引導學生開展探究性數學學習

【教學內容】

人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》七年級下冊第七章第四節.

【教學目標】

1.知識與技能:會用正多邊形無縫隙、不重疊地覆蓋平面;了解平面圖形能“平面密鋪”的條件，會用正多邊形無縫隙，不重疊地覆蓋平面.

2.過程與方法:通過剪、拼等操作活動和同學之間的交流，探索平面圖形能“平面密鋪”的條件.

3.情感與態度:讓學生在應用已有的數學知識和能力，探索和解決密鋪問題的過程中，感受數學知識的價值，增強應用意識，獲得各種體驗.

【教學重、難點】

重點:平面密鋪的條件，設計平面密鋪圖案.

難點:用兩種或三種正多邊形進行平面密鋪.

【教學設備】

多媒體.全等的多邊形紙板、膠水、筆、紙.

【教學過程】

1.創設情境，提出本次學習活動的主題.

師:在我們的生活里能看到很多美麗、神奇的圖案，請我們一起來欣賞一組圖案:(多媒體引出一組密輔圖案.)

師:這些圖案有什么共同特征呢?

(學生先在小組內討論，然后在全班交流.)

生1:這些圖案是由一種或幾種形狀相同的圖形組成的.

生2(補充):這些圖形不但形狀相同，而且大小也一樣.

師:也就是全等的圖形.

生:這些圖形之間沒有縫隙，也沒有重疊.

師:很好!這些圖案“用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此間不留空隙，不重疊地鋪成一片”，這就是數學上“平面圖形的密鋪”，又稱做“平面圖形的鑲嵌”.這節課，我們一起來研究簡單的“平面圖形的密鋪”.(多媒體投影本課這一課題與相應的概念.)

師:在我們的生活中，有許多圖案是“平面圖形的密鋪”，不知同學們是否曾留意過身邊的一些密鋪圖案?你能舉出你身邊的密鋪圖案嗎?

(學生議論紛紛.)

生1:餐廳地板的圖案.

生2:人行道上地磚鋪成的圖案也是密鋪圖案.

生3:一些墻紙上的花紋也是密鋪圖案.

…………

師:大家都十分注意觀察，的確，在生活中處處都有數學.剛才大家舉的例子都是密鋪圖案，老師也收集了一些生活中的密鋪圖案，請同學們欣賞、評價.

(多媒體播放一組密鋪圖案，美妙的圖案、絢麗的色彩讓學生興奮不已.)

【評析:近年來，隨著社會經濟的不斷發展，建筑市場日益擴大和人民生活水平的不斷提高，室內裝飾作為一個蘊涵數學、物理學、心理學、行為學、環境藝術、建筑美術、造型藝術等多學科知識的行業，正在高速發展.此問題讓學生明白數學源于實踐，生活中處處都有數學.】

2.用一種大小相同的多邊形密鋪.

師:但生活中最常見的還是用特殊的多邊形，如:三角形、四邊形或正多邊形等來拼接的.家庭裝修，有些房間鋪地板時，就選擇三角形、四邊形或正多邊形地磚.平面圖形的密鋪，要求其中任意兩個圖形不能重疊，也不能留有空隙，而且根據實際情況或為了研究方便，多邊形的頂點只能與頂點重合.

師:下面請同學們試一試:選用一種大小相同的特殊的多邊形(三角形、四邊形或正多邊形)來拼接，看看拼接出的圖案效果如何?

(多媒體播放拼接要求，學生按拼接要求粘貼、拼接.各組選擇的形狀、拼裝方式可以不一樣.在教師的指導下，小組內學生分工合作，先討論、確定多邊形的形狀，教師要求學生在拼接的過程中想一想根據什么來確定多邊形的形狀.)

【評析:學生通過動手操作，在直觀體驗中根據多邊形的特征進行密鋪，掌握教學知識，感受教學知識與實際生活的聯系.這樣教學，分解了難點，突出了重點.】

師:請各組同學選一個代表，展示各組設計的圖案.

(各組代表紛紛上臺展示各自的作品并對作品進行說明.)

師:同學們的設計很有創意，色彩的搭配也挺漂亮.請問哪些設計符合拼接要求.

生:(異口同聲)都符合.

師:同學們用三角形、四邊形和正六邊形拼接的圖案都是密鋪圖案.用其他的圖形可以嗎?請同學們想一想:為什么有的圖形符合密鋪要求，而有的卻不符合?

…………

(多媒體出示下圖.)

師:請同學們觀察一下，在用三角形密鋪的圖案中，每個拼接點處有幾個角，它們與這個三角形的內角有什么關系?

