛，許 華

（南京師范大學泰州學院 數學系，江蘇 泰州 225300）

結合自己在講授數學建模課程中遇到的一些實例并總結前人的研究碩果，針對以往相關研究的不完整性，與現行的新課程改革相結合，針對如何充分利用數學建模課堂教學培養學生的思維能力進行全面的研究，分別對六種不同的思維能力，運用設計不同的教學情境，來引導和培養學生的思維能力。

數學建模；課堂教學；思維能力；課程改革

1 .引言

數學建模這門課程將抽象的、枯燥的定理公式滲透到活生生的實際問題中，要求學生積極參與數據的設計、收集和分析。以數學為基調，形成理論實際相結合的思維方式，讓學生體會到數學是一切科學技術的基礎，學會怎樣用數學語言描述具體的問題，學會怎樣用數學去解決實際中存在的問題[1]。數學建模是連接數學與實際問題的橋梁，對數學模型而言，數學是工具，解決問題是目的。數學模型的學習是數學知識與應用能力共同提高的最佳結合點。

思維能力是培養學生各種能力的核心，如何培養學生的思維能力已經成為現階段教育研究人員紛紛探討的熱門話題。而數學建模全過程（圖1）[2]中的每一步都從不同的方面鍛煉了學生的思維能力（如將現實對象的信息抽象成數學模型的抽象思維能力；對不同的數學模型進行分析求解時的邏輯思維能力等），因此 ，研究如何利用數學建模課堂教學來培養學生的思維能力就顯得尤為重要。

圖1

2 .利用數學建模課堂教學培養學生思維能力

數學課程的基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律。數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面都有著獨特的作用[3]，下面我就結合自己在講授數學建模課程中遇到的一些實例并總結前人的研究碩果，針對以往相關研究的不完整性，與現行的新課程改革相結合，針對如何充分利用數學建模課堂教學培養學生的思維能力進行全面的研究，分別對六種不同的思維能力，運用設計不同的教學情境，來引導和培養學生的思維能力。

2.1 培養思維的積極性

興趣是學習的最好老師，也是每個學生自覺求知的內在動力。教師應該注重在課堂教學中對學生思維能力的培養，為學生設計好一個激發思考和創造的課堂環境，設置誘人的懸念，激發學生發散思維的火花和求知的欲望，從而培養學生思維的積極性。

（1）在新授課的導入或講解的過程中，設置一些懸念來引起學習興趣，培養思維的積極性來引發探求的欲望。例如：數學建模課程的引言部分，可以選擇一些能夠用建模解決的一些有趣的生活中的問題，如“如何設計高跟鞋的高度問題”，“人帶著雞、貓、米過河的問題”等等，用這些生動的生活實例來調動學生學習數學建模的興趣，這樣使學生在解決一個個“懸念”問題中探究，激發學生的學習興趣，從而在講解公平的席位分配一節內容時，課本上定義了相對不公平度這個概念，即設A，B兩方人數分別為 p1和p2，兩方分配的席位為 n1和n2，

因為相對不公平度是人為定義的一個數量指標，它并沒有嚴格的定義，因此，我們就可以引導學生開動腦筋，尋求其他的定義方法。此時，我們適當的加以引導、提示，學生很快就會發現A的相對不公平度如下兩種新的定義方法：掌握數學建模的本質。

（2）在新課結束時，也要適當對某一些問題做一些延伸發展，設計一些懸念問題，引發學生學習的興趣，為學習后面的內容做好鋪墊，留下懸念。

再例如講“人口增長預測模型”這節新內容時，可以講講世界及中國人口發展概況及趨勢，同時介紹為什么中國要實行計劃生育，國家是以什么為依據來制定這項國策的，留下這樣一個學習人口增長預測模型知識的懸念，學生對本節的學習將會特別的投入，學習成果將會很明顯。因為它的懸念引發了學生學習的興趣，引起了學生對下次課的好感，對后面的學習產生了向往，盼望的急切心情，將被動的學習轉向了主動。

2.2 培養思維的求異性

在數學建模課堂教學中應引導學生從不同的角度來觀察和思考，以尋求不同的解題路徑，開拓學生的解題思路。并在此基礎上讓學生進行多次訓練，這樣既增長鞏固了知識，又培養了學生的求異性思維能力。因此在教學中，要注意抓住一道典型題目，努力尋求多種途徑的解法，促使學生多方位、多層次的思考分析，打開學生的解題思路。例如，

又如在講解完用 Q值方法進行席位分配時，又可以引導學生去探討“D ’Hondt”法、“D ’Hondt + Q ”值法等其他形式的分配方法，并對這些方法進行比較，不僅要讓學生掌握更多的知識，更重要的是培養學生求異性的思維能力，同時要重視引導學生對多種方法進行比較，優化方法，提高解決問題的速度并注意找出同一問題存在多種方法的條件與原因，挖掘其內在規律。這樣將能很好的達到教學雙贏了，提高了教學質量又培養了思維能力，何樂而不為呢？

2.3 培養思維的連續性

在數學建模這門課程中的，許多模型的得到都是一類條理分明，思路清晰，由淺入深具有鮮明層次性的問題，隨著臺階的上升涉及的知識點逐漸增多，不斷探索的問題將得到逐步地解決， 在這樣一個不斷探索的過程中讓學生順著清晰的思路進行自行探討，從而解決問題，有助于培養思維的連續性。

