數學教學中對學生進行的反思訓練

反思是數學思維活動的核心和動力，在教學實踐中采取各種有效措施對學生進行反思性學習訓練，使學生樂思、巧思、善思，對提高學習效率，培養學生數學學習能力有重要的意義.世界著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾教授指出“反思是數學思維活動的核心和動力”.由此可見反思在數學學習中的重要性.但是，目前數學教學實踐中，最薄弱的正是反思性學習這一環節. 由于數學學科對象的抽象性、活動的探索性、推理的嚴謹性和語言的特殊性，決定了正處于思維發展階段的中學生不可能一次性地直接把握數學活動的本質，必須經過多次的反復思考、深入研究、自我調整(即堅持反思性數學學習)，才能洞察數學活動的本質特征.因此，在教學中采取各種有效措施對學生進行反思性數學學習訓練，促使學生由被動反思轉為主動反思，由不會反思變成善于反思，是提高數學學習效率的有效途徑.下面談談在教學中對學生進行的反思訓練.

一、課后及時鞏固，在“溫故而知新”中反思

孔子曰“學而不思則罔，思而不學則殆”、“溫故而知新”，在數學教學過程中，教師應教會學生自我提問，在課后對當天所學內容、自己的聽課情況及課前預習情況及時進行回顧、反思，從而養成良好的反思習慣.例如:

1.今天所學內容是什么，關于新的知識我掌握了嗎?自己的課前理解與教師講解后的差別在哪兒? (對本節的數學概念、定理、法則、思想方法進行再組織，簡明扼要地記下其內容.)

2.新舊知識有哪些聯系?自己對所涉及的知識是否有了新的認識，有些什么新的認識，原有的認識有什么欠缺之處， 這種欠缺是如何造成的?

3.例題涉及哪些數學思維方法、數學思想方法，這些思想方法是怎樣應用的，應用的過程有什么特點，這樣的方法 是否在其他地方應用過，現在的應用和過去的應用有何聯系、差異，是否有規律性的東西可總結?

4.課上不懂的地方，如何弄清楚?

另外，還可對學習態度、情緒、意志進行反思.

這樣，就給學生在課后理清自己的思想、評價自己的學習情況、反思自己的學習過程創造了條件，從而能夠逐步培養學生的反思習慣.為便于日后翻閱，可建議學生記在書本相應內容的空白處.同時，教學中若能有針對性地在每節課后再設置一些思考題，引導學生積極反思本節課的概念、定理和公式的發生及形成過程，對知識進行橫向、縱向的聯系、對比， 則可深化學生的認知結構，提高反思能力.如在學習了雙曲線的概念后，可讓學生思考討論這樣的幾個問題:

(1)將定義中的“小于”改為“等于”或 “大于”其點的軌跡又是什么呢?

(2)將“絕對值”3個字去掉，其結果又如何呢?

(3)令定義中的常數為0，其余不變， 其點的軌跡又是什么呢?

(4)將括號中的小于F1F2去掉后如何討論點的軌跡?

二、建立反思性錯題集，在糾錯中反思

由于題海戰術的影響，許多學生拼命做題，期望以多取勝，但常常事與愿違， 不見提高，讓大部分學生困惑的是有些錯誤很頑固，訂正過了，評講過了，還是重蹈覆轍.也有許多學生懂得建立錯題集，但在建立錯題集時只是把錯題和改正后的答案抄上去，并沒有達到糾錯的效果.究其原因是學生不懂得認真回顧自己做題的思維過程，反思出錯原因.