生1:在三角形拼接的圖案中，每一個頂點處有6個角，分別等于兩個全等三角形的各內角.

生2(補充):它們的和為360°，是三角形的內角和180°的2倍.

(多媒體出示下圖.)

師:在用四邊形密鋪的圖案中，觀察每個拼接點處有幾個角，它們與這種四邊形的內角又有什么關系?

生:在四邊形拼接的圖案中，每一個頂點處應有4個角，分別等于一個四邊形的4個內角，它們的和等于四邊形的內角和360°.

師:請同學們思考、討論一下:符合拼接要求的多邊形應該具備什么樣的條件?

【評析:這個問題旨在培養學生的觀察、分析、歸納能力. 】

(學生對著圖案思考了片刻.)

生:只用一種多邊形進行密鋪，就必須使拼接在每一頂點處各角之和為360°.

師:同學們得到了規律，將剛才的拼接結果，用這個規律去驗證一下，看看對不對，看看有哪些多邊形符合這個要求.

生:(出示下圖)正六邊形可以密鋪.因為正六邊形的每一個內角是120°，在每一個頂點處有3個正六邊形就可以.

師:正五邊形可以密鋪嗎?

生1(出示左圖):不能.因為正五邊形的每一個內角是108°，不存在正整數n，使n·108°=360°成立，所以只用正五邊形不能進行密鋪.

生2:只用一種圖形，三角形、四邊形和正六邊形可以密鋪，其他的多邊形不能密鋪.

【評析:學生在實際操作中發現并總結出規律，形成了一定的理論知識，反過來又將這理論知識指導實踐，將可以密鋪的多邊形都找出來.】

3.用兩種或兩種以上的平面圖形密鋪.

師:歸納得很好.其實，在生活中許多密鋪圖案是由兩種或兩種以上形狀的圖形組成的.請同學們利用課余時間想一想:任意選擇兩種正多邊形進行密鋪，使拼出的圖案既符合要求又比較美觀，你能想出幾種?老師這兒有一些有關平面圖形的密鋪知識的網站或網頁，供同學們參考.

【評析:借助于現代信息技術，特別是利用互聯網，是進行學習的一種重要途徑和手段.能夠對學生，特別是一些有興趣和學有余力的學生給予引導和提供參考，既體現了教學的開放性和現代信息技術對數學學習的作用，又體現了“不同的人在數學上得到不同的發展”的新課程理念.】

4.課堂總結.

師:想一想，學習了這節課后，你了解了哪些知識?明白了哪些道理?有什么感受和收獲?

生1:知道了什么是密鋪，哪些多邊形可以密鋪.

生2:知道了多邊形密鋪的條件.

生3:生活中處處都有數學，我們要多觀察、多思考，用我們學到的知識去解釋、應用.

生4:先從幾個特殊、具體的事物中尋找、歸納規律，然后再去驗證這個規律是否正確.

…………

5.課外作業.

①利用課余時間收集一些用平面圖形密鋪的圖片.

②用兩種正多邊形進行密鋪，設計出你的方案，并涂上你滿意的顏色.

【教學反思】

新教材對內容的選取更加以人為本，更加貼近學生的生活實際，給學生和教師更大的活動空間，增進了學生對數學的理解和應用，激發了學生的想象力和創造力.本節課的教學中，通過對“拼地板”的探索，讓學生經歷了探索多邊形密鋪(鑲嵌)條件的過程，強化了學生對多邊形內角和的認識，并獲得有關的幾何新認識;滲透了初步的教學建模思想，引導學生在拼接實驗的過程中，通過觀察、判斷、歸納、總結發現規律，并能用所發現的規律去解決一些實際問題，進一步發展了學生的合情推理能力;培養了學生的實踐意識、創新精神和團結協作的精神，讓學生在活動中感受到數學的樸實之美，數學的和諧之美，有效達成了三維教學目標.在教學中，學生的設計和探究超出了我們的預料，帶給我們驚喜，讓我們感嘆學生的想象力和創造力，這正是新課程取得的顯著成效.

本節課教學的成功之處有:創設問題情境好，時裝秀和絢麗的圖案吸引了學生，激起了他們的求知欲望;活動充分，小組合作學習讓學生經歷探索多邊形密鋪(鑲嵌)條件的過程，教學效果好;教師教學民主，使學生敢于表現自己，激發了學生的想象力和創造力;在教學中運用多媒體的效果好.教學的不足之處是:只用正五邊形不能密鋪未讓學生動手試一下.