例如我們在講解傳染病模型時，剛開始我們不區分病人和健康的人群可以得到一個較為簡單的模型：

這時我們就可以引導學生思考建模失敗的原因：我們在第一個模型里沒有考慮到病人有效接觸的人群中既有健康者又有病人，因而我們可以對模型（1）進行改進，從而得到模型：

模型2對模型1進行了顯著的改善，利用模型2，我們可以得到傳染病高潮期到來的時刻為：可以為醫療部門提供信息服務。但是模型

2.4 培養思維的聯想性

引導學生自主聯想，揭示和建立新舊知識的聯系是培養思維聯想性的有效途徑。學生聯想回憶的過程可以實現挖掘激發思維潛力。數學研究本身就是一個不斷從實踐→認識→實踐的過程，這樣的過程推進了數學的進步。而思維的聯想性在這一過程當中起著舉足輕重的作用。所以教師可以在教學過程中多設計一些反復式問題，引導學生聯想與回憶，建立好新舊知識間的聯系，深化對知識的理解;經常回憶與反思必將使學生的思維能力得到大大地提升。因此，在數學建模教學中，應緊密結合學生的認知活動，適時設計好反復式問題，培養學生思維的聯想性。例如我們在介紹完人口阻滯增長模型后，可以引導學生思考草原上羊群數量的增長，漁場中魚群數量的增長是以什么樣的方式增長的呢？是不是也滿足Logistic模型呢？又如，在講到穩定性模型的第一節內容“捕漁業持續收獲”問題時，要考察在沒有捕撈的前提下魚群數量會發生什么變化，這時，我們就可以引導學生，將前面學習過的Logistic模型與之對比，引導學生進行聯想，讓學生主動去回顧，大膽去實踐，親身體驗知識的發生和發展過程。再通過實踐所得到的結論，帶回到所學的知識內，反復進行復習比較，獲取更多的信息，實現培養思維連續性的目的。

2.5 提高直覺思維能力

“凡事預則立，不預則廢。”預見意識對探索成功率的提高是大有裨益的。解題過程中我們對于解題策略、思路、方向和手段都應該作出正確的判斷和抉擇。否則將誤入歧途。因此在數學建模教學中，先不急于分析解題思路，而恰當的留有空間，讓學生仔細審題，聯系相關知識，對比權衡，如未知數、自變量、參數的確定，輔助元素的設置，坐標系、點的坐標的選取，分類討論的時機掌握，及討論標準層次的確定等，他們對于建模的 成敗、難易、繁簡會產生怎樣的影響，在此基礎上作出正確估計和判斷。

例如：在講解“正規戰與游擊戰”模型時，在建模之前就可以引導學生思考，影響戰爭結局的因素有哪些？其中哪些是主要因素，哪些是次要因素？如何將一個看似與數學無關的問題來進行轉化呢？用這些問題來調動學生進行思考；而在講解完正規戰爭模型后，轉而講解游擊戰爭模型時，就可以讓學生通過直覺思維思考一下，游擊戰爭與正規戰爭的區別在哪？影響雙方士兵人數變化的因素還有正規戰爭一樣嗎？這樣引導學生一步步的深入思考下去，通過學生思考，憑直覺可以預見到解決本題的關鍵，學生很快就會得到游擊戰爭模型：

2.6 培養思維的廣闊性

探究表現為“為什么是這樣”“還會怎樣”的心理活動過程。對知識的學習，表現為不滿足于知其然，執意追求知其所以然。而創造性思維是最高層次的思維活動，是在自由想象的基礎上對頭腦中已有知識、經驗進行新的組合的結果。引導、誘發、鼓勵學生在強烈的創新意識驅動下不斷實現自我突破。敢于“標新立異”，敢于“離經判道”。例如在講解層次分析模型時要用到求矩陣的特征值和特征向量，而利用我們所掌握的知識，求解高階矩陣的特征值和特征向量是相當復雜的，又由于層次分析模型中，對特征向量的要求并一定要非常準確，在這種情況下，我們就可以帶領學生脫離我們以前所學方法的局限，來尋求求解矩陣特征值和特征向量的近似的方法：和法、冪法和根法。

教學中放手讓學生朝各個方向發散，按照他們自己的想法去探求。你會發現由于他們的思考角度不同，出現了許許多多的不同答案，有些結果出乎老師所料。通過學生交流，再引導、反思，使學生主動進行變式探究，思維向不同的方向發散。不僅鞏固了所學知識；而且激發學習數學的興趣和積極性，達到開發潛能、發展智力、提高能力的目的，從而培養學生的創新精神和創造能力

3 .總結

隨著素質教育改革的深入，如何活躍課堂的氣氛，培養學生的思維，提高學生的素質已經成為我們教育工作者的一個重要任務。數學不僅僅是再向學生傳授知識，更重要的是培養他們獨立的思維能力。教學觀念陳舊，教學手法單一，這些都已經成為制約學生思維能力提高的重要因素。為了改變這個現狀，拓展學生的思維，使之健康成長，我們不得不研究對策，研究怎么樣的教學才可以充分提高學生的積極性，引起他們的興趣，在輕松活躍的氣氛下完成教學的任務。

我認為在數學建模這門課程的具體的做法就是通過上面所述的一系列的不同的設計問題的方式，精心設計每節課，使之形象生動，有意創造動人的情景，設置誘人的懸念，激發學生思維的火花和求知的欲望。讓他們在實際生活中了解到數學的作用，在探索知識的過程中解決實際的問題，迸發出無窮的靈感，培養各種思維能力。

[1] 李醫民，王學弟，丁丹平，等. 數學素質教育改革的系統工程[J]. 大學數學，2003，（4）.

[2] 姜啟源，謝金星. 數學模型[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3] 洪雙義. 一種新型數學教育方式的探索[J]. 數學教育學報，2003，（2）.

G42

A

1008-7427（2010）01-0133-02

2009-11-05

作者王明剛系南京師范大學泰州學院數學系講師。