為了優化思維過程，讓學生在糾錯中學會反思，教師可指導學生建立活頁“錯題檔案”.其整理步驟為:1.分類整理.按概念模糊類、粗心大意類、顧此失彼類、圖形類、技巧類、新概念類、數學思想類等整理，并將各題注明屬于某一章某 一節，這樣分類的優點在于既能按錯因查找，又能按各章節易錯知識點查找，給今后的復習帶來方便.2.記錄解題方法. 根據老師對錯題的分析講解，記錄題目的引人語、解題的切入口、思路突破方法、解題的技巧、解題步驟及小結等.3.反思錯因.記錄完老師的解題方法后在該錯題的旁邊作好注釋，寫出自己解題時的思維過程，暴露出自己思維障礙產生的原因及根源的分析.這種記述方法開始時可能覺得較困難或寫不出，此時不必強行要求自己.初始階段可先用自己的語言寫出小結即可，總結得多了，自然會有心得體會，漸漸就會認清思維的種種障礙(即錯誤原因).另外教師在教學中應經常暴露自己的思維過程，即表述自己如何認識 問題、如何制訂解題計劃、選擇解題方法、 改變思路等，以及如何在解題過程中實施自我反思，如何克服解題中碰到的障礙， 解題后的回顧反思如何進行，為學生提供反思性數學學習的范例.4.錯題改編.對于出錯比較典型的題目，根據題目特點進行改編并求解，以加深對這類題目的理解.這一工作的難度較大，解題經驗豐富的學生可能做起來比較順利.初始階段，可讓學生只需對題目條件做一點改動，(如將函數y=log2(x2-2x-3)變化為y= loga(x2-2x-3) ，單調性會怎樣變化?)而教師在平時的課堂教學中經常對例題進行變式訓練，也可鍛煉學生的改題能力.

三、填寫測試反思表，在檢驗中反思

每次測試后及時要求學生填寫測試反思表，可引發學生對一階段的學習狀況、學習方式、學習效果進行自我綜合評 價，并主動反思，借鑒自己與他人的成功與失誤之處.根據學生實際情況制定的數學測試反思表如下:

1.錯題剖析.

(注:表中解題錯誤原因可從以下幾方面來選擇——①看錯題目;②因粗心而導致計算或推理錯誤;③表述不規范或解題格式不正確;④思路正確但因緊張而使中間某個過程錯誤;⑤對數學公式、法則或定理不熟;⑥審題錯誤;⑦思路不清或根本沒有思路;⑧解題速度慢而沒有時間做;⑨其他.)

本次測試完全不會做的題目合計分數為( )分.

會做但因不仔細等原因而扣分的一共有( )分.

2.錯題更正或部分試題的其他解法 (除教師公布的標準答案的其他有創意的解法).

3.測驗后的感受.

①本次測驗按實際水平應該得分是多少?但實際得分是多少?主要原因如何?本次測試對你今后的學習的啟示(用一兩句話來表述你成功的經驗應該改進的問題或努力的方向): ___________.

②你認為在數學常規學習中，以下哪些方面自己做得比較好: _______. (A. 課前預習B.課堂聽課筆記C.課后復習D.獨立作業E.練習鞏固F. 課外自學G.以上基本未落實)

③你認為班上有哪些同學是你學習上的榜樣?

④你認為自己有哪些經驗與教訓可供其他同學學習或借鑒?

4.典型試題再研究.

請結合自己的實際對某道試題或某幾道試題談談你的再研究.包括:一題多解、一題多變，或該題的拓展延伸或研究該題解題方法的應用推廣等.

從以上表格實施的情況看，學生通過對單元測試的自我反思，能在檢驗中吸取教訓，認清不足，由此改善學習過程.

四、強調每一章的概括總結，在知識的梳理中反思

每一章的學習結束后讓學生梳理所學知識，構建知識網絡，是為了讓學生對以往的數學知識，數學知識的獲得過程及數學問題的解決過程回憶和重新思考是培養學生自我反思能力的有效方法.那如何引導學生在梳理知識中反思呢?

1. “濃縮”教會學生對所學知識進行篩選， 突出重點，用簡明的圖表或提綱形式把基礎知識進行有機的串聯.如對函數部分歸納的知識有: (1)函數的概念與基本性質， 主要有函數的概念與運算、單調性、奇偶性與對稱性、周期性、最值與值域、圖像等. (2)一些簡單函數的研究，主要是二 次函數，冪、指、對函數等. (3)函數綜合與實際應用問題，如函數、方程、不等式的關系與應用，用函數思想解決的實際應用 問題等.

