計算感生電動勢的一種簡潔方法

李文勝 孫健美

（湖北汽車工業學院理學系，湖北 十堰 442002）

計算感生電動勢的一種簡潔方法

李文勝 孫健美

（湖北汽車工業學院理學系，湖北 十堰 442002）

介紹了在均勻圓對稱磁場中，無限長直導線上感生電動勢計算的一種新穎、簡潔的方法.

感生電動勢；磁場；概率

若均勻磁場被限定在半徑為R的圓形區域內，且磁場隨時間的變化率為該磁場中的“無限長”直導線，設導線被此圓所割的弦長為b，該弦所對應的圓心角為2θ，圓心到此弦的距離為h，如圖1所示.考慮到導線的對稱性，則其兩端A、B間的感生電動勢為對于放置在

圖1 “積分法”計算用圖

式中，Ek1和Ek2分別為r＜R和r＞R區域中的感生電場強度，其大小分別為：不難確定，上述感生電場的電力線是一組與此磁場同心的同心圓，其方向為逆時針方向.把Ek1和Ek2的表達式代入式（1），并考慮到積分元處電場Ek與dl之間的夾角，則式（1）變為

從圖1中可見，R與r有以下關系式

由式（4）有

把式（3）和式（5）代入式（2）中，并利用關系cos α·sec α＝1，式（2）化簡為

再利用b/2＝Rsin θ，h＝Rcos θ得到“無限長”直導線中的電動勢大小為

其方向是由A指向B，即B點的電勢高，A點的電勢低.以上是通常的解法，因為用到了積分，我們不妨稱之為“積分法”.

我們也可以從另一角度考慮，既然是“無限長”直導線，則是否可以想象其兩個“端點”在無限遠處相聯而構成一個閉合的回路，通過計算回路中所穿過的磁通量對時間的變化率，求出此導線中的電動勢.此想象是否合理，方法是否正確，還需加以證明.

為便于對照比較，取“無限長”直導線與原磁場的相對位置仍如圖1所示.設此“無限長”直導線在“無限遠”處相聯，構成閉合回路ABCA，此回路圍住磁場的區域1，如圖2所示.設圖2中區域1的面積大小是S1，由圖中的幾何關系可得

設以順時針方向作為此回路的正方向，考慮到磁場的方向垂直紙面向里，且由法拉第電磁感應定律，可得該回路中電動勢是

式（9）中的負號表示回路中的電動勢方向與原所設回路的方向相反，即ABCA回路中電動勢的方向是逆時針方向.對AB段而言，其電動勢方向由B指向A.

圖2 “概率法”計算用圖

顯然“無限長”直導線在“無限遠”處相聯還可以構成回路ABDA而圍住磁場區域2，如圖2所示.設區域2的面積大小為S2，由圖中幾何關系可得

仍取順時針方向為此回路的正方向，同理由法拉第電磁感應定律，可以計算出回路ABDA中的電動勢為

式（10）中的負號表示回路中的電動勢與原所設回路的方向相反，即ABDA回路中電動勢的方向是逆時針方向.對AB段而言，電動勢的方向是由A指向B.

然而，實際計算時究竟是取ABCA回路，還是取ABDA回路？根據“無限長”直導線的模型，導線的兩“端點”既可以在其下方的“無限遠”處相聯而構成回路ABCA，也可以在其上方的“無限遠”處相聯而構成回路ABDA，且構成這兩個回路中的概率相等，都為1/2.設導線AB兩端的電動勢ε1、ε2是一隨機變量，其概率分別為P1和P2，其分布滿足表1.

表1 感應電動勢的分布

根據數理統計的原理，導線AB兩端的電動勢期望值應為

由上面的計算可知，ε1的實際方向由B指向A與εAB反向，而ε2的實際方向由A指向B與εAB同向.因此在計算時，應取ε1＜0，ε2＞0，考慮到上述兩個回路存在的概率各為1/2，所以P1＝P2＝1/2.把上述條件代入式（11）并考慮到（9）、（10）兩式，可得“無限長”直導線AB兩端的電動勢為

第二種計算用到了概率的概念，我們不妨稱之為“概率法”.比較式（12）和式（8）可見，對上述問題“概率法”和“積分法”所得的結果完全一致.

上面證明的是導線和磁場相交的情況，對于“無限長”直導線和上述特殊磁場的相對位置關系，還有兩種情況：一是導線和磁場不相交，即導線在磁場以外的區域；二是導線通過圓形磁場的圓心.仿照上面的計算，容易證明，對于這兩種情況，“概率法”和“積分法”所得的結果也完全相同.至此通過實例，我們就證明了用“概率法”求解上述問題的正確性.

綜上所述，對于上述“無限長”直導線和圓對稱均勻磁場，無論兩者的相對位置如何，都可以使用“概率法”方便快捷地求出導線中的感應電動勢.究其原因，一是“無限長”直導線的特殊性，二是法拉第電磁感應定律的普適性.使用“概率法”求解此類問題，無需知道感生電場Ek的具體表達式，避免了較復雜的積分計算，物理圖像清晰，解題思路新穎，計算簡單快捷.筆者在教學中介紹這一方法，受到了學生的歡迎.更重要的是這一新方法還擴充了直接使用法拉第電磁感應定律ε＝－dφ/dt求解感應電動勢問題的類型.這對加深學生對有關概念的理解，培養學生創新思維的能力不失為一個有益的嘗試，這一嘗試在注重素質教育、倡導科技創新的今天具有積極的意義.

［1］ 馬文蔚.物理學［M］ 中冊 第四版.北京：高等教育出版社，2005

［2］ 梁之舜.概率論及數理統計［M］ 第二版.北京：高等教育出版社，2006

2009－08－23；

2010－04－13）

李文勝（1955年出生），男，湖北荊州人，湖北汽車工業學院副教授，主要從事物理教學與研究工作.