2.“細化”對每一個內容細化， 問問自己復習這個內容時需要解決好哪些問題，以此為載體來提煉與總結基本方法.以函數的單調性為例，可以從哪些問題入手復習呢?問題一:什么是函數的單調性? (借助一些概念的辨析題來幫助理解.)問題二:如何判斷和證明一個函數在 某個區間上的單調性?解決這個問題需要的知識基礎包括理解函數單調性的概念， 熟知所學習過的各種基本函數(如一、二 次函數，反比例函數，冪、指、對函數等)的單調性，簡單的復合函數單調性等.基本的方法主要是利用單調性的定義、不等式的性質進行判斷和證明.問題三:函數的單調性有哪些簡單的應用?主要的應用是求函數的最值，此外還可能涉及不等式、 比較大小等問題.問題四:易錯、易漏點是什么?

3.“強化”.抓住每個知識點的典型問題進行訓練，將同一知識，同一方法的問題集中在一起練習.如函數的單調性的判斷與證明一般也就兩類典型問 題:第一是正確判斷與證明某個函數的單調性，寫出單調區間，要注意函數的各種形式，如分式的、簡單的復合函數、帶有根式和絕對值的等.第二是它的逆問題， 知道函數在某個區間上的單調性如何求字母參數的取值范圍，如函數y=ax2+x+2 在區間[5，l0]上若遞增，求實數4的取值范圍等.同時，可以在同一個問題的背景 下，自己做一些小小的變化與發展，從中做一些深入的探究.例如將函數y=log2(x2- 2x-3)變化為y=loga(x2-2x- 3)，單調性會怎樣變化?如果變化為y=log2(ax2-2x-3)情況又如何?反之，如果函數y=log2(ax2-2x-3)在區間(-∞，1)上單調遞減，a的取值范圍是什么?通過這樣層層深化、不斷自我設問可使學生有針對性地對自己的學習情況進行回顧反思和反復推敲引起思維的升華.

五、建立數學檔案，在快樂中反思

指導學生建立數學學習檔案，有目的地從各種角度和層次收集學生個人學習的努力、進步情形，以及在知識、技能和情意方面的成就證據，并有目的地匯集在材料袋中，以供評價.可以彌補平時以單一的書面考試評價學生的數學成績，往往容易忽略學生在數學學習過程中的變化和進步的缺陷(如同一學生幾次的成績變化、與同類同學成績相比的變化、班內名次的變化等).使學生比較全面地了解自己的學習過程，找到適合自己發展的途徑，凸顯個性，展現自我，特別是感受自己在數學上的不斷成長與進步，從而樂于去回顧、去反思.數學學習檔案的內容可分3個方面:

1.收錄數學學習過程中的材料，如數學日記、錯題集、考試反思表、章后總結、課外閱讀等.

2.收錄學生在學習過程中獲得的成功體驗，如“我最滿意的”——數學作業本、單項考查試卷、綜合考查試卷等;

“我最自豪的”——二次表揚、一次成功、一次獲獎(證書、獎狀)、一個優點 (特長、習慣)、解決復雜數學題目的草稿、 圖解、圖畫;

“我印象最深的”——有趣的數學課 (活動)、一次有意義的談話、一次教訓;

“我來介紹”——單元總結、學習方 法、學習經驗.

3.收錄反映學生經歷數學探究發展、實踐能力和創新能力的材料.如在日常生活中發現的數學問題及提出有挑戰性的數學問題.如怎樣存款才合算、包裝罐設計等.應用數學知識解決現實生活中的實際問題，如買房、租車預算、買彩票等.應用數學知識開展社會調查，發現社會問題.如應用統計知識進行各種資源的浪費調查分析.

獨特的解題方法.如一題多解、巧解妙算等.數學小制作及自編數學童話、故 事、笑話.

學生在建立數學學習檔案的過程中適時反思自己的學習情況，如實現了哪些學習目標、獲得了哪些進步、自己作品的特征、解決問題的策略、還需要在哪些方面努力等，久而久之反思自然會成為一種習慣和技能.

六、其他訓練方法

除了上面介紹的訓練方法外，教學中還有很多培養學生反思性數學學習能力的有效途徑.如:教會學生解題后反思、設置反思性數學作業、開展學生自我評價活動、舉行數學學習交流會讓學生交流反思的體會、指導學生寫數學隨筆等.

總之，引導和培養學生的反思意識和反思能力是數學學習活動的重要內容之一.教師應通過多種途徑培養學生的數學反思習慣，多關注學生的數學學習反思， 鼓勵學生反思，使學生樂思、巧思、